高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

1、均值不等式归纳总结1. (1)若 a,b时取=)2. (1)若 a,br,则 a2b2 2ab(2)若 a,b r,则 abr*,则?.(2)若 a,b r*,则 a b 2 而（当且仅当a b（当且仅当a b时取=）若a,b r*,则ab（当且仅当a b时取=）3.若x 0 ,则x 2 （当且仅当x 1时取=） x若x 0,则x 12 （当且仅当x 1时取=）x若x 0,则x 1 2即x 12或x 1 -2（当且仅当a b时取=）xxx4.若 ab 0,则 a b 2 b a（当且仅当a b时取=）（当且仅当a b时取=）若 ab 0 ,则 ab2即 ab2或 ab-2ba ba ba5.若

2、 a,b r,则(0)222.2a- （当且仅当a b时取=）2ps.（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最 大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用n应用一：求最值例1:求下列函数的值域(1) y = 3x 1 2 +2x2解：(1)y = 3x 2(2)当 x0 时,值域为( s, -2 42, +s)解题技巧技巧一：凑项例 已知x 5,求函数y 4x 2，的最大值。44x 5解：因4x 5 0,所以

3、首先要“调整”符号，又4x2)94xh 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项，-5_11q x , 5 4x 0, y 4x 2 5 4x 32 3 144x 55 4x当且仅当5 4x 1一，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当口 时，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口 u工二4知，工，口，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值, 故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。a三工强一2力三32

4、广(芯-2初；干,；一与三2 la当|2x.a2k,即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而 可利用均值不等式求最大值。变式：设0 x 3，求函数y 4x(3 2x)的最大值。3 一一 一解：.0 x .3 2x 0.y2j当且仅当2x 3 2x,即x 10,2时等号成立。技巧三：分离例3.求y * * * * * * x2 7x 10(x1)的值域。x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有( 项，再将其分离。x+1)的/十五+10 _ q+1产十5任十u十4当工)-1，即

5、x + 1 n 口时,y2 i(x 1) * 5 9 (当且仅当x=1时取=”号)。4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x+1,化简原式在分 离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4解：令 jx2 4 t(t 2),则 y : 5 jx2 4 -j=: t 1(t 2) .x24. x2 4 t因t 0,t 1 1,但t 1解得t 1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。 tt因为y t 1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故5y -。 2所以，所求函数的值域为5,。2

6、-.1，-、丫 2sinx而?)练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.x2 3x 11x i，求函数 y jx(2 3x)(1) y1,(x 0) y 2x k2.已知0 x 1,求函数y jx(1 x)的最大值.;3. 0的最大值.条件求最值1.若实数满足a b 2,则3a 3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而型3b定值，因此考虑利用均值定 理求最小值，解：3a 和3b都是正数，3a 3b 211 一变式：右log 4 x log 4 y 2,求-的取小值.并求x,y的值x y技巧六：整体代换x 丫 min12 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2

7、jxy等号成立条件是x y ,在多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2:已知x 0, y 0,且2 1,求x y的最小值 x yuy 12错解：q x 0, y 0 ,且1 _9i ,x y1 9 2；亘等号成立条件是1 9即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因 x y . xyx y此，在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：q x 0, y 0, 1 , x yx y-9x 10 6 10 16 x y当且仅当丫 9x时，上式等号成立，又二可得x 4, y 12时,y min 16。变式:

8、(1)若 x,y r 且2x y1,求工x1的最小值 y已知a,b,x,y r且a x1 ,求x y的最小值技巧七已知x,y 2y为正实数，且x 2 + 1=1,1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次,a 2 + b 2故采用公式ab0 得，0b152t2 + 34t 31令 t= b+1 , 1 t- 当且仅当t=4,即b=3, a = 6时，等号成立。法二：由已知得:30 ab = a +2b.a +2b 段,2 ab/. 30-ab2j2abau=yab则 u2 + 2y2 u-300, 5 2 q0, b0, ab （a + b） = 1,求a+b的最小值。2.若直

9、角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+2y=10,求函数 w=j3x +/2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，b /一力，本题很22简单解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。10 +w2 = 3x + 2y + 2 3x 72y = 10 + 23x(弋3x )2 (/2y )2 =10 + (3x + 2y)=20 wwj20 =2/变式：求函数y qp 。1lg ab lg ab2 y=x+- x当|工)7,即t=工小口时,y 2dt 4 5 9 (当t=2即x= 1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑