华南理工大学高等数学课件

1、华南理工大学高等数学课件成绩：期末考试成绩：期末考试70,30%期末考试：教考分离、统考期末考试：教考分离、统考平时成绩：课堂期中测验作业平时成绩：课堂期中测验作业上课：按时上课、保持安静上课：按时上课、保持安静课前预习，课后复习巩固课前预习，课后复习巩固勤能补拙、机会把握在你手里勤能补拙、机会把握在你手里华南理工大学高等数学课件课程简介课程简介 研究对象：函数研究对象：函数 研究内容：微分研究内容：微分+积分积分(简称微积分简称微积分) 研究的基本工具：极限研究的基本工具：极限 课程主要效用：能力的培养课程主要效用：能力的培养华南理工大学高等数学课件一、变量与函数变量与函数1.1.常量常量:

2、 :在所研究的过程中只取一个定值在所研究的过程中只取一个定值第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 函数函数2.2.变量变量: :在所研究的过程中可以取不同的值在所研究的过程中可以取不同的值3.3.集合集合: :数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集华南理工大学高等数学课件4.4.区间区间: : 是指介于某两个实数之间的全体是指介于某两个实数之间的全体实数实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax ),(ba开区间开区间:bxax , ba闭区间闭区间:bxax bxax ),ba,( ba半开

3、区间：半开区间：以上区间称为有限区间以上区间称为有限区间华南理工大学高等数学课件),xaxa ),(bxxb oxaoxb以下两个区间为为无限区间以下两个区间为为无限区间华南理工大学高等数学课件区间长度区间长度: 两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)注注今后在不需要辨明所论区间是否包含今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、有限区间、称它为称它为 “区间区间”, , 常用常用I 表示表示.无限区间的场合无限区间的场合,端点、端点、简单地简单地华南理工大学高等数学课件5.5.邻域邻域: :. 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a00,().aU axxa点 的去心的 邻域

4、记作，点 的去心的 邻域 记作，,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 ().U ax axa ，xa a a ( - , )aaa点点 的的左左邻邻域域: :,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxx ( ,)aa a 点点 的的右右邻邻域域: :华南理工大学高等数学课件6 6、函数、函数DYf,Yy( ):DYfDxffDYyf xxD 设设 和和 是是两两个个非非空空数数集集 如如果果存存在在一一个个法法则则 使使得得对对 中中每每一一个个元元素素 ，按按法法则则 ，在在 中中有有唯唯一一的的确确定定的的元元素素 与与之之对对应应，称称 为为从从 到

5、到 的的函函数数，记记作作华南理工大学高等数学课件():() ( )f Dff Df x xDY 函函数数 的的，记记作作值值域域x: 自变量自变量y: 因变量因变量DYfD：定义域：定义域( ):yf xxD 华南理工大学高等数学课件注注构成函数的构成函数的xyxylg2lg2 、是两个不同的函数是两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如与对应法则与对应法则 f 定义域定义域两个要素两个要素:(1) 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数, ,多值函数多值函数.

6、.约定约定:.xy 今后无特别说明时今后无特别说明时, 函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为,若 x D (2) 华南理工大学高等数学课件(3) 定义域定义域: 对有实际背景的函数对有实际背景的函数 对一般的函数：自然定义域对一般的函数：自然定义域分母不为分母不为0；负数不能开偶次方；负数不能开偶次方；对数的真数大于对数的真数大于0；00 没没有有意意义义. .华南理工大学高等数学课件例例: :21( )25,lg(23)f xxx 设设解解 23 0 x 23 1x ( )f x求求的的定定义义域域. .3(1)( 1, 5.2 ， 2250 x 1 5,5;xD 23

7、(,);2xD 3 |1;xDx x 定定义义域域是是123DDDD 华南理工大学高等数学课件 (1) 绝对值函数绝对值函数00,|,x xyxx x 7、几个特殊的函数举例、几个特殊的函数举例xyo|yx 0:(,), ,) 定定义义域域 值值域域: : 华南理工大学高等数学课件 (2) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo:(,) 定定义义域域:|sgnxxx 绝绝对对值值函函数数与与符符号号函函数数的的关关系系华南理工大学高等数学课件(3) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2

8、 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x:(,) 定定义义域域华南理工大学高等数学课件 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4) 狄利克雷函数狄利克雷函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.:(,) 定定义义域域华南理工大学高等数学课件8 8、反函数、反函数1( ),( )( ),( )( )yf xDEEyyf xDxEyf xxfyyEyf x 设设函函数数定定义义域域为为值值域域为为若若对对 中

9、中每每个个都都可可由由唯唯一一确确定定 中中的的 值值, ,则则可可定定义义在在 上上的的一一个个函函数数, ,称称为为的的反反函函数数 记记作作 ， 称称为为直直接接函函数数 DE注注：(1).(1).反反函函数数的的存存在在判判别别: :对对应应法法则则在在定定义义域域 与与值值域域 是是否否构构成成一一一一对对应应关关系系; ;112( ).( )( )( ),yf xxfyyfxxE 习习惯惯上上, ,把把的的反反函函数数记记为为 华南理工大学高等数学课件)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP1( )yfx反函数 (3).直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函

10、数的图形关于直线 对称对称.xy 华南理工大学高等数学课件:求求反反函函数数的的步步骤骤(1)( )( ),( );yf xxyyf D 从从表表达达式式中中解解出出(2)( )( ),( )xyxyyxxf D 将将中中 、 互互换换, ,得得即即为为所所求求的的反反函函数数. .56P例例 题题 ： 见见 书书 本本例例华南理工大学高等数学课件二、初等函数二、初等函数2.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 1. 常数常数函数函数 )( 是常数ccy 华南理工大学高等数学课件3.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1(

11、)1( a)1 , 0( xey 华南理工大学高等数学课件4.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 华南理工大学高等数学课件5. 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 2华南理工大学高等数学课件xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 华南理工大学高等数学课件正切函数正切函数xxxysincoscot 余切函数余切函数xxxy

12、cossintanxytan xycot 定义域定义域).,( 值域值域 Znnx ,212 定义域定义域).,( 值域值域Znnx , xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 华南理工大学高等数学课件正割函数正割函数xxycos1sec xysec 华南理工大学高等数学课件xxysin1csc 余割函数余割函数xycsc 华南理工大学高等数学课件6. 反三角函数反三角函数arcsinyx定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 反正弦函数反正弦函数xyO2 2 11 华南理工大学高等数学课件定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 反余弦函数反余弦函数arccosyxxyO 1

13、1 华南理工大学高等数学课件定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数arctanyxxyO2 2 反余切函数反余切函数rccotyaxxyO2 定义域定义域值域值域),()., 0( 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.华南理工大学高等数学课件( ),( ),(),yf u uG uxxDDG 设设且且则则下下式式确确定定一一个个函函数数 (),yfx ( )( )uxyf u 称称之之为为由由函函数数和和函函数数构构成成的的复复合合函函数数，,Du它它的的定定

14、义义域域为为变变量量 称称为为中中间间变变量量. .,ff 有有些些书书把把 与与 构构成成的的复复合合函函数数记记为为即即()( ) ( ),fxfxxD 复合函数：复合函数：华南理工大学高等数学课件复合函数复合函数D()DG 其其中中 fG()D ( )f Gff注注意意：1 1. . 和和 构构成成复复合合函函数数的的条条件件： 的的值值域域与与 的的定定义义域域的的交交非非空空华南理工大学高等数学课件( )arcsin , 1,1,yf uu G 如如，2( )1, 1,1,uxxxD ( ) 0,1 1,1,DG 由由于于f 则则函函数数 与与 能能构构成成复复合合函函数数2arcs

15、in 1, 1,1;yxxD 2( )arcsin( )2,yf uu ug xx xDR 但但和和不不构构成成复复合合函函数数，因因为为( )2,)g DG 2.两两个个以以上上的的函函数数也也可可以以进进行行复复合合, ,只只要要它它们们顺顺次次满满足足构构成成复复合合函函数数的的条条件件. .2,1,sin ,yu uvvx xR 如如可可构构成成复复合合函函数数2sin1,.yxxR 华南理工大学高等数学课件3.复复合合函函数数定定义义域域的的确确定定：一一般般由由函函数数外外往往内内逐逐层层 要要求求：内内层层函函数数的的取取值值应应该该使使外外层层函函数数有有定定义义. .25:l

16、g6xxy 例例 求求复复合合函函数数的的定定义义域域22225:lg ,650,lglg0,651, 61,65lg(,6 1,)6xxyuuvvxxuvxxxxxxD 分分析析 所所考考虑虑的的函函数数由由, , 复复合合而而成成, , 故故即即 即即 解解得得或或 故故y y= =的的定定义义域域为为华南理工大学高等数学课件例例: :).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解: 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx; 20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x华南理工大学高

17、等数学课件,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx; 2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述212001122122xxxxxexexfxx,)(华南理工大学高等数学课件初等函数初等函数初等函数初等函数如如也是初等函数)ln(sin).(11533222xxyx复合它由是初等函数xxueyxyuxlnsin,).(sin2 凡由基本初等函数经过有限次四则运算凡由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合所构和有限次的函数复合所构成并能用一个式子表示的函数成并能用一个式子表示的函数, 称为称为通常当作基本初等函数

18、是初等函数为正整数多项式,)( ,)().(nxaxaaxpnnn101nxxxxxyn7534753).(不是初等函数不是初等函数.华南理工大学高等数学课件).()(u ),(),()(u ),()(),(max )()( ).(xvxxvxvxxuxvxu f(x)xvxu当当，定义最大函数为两个已知的初等函数与设最大函数：5. ),(, ),()(),(min v(x)u(x)xvv(x)u(x)xuxvxu g(x)当当最小函数：11( )(|)( )(|)22( )( )f xuvuvg xuvuvf xg x 因及故与都是初等函 华南理工大学高等数学课件初等函数的分解：初等函数的分

19、解：cot,cot ,22xxyyu uv v 由由复复合合而而成成；22arcsin 1arcsin ,1,yxyu uv vwwx 由由复复合合而而成成；分解：由外到内分解：由外到内华南理工大学高等数学课件双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数2xxeeshx 双双曲曲正正弦弦chxy shxy ),(: D奇函数奇函数.2xxeechx 双双曲曲余余弦弦),(: D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 21华南理工大学高等数学课件xxxxeeeechxshxthx 双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,华南理工大学高等数学课件双曲函数常用公式双曲函数

20、常用公式;chxshyshxchy)yx(sh ;shxshychxchy)yx(ch ;xshxch122 ;shxchxxsh22 .xshxchxch222 华南理工大学高等数学课件2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;arshxy 反反双双曲曲正正弦弦).1ln(arsh2 xxxy;arshxy 华南理工大学高等数学课件.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦arch).1ln(arch2 xxxyxxyarch 华南理工大学高等数学课件.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(

21、内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切arthxyarth xxyarth 华南理工大学高等数学课件三、函数的特性三、函数的特性1. 函数的有界性函数的有界性:定义定义. .( )0,f xDM 设设在在 上上有有定定义义, ,若若存存在在正正数数使使得得(,|(|,)xDfDxxMf 在在对对一一切切都都有有则则称称上上有有界界. ., 1|sin| x, 1|cos| x),(,2|arctan| x,|cotarc| x),(,|arccos| x,2|arcsin| x1 , 1 例例. .所所以以它它们们都都是是各各自自定定义义域域上上的的有有界界函函数数. .华南理工大学

22、高等数学课件 注注有界的几何意义如左下图有界的几何意义如左下图.有界有界xyOab)(xfMM , baD无界无界:000(), . .|()|,HxD s tf xH 不不论论它它多多大大，( )f xD则则称称在在上上无无界界. .无界无界xyO20 xHxy1 ),(20D1( )(0, 2).f xx 如如在在上上无无界界( (见见右右下下图图) )华南理工大学高等数学课件定理定理:( ),f xDm MRxD 函函数数在在 上上有有界界使使得得对对都都有有( ).mf xM ,( ).m Mf x定定理理中中的的分分别别称称为为界界和和下下上上界界注注:显然显然,有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.华南理工大学高等数学课件2.函数的单调性函数的单调性:( ),f xDID 设设函函数数的的定定义义域域为为区区间间,时当及上