高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用课时提升作业2新人教A版选修1-1_第1页
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文档简介

1、椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点f作倾斜角为3的弦ab,则弦ab的长为()a。67b。167c.716d.76【解析】选b.椭圆的方程可化为x24+y22=1,所以f(-2,0)。又因为直线ab的斜率为3,所以直线ab的方程为y=3x+6。由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=87,所以|ab=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167。2.ab为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中心的弦,f(c,0)为椭圆

2、的右焦点,则afb面积的最大值为()a。b2b。abc.acd.bc【解析】选d。由ab过椭圆中心,则ya+yb=0,故safb=12(ya-yb)c=122ya|c=|ya|cbc,即当ab为y轴时面积最大。3.(2016济宁高二检测)如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()a.x2y=0b。x+2y4=0c.2x+3y-12=0d.x+2y-8=0【解析】选d。设这条弦的两端点为a(x1,y1),b(x2,y2),斜率为k,则x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0。又弦中点为(4,2),

3、故k=12,故这条弦所在的直线方程为y2=12(x-4),整理得x+2y8=0。4。(2016衡水高二检测)如果ab是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦,o为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,m为ab的中点,则kabkom的值为()a.e1b.1-ec。e2-1d.1e2【解析】选c.设a(x1,y1),b(x2,y2),中点m(x0,y0),由点差法,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,所以kabkom=y2-y1x2-x1y1+y2x1+x2=b2a2=c2-a2a2=e2

4、-1。【补偿训练】椭圆x216+y29=1中,以点m(1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()a.916b。932c。964d。932【解析】选b。设弦的两个端点为a(x1,y1),b(x2,y2),则x1216+y129=1x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因为弦中点为m(1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932。5.(2016郑州高二检测)在区间1,5和2,4上分别取一个数,记为a,b,则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上

5、且离心率小于32的椭圆的概率为()a.12b.1532c。1732d.3132【解析】选b。因为x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆,所以ab0,ab0).因为e=22,所以ca=22。根据abf2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22,所以椭圆方程为x216+y28=1.答案:x216+y28=17。(2016沈阳高二检测)椭圆x24+y23=1上有n个不同的点p1,p2,p3,,pn,椭圆的右焦点为f,数列|pnf是公差大于1100的等差数列,则n的最大值为.【解题指南】|p1f=ac|=1,pnf=a+c=3,pnf|=p1f+(n1)d,再由数列pnf是

6、公差大于1100的等差数列,可求出n的最大值。【解析】p1f=a-c=1,|pnf=a+c=3,pnf|=p1f|+(n-1)d.若d=1100,n=201,d1100,n201。答案:2008.(2016长春高二检测)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf。若ab|=10,bf|=8,cosabf=45,则c的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点a(或b)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在abf中,由余弦定理得|af|2=ab2+bf22abbf|cosabf,又|ab=10,

7、bf|=8,cosabf=45,解得|af=6。在abf中,ab2=102=82+62=|bf|2+|af|2,故abf为直角三角形。设椭圆的右焦点为f,连接af,bf,根据椭圆的对称性,四边形afbf为矩形,则其对角线|ff|=|ab=10,且bf|=|af|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得af+af=2a,所以2a=|af|+|af=6+8=14。故离心率e=ca=2c2a=57。答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xoy中,点p到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4,设点p的轨迹为c.(1)求c的方程。(2)设直线y=kx+1与c交于a,b两

8、点,k为何值时oaob?此时ab|的值是多少.【解析】(1)设p(x,y),由椭圆的定义知,点p的轨迹c是以(0,-3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b=22-(3)2=1。故曲线c的方程为y24+x2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),其坐标满足y=kx+1,y2+4x2=4.消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx3=0。由根与系数的关系得x1+x2=2kk2+4,x1x2=-3k2+4。若oaob,则x1x2+y1y2=0。因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+43k2k2+

9、42k2k2+4+1=4k2-1k2+4=0,所以k=12。当k=12时,x1+x2=417,x1x2=1217.所以|ab|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42172+41217=4313172,所以|ab|=544313172=46517.10.(2016烟台高二检测)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程.(2)设a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若acdb+adcb

10、=8,求k的值。【解析】(1)设f(-c,0),由ca=33,知a=3c。过点f且与x轴垂直的直线为x=c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆方程为x23+y22=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k26=0。所以x1+x2=6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2。因为a(3,0),b(3,0),所以acdb+adcb=(x

11、1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)2k2=6+2k2+122+3k2。由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=2。一、选择题(每小题5分,共10分)1。(2016济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()a。0b。1c。2d.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是

12、以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点p是椭圆内的点,进而判断可得答案。【解析】选c。因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22,所以a2+b2b0)的左、右焦点分别为f1(c,0),f2(c,0),若椭圆上存在点p使asinpf1f2=csinpf2f1成立,则该椭圆的离心率的取值范围为。【解析】由正弦定理及asinpf1f2=csinpf2f1,得ca=sinpf2f1sinpf1f2=|pf1|pf2|.在pf1f2中,设|pf2=x,则pf1=2ax.则上式

13、为ca=2a-xx,即cx+ax=2a2,x=2a2a+c.又acxa+c,所以ac2a2a+cc2,显然恒成立.由2a2a+ca+c,得a20,即e2+2e10,解得e-1+2或e-1-2(舍)。又0b0过点p3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1。(2)设直线l的方程为y=12x+mm0,ax1,y1,bx2,y2,由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m22=0,方程的判别式为=42-m2,由0,即2-m20,解得2m2.由得x1+x2=2m,x1x2=2m22,所以m点坐标为-m,m2,直线om的方程为y=12x,由x2

14、4+y2=1,y=-12x,得c-2,22,d2,-22,所以mcmd=52-m+252m+2=542-m2,所以mamb=14ab2=14x1-x22+y1-y22=516x1+x22-4x1x2=5164m2-42m2-2=54(2-m2),所以mcmd=mamb.尊敬的读者:本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来,本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对,但是难免会有不尽如人意之处,如有疏漏之处请指正,希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持,在此表示感谢!在往后的日子希望与大家共同进步,成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if

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