第2章信号描述及其

1、机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析本章主要内容本章主要内容 本本章主要内容包括信号及其分类、章主要内容包括信号及其分类、信号的描述和信号分析信号的描述和信号分析( (周期信号与离散频谱、傅里叶变周期信号与离散频谱、傅里叶变换及非周期信号的频谱换及非周期信号的频谱) )。本章基本要求本章基本要求 熟熟练掌握信号的基本概念及分类，练掌握信号的基本概念及分类，熟练掌握周期信号与非周期信号的频谱，熟练掌握傅里熟练掌握周期信号与非周期信号的频谱，熟练掌握傅里叶变换及常用傅里叶变换对。叶变换及常用傅里叶变换对。本章重点及难点本章重点及难点

2、本章重点为信号的分析，其中本章重点为信号的分析，其中信号频谱的求取为主要内容。难点为傅里叶变换。信号频谱的求取为主要内容。难点为傅里叶变换。 第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 首先应清楚如下三个方面：首先应清楚如下三个方面： 信号与信息信号与信息 信号与信息并非同一概念。信号与信息并非同一概念。 信号分析和信号处理信号分析和信号处理 信号分析和信号处理并没有明确的信号分析和信号处理并没有明确的界限，通常把研究信号的构成和特征称为信号分析，把信号经界限，通常把研究信号的构成和特征称为信

3、号分析，把信号经过必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理。过必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理。 对信号进行分析与处理的原因对信号进行分析与处理的原因 在一般情况下，仅通过对在一般情况下，仅通过对信号波形的直接观察，很难获取所需要的信息，需要对信号进信号波形的直接观察，很难获取所需要的信息，需要对信号进行必要的分析和处理。行必要的分析和处理。 机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析一一. 信号的分类信号的分类 非确定性信号一般非周期信号准周期信号非周期信号一般周期信号周期信号信号谐波信号确定信号1 信号描述及其分析信号描

4、述及其分析机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 能用确定的数学关系式描述的信号称为能用确定的数学关系式描述的信号称为确定性信号确定性信号。确定性。确定性信号可分为周期信号和非周期信号。信号可分为周期信号和非周期信号。 1. 周期信号周期信号 周期信号周期信号是按一定时间间隔周期出现、无始无终的信号。是按一定时间间隔周期出现、无始无终的信号。其表达式为其表达式为 x(t)=x(t+nT) (n=1,2,3,) (2.1.1)其中其中T T为周期。为周期。二二. 确定性信号确定性信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 682

5、15第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析正弦信号正弦信号正弦信号表达式为正弦信号表达式为 x(t)=x0sin(0t+0)=Asin(0t+0) (2.1.2)其中其中x0=A为幅值；为幅值；0为角频率；为角频率；0为初始相位角。其周为初始相位角。其周期期T T、频率、频率f、角频率、角频率0之间的关系为之间的关系为 T=2/0=1/f (2.1.3)机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 幅值、频率和相位，三者唯一地确定了正弦信号的形式幅值、频率和相位，三者唯一地确定了正弦信号的形式。余弦信号与正弦信号只是相位相差余弦信号

6、与正弦信号只是相位相差/2，也可称为正弦信号。，也可称为正弦信号。正弦信号的曲线见图正弦信号的曲线见图2.1.1。图图2.1.1 正弦信号正弦信号 机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期非周期信号信号。非周期信号中包含非周期信号中包含准周期信号准周期信号和和瞬变非周期信号瞬变非周期信号。 准周期信号准周期信号是由两种以上的周期信号合成的，但各周期是由两种以上的周期信号合成的，但各周期分量无公共周期，如分量无公共周期，如x(t)=sin2t+s

7、in31/3t。除此之外的非周期信。除此之外的非周期信号均为号均为瞬变非周期信号瞬变非周期信号，其特点是在一定时间区间内存在，其特点是在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零。物理和工程上很多现象都可或随着时间的增长而衰减至零。物理和工程上很多现象都可用瞬变非周期信号来描述。如机械脉冲或电脉冲信号、阶跃用瞬变非周期信号来描述。如机械脉冲或电脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等。信号和指数衰减信号等。 2. 非周期信号非周期信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析数学表达式为数学表达式为0 0 0 )0( Ae)(tttxt其

8、中其中为衰减系数。为衰减系数。函数图形见图函数图形见图2.1.2。 (2.1.4)图图2.1.2 单边指数衰减信号单边指数衰减信号 单边指数衰减信号单边指数衰减信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 随机信号随机信号是一种不能准确预测未来瞬时值，也无法是一种不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式来描述的信号。在自然界和工程实验中有用数学关系式来描述的信号。在自然界和工程实验中有许多随机信号，例如汽车行驶时产生的震动和环境噪声许多随机信号，例如汽车行驶时产生的震动和环境噪声等。随机信号可以用数理统计的方法进行描述。等。随机信号

9、可以用数理统计的方法进行描述。 三三. 随机信号随机信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析四四. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 根据确定性信号的数学表达式中独立变量根据确定性信号的数学表达式中独立变量(一般是时一般是时间自变量间自变量2)的取值是否连续，可分为连续信号和离散的取值是否连续，可分为连续信号和离散信号两大类。若独立变量的取值是连续的，则称为信号两大类。若独立变量的取值是连续的，则称为连连续信号续信号；若独立变量的取值是离散的，则称为；若独立变量的取值是离散的，则称为离散信离散信号号。连续信号的幅值可以是连续的

10、，也可以是离散的。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。若独立变量和幅值均取连续值，则称为若独立变量和幅值均取连续值，则称为模拟信号模拟信号。若。若离散信号的幅值是连续的，称为离散信号的幅值是连续的，称为采样信号采样信号；若离散信；若离散信号的幅值也是离散的，则称为号的幅值也是离散的，则称为数字信号数字信号。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 在非电量测量中，还常常涉及到能量信号和功率信号。在非电量测量中，还常常涉及到能量信号和功率信号。信号按时间函数的可积性可分为能量信号、功率信号及非信号按时间函数的可积性可分为能量信号

11、、功率信号及非能量非功率信号。能量非功率信号。五五. 能量信号和功率信号能量信号和功率信号参见教材：参见教材：P.20机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析1. 信号能量及功率信号能量及功率 信号信号x(t)可看作是随时间变化的电压或电流其平方的无可看作是随时间变化的电压或电流其平方的无穷积分总表加到穷积分总表加到1欧姆电阻上的能量，简称为欧姆电阻上的能量，简称为信号能量信号能量 E，即即ttxd )(limETT2Tttxd )(2T1limPTT2T其其平均功率平均功率P定义为定义为(2.1.5)(2.1.6)机电工程学院机电工

12、程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析2. 能量信号能量信号 若信号若信号x(t)的能量有界，即的能量有界，即0 E + ，则称此信，则称此信号为能量有限信号，简称为号为能量有限信号，简称为能量信号能量信号(energy signal) ，此时此时P=0 。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析3. 功率信号功率信号若信号若信号x(t)的功率有界，即的功率有界，即0 P + ，则称此信，则称此信号为功率有限信号，简称为号为功率有限信号，简称为功率信号功率信号(power signal) ，

13、此时，此时E = 。 机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析4. 功率信号与能量信号的关系功率信号与能量信号的关系 (1) 一个信号不可能既是功率信号又是能量信号。一个信号不可能既是功率信号又是能量信号。 利用定义可证明。利用定义可证明。 (2) 信号可以是一个既非功率信号又非能量信号。信号可以是一个既非功率信号又非能量信号。 如单位斜坡信号。如单位斜坡信号。 (3) 分类分类: 功率信号功率信号+能量信号能量信号+非功率信号又非非功率信号又非能量信号能量信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描

14、述及其分析信号描述及其分析 本节主要介绍了信号的分类。由于不同类型的本节主要介绍了信号的分类。由于不同类型的信号其处理方法不同，所以必须善于区分不同类型信号其处理方法不同，所以必须善于区分不同类型的信号。的信号。本节小结本节小结机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反映时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反映信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信号的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构号的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构和

15、各频率成分的幅值、相位关系。和各频率成分的幅值、相位关系。2 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析信号的时域描述与时域分析信号的时域描述与时域分析 时域描述时域描述 本本课程所研究的信号一般是随时间变化课程所研究的信号一般是随时间变化的物理量，抽象为以时间为自变量表达的函数，称的物理量，抽象为以时间为自变量表达的函数，称为信号的为信号的时域描述时域描述。 时域分析时域分析 求取信号幅值的特征参数以及信号波求取信号幅值的特征参数以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的形在不同时刻的相似性

16、和关联性，称为信号的时域时域分析分析。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析信号的频域描述与频域分析信号的频域描述与频域分析 频域描述频域描述 描述信号的独立变量若是频率，则称为描述信号的独立变量若是频率，则称为信号的信号的频域描述频域描述。 频域分析频域分析 以频率作为独立变量建立信号与频率的以频率作为独立变量建立信号与频率的函数关系，称为函数关系，称为频域分析频域分析或或频谱分析频谱分析。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 注意：注意： 信号的时域分析最基本的方法

17、是高等数学的函数分信号的时域分析最基本的方法是高等数学的函数分析法。本课程不再赘述。析法。本课程不再赘述。 信号的频域分析信号的频域分析(频谱分析频谱分析)主要方法之一是傅里叶主要方法之一是傅里叶变换。本课程仅要求掌握信号的频谱图的绘制。傅里变换。本课程仅要求掌握信号的频谱图的绘制。傅里叶变换的知识叶变换的知识不再赘述。不再赘述。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析1000)sincos()(nnntnbtnaatxttxad )(T1T/2T/20ttntxand)cos(T2T/2T/20ttntxbnd)sin(T2T/2T

18、/20 1. 傅里叶级数傅里叶级数(FSFourier Series)三角函数展开式三角函数展开式 (1) 一般展开式一般展开式 周期函数周期函数x(t)的傅里叶级数一般展开式为的傅里叶级数一般展开式为设周期为设周期为T，角频率为，角频率为0=2/T，则其中各系数分别为，则其中各系数分别为, (2.2.2)(2.2.1)一一. 傅里叶级数与周期信号的频谱傅里叶级数与周期信号的频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析(2) 正弦项展开式正弦项展开式将将(2.2.1)式中正弦与余弦项合并，可得正弦项分解式式中正弦与余弦项合并，可得正弦

19、项分解式100)sin(A)(nnntnatx 结论：结论：任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个周期内表示成一个常值分量和一系列正弦分量之和的形式。周期内表示成一个常值分量和一系列正弦分量之和的形式。其中，其中，n=1的正弦分量称为的正弦分量称为基波基波，相应的频率，相应的频率0称为称为基频基频；其；其余各项分别称为余各项分别称为n次谐波次谐波，相应的频率称为，相应的频率称为n次谐波频率次谐波频率。 (2.2.3)其中其中 An=(a2n+b2n)1/2，n=arctan(an/bn) (2.2.4)机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan

20、68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析(3) 奇函数展开式奇函数展开式An=|bn|，n=m (m为整数为整数) ，取，取 n=0。对奇函数有对奇函数有an=0，其展开式只含有正弦项分量，即，其展开式只含有正弦项分量，即100sin)(nntnbatx(教材教材P.23)(2.2.5)机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析(4) 偶函数展开式偶函数展开式对偶函数有对偶函数有bn=0，其展开式只含有余弦项分量，即，其展开式只含有余弦项分量，即100100) 2/sin(cos)(nnnntnaatnaatxAn=|an

21、|，n=(2m+1)/2 (m为整数为整数) ，取，取 n=/2。(2.2.6)机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 式式(2.2.3)实际描述了周期信号实际描述了周期信号x(t)的频率结构。以幅值的频率结构。以幅值An为纵坐标，频率为纵坐标，频率(=n0，n=1,2,3,)为横坐标画出的为横坐标画出的An图称为图称为幅值频谱图幅值频谱图，简称，简称幅频谱幅频谱；以；以n为纵坐标，以为纵坐标，以为横坐为横坐标画出的标画出的n图称为图称为相位频谱图相位频谱图，简称，简称相频谱相频谱。 幅频谱、相频谱统称幅频谱、相频谱统称频谱频谱。对

22、信号进行变换，获得频谱。对信号进行变换，获得频谱的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。2. 周期信号的频谱周期信号的频谱教材教材P.22机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 注：注：式式(2.2.3)中有的教材是以余弦展开，相应相位相中有的教材是以余弦展开，相应相位相差差请同学们思考以上各步骤的意义和目的！请同学们思考以上各步骤的意义和目的！(1) 确定周期信号确定周期信号的周期的周期T与角频率与角频率。(2) 确定周期信号确定周期信号的奇偶性。的奇偶性。(3) 确定周期信号确定周期信号(4)

23、 确定三角展开系数确定三角展开系数(5) 确定正弦展开系数确定正弦展开系数A 与相位与相位。(6) 绘制频谱图绘制频谱图与与 。周期信号频谱图的绘制步骤周期信号频谱图的绘制步骤机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析求如图求如图2.2.1(a)所示的周期方波所示的周期方波x(t)的频谱。的频谱。图图2.2.1 周期方波信号及其频谱周期方波信号及其频谱a) 周期方波周期方波 b) 幅频图幅频图 c)相频图相频图 解解 该方波在一个周期内的表达式为该方波在一个周期内的表达式为0T/2-A -T/20A )(tttx例例2.2.1教材教材P

24、.21机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析该周期信号该周期信号x(t)为奇函数，为奇函数，a0=an=0，展开式仅含正弦分量。，展开式仅含正弦分量。ttnttntxbndAsinT4d)sin(T2T/200T/2T/20, 5 , 3 , 1 A4,4,6,2 0 cosA22/00nnntnnT其傅里叶级数、其傅里叶级数、正弦展开系数正弦展开系数A 与相位与相位分别为分别为 10101)sin(2121A4sin1A4)(kntkktnntx正弦展开系数正弦展开系数A，相位，相位0(以余弦形式展以余弦形式展开则为开则为-/2)

25、。其频谱图如图。其频谱图如图2.2.1(b)、(c)所示。所示。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析求图求图2.2.2(a)所示三角波的频谱。所示三角波的频谱。 图图2.2.2 三角波信号及其频谱三角波信号及其频谱(a) 三角波三角波 (b) 幅频图幅频图 (c)相频图相频图 解解 该方波在一个周期内的表达式为该方波在一个周期内的表达式为0T/2- (2A/T)-A-T/20 (2A/T)A)(tttttx/2例例2.2.2教材教材P.22机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述

26、及其分析 由图可知，该周期信号由图可知，该周期信号x(t)为偶函数，因此为偶函数，因此bn=0，其展开式，其展开式只含有余弦项分量。由于只含有余弦项分量。由于 2Ad )T2A-(AT1d )(T1T/20T/2T/20ttttxattntttntxand)cosT2-(1T4Ad)cos(T2T/200T/2T/20, 6 , 4 , 2 0 , 5 , 3 , 1 )(2A)cos1 ()(2A22nnnnn机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析00221)2(cos) 12(1A42A)(ktkktx其傅里叶级数为其傅里叶级数

27、为由此可画出其频谱图如图由此可画出其频谱图如图2.2.2(b)、(c)所示。所示。21)2sin() 12(1A42A0022ktkk正弦展开系数正弦展开系数A2相位相位/2(以余弦形式展开则为以余弦形式展开则为0) 注：其频谱图注：其频谱图 (c)与教材与教材P.23所示图所示图1-7进行比较，你进行比较，你能得到什么结论？能得到什么结论？机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 (1) 例例2.2.1中幅值谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，中幅值谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，随着频率的提高，谐波的幅值以随着频率的提高，谐波的幅

28、值以1/n的规律收敛。其的规律收敛。其1,3,5次谐波次谐波逐次叠加后的图形如图逐次叠加后的图形如图2.2.3所示。很清楚，傅里叶级数是对周所示。很清楚，傅里叶级数是对周期信号的谐波分解。期信号的谐波分解。图图2.2.3 谐波逐次叠加后的图形谐波逐次叠加后的图形(a)1次次 (b)1,3次次 (c)1,3,5次次 (d)偶方波偶方波 (d)例题小结例题小结机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 (2) 正弦展开系数正弦展开系数An表示了相应频率表示了相应频率n0对应下的展开对应下的展开分量的幅值，即该频率分量在展开式中所占的分量的幅

29、值，即该频率分量在展开式中所占的“比重比重”。 从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分频谱衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时组成，而方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表现为含高频成分多的时域波形域波形上，表现为含高频成分多的时域波形(方波方波)的变化比的变化比含高频成分少的时域波形含高频成分少的时域波形(三角波三角波)的变化要剧烈得多。因此，的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化剧烈程度，大概判断它的频谱成分

30、。可根据时域波形变化剧烈程度，大概判断它的频谱成分。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 周期信号的频谱具有以下特点。周期信号的频谱具有以下特点。 (1) 离散性离散性 (2) 谐波性谐波性 (3) 收敛性收敛性 4. 频谱分析的意义频谱分析的意义 通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波幅值和相位信息。这对于动态测试率结构以及各谐波幅值和相位信息。这对于动态测试具有重要的意义。具

31、有重要的意义。 3. 周期信号频谱特点周期信号频谱特点教材教材P.25机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析图图2.2.4 周期方波的时域与频域对应关系周期方波的时域与频域对应关系 图图2.2.4所示的三维图，所示的三维图，表明了同一个周期信号方表明了同一个周期信号方波波(图中只画出一个周期图中只画出一个周期)的时域描述和频域描述间的时域描述和频域描述间的对应关系。时域描述、的对应关系。时域描述、频域描述是对同一信号的频域描述是对同一信号的不同描述方法，并没有改不同描述方法，并没有改变信号本身的特性，它们变信号本身的特性，它们只是通

32、过不同的描述方法只是通过不同的描述方法表征了信号的不同特征。表征了信号的不同特征。 教材教材P.21机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 由于复指数函数在某些场合下运算和分析非常简由于复指数函数在某些场合下运算和分析非常简便，因此可以将傅里叶级数写成复指数函数形式。便，因此可以将傅里叶级数写成复指数函数形式。 二二. 复指数形式傅里叶级数展开式复指数形式傅里叶级数展开式机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析ntnnCtx0je)(ttxtnd)e(T1T/2T/2j -

33、0nje 根据欧拉公式可得根据欧拉公式可得 cost=(e-jt+ejt)/2，sint=j(e-jt-ejt)/2 (2.2.7)Cn=(an-jbn)/2=CnR+jCnI=|Cn|Cn|=(C2nR+C2nI)1/2=An/2，n=arctan(CnI/CnR) (2.2.9) 将其代入式将其代入式(2.2.1)，整理即得复指数形式傅里叶级数展开式，整理即得复指数形式傅里叶级数展开式(2.2.8)其中其中1. 复指数形式展开式复指数形式展开式机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 以以为横坐标作图，分别以为横坐标作图，分别以|

34、Cn|与与n为纵坐标，即为纵坐标，即可得复指数形式傅里叶级数展开式的幅频图与相频图。可得复指数形式傅里叶级数展开式的幅频图与相频图。 周期信号复指数频谱图的绘制步骤周期信号复指数频谱图的绘制步骤 (1) 由周期信号由周期信号的实频谱图的作图步骤确定正弦的实频谱图的作图步骤确定正弦展开系数展开系数a 与与 。 (2) 由下公式确定周期信号由下公式确定周期信号的复指数展开系数的复指数展开系数C与与。C0= a0，Cn =(an-jbn)/2，=(an+jbn)/2(3) 由由(2.2.9)确定复指数展开式相应的模确定复指数展开式相应的模|Cn|与复角与复角n 。(4) 作作幅频图与相频图幅频图与相

35、频图。注：可直接积分求得复指数系数注：可直接积分求得复指数系数Cn 。2. 复指数频谱图复指数频谱图机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 求例求例2.2.1中周期方波信号中周期方波信号x(t)的复指数形式傅的复指数形式傅里叶级数展开式。里叶级数展开式。解解 将将x(t)分为分为2个半周期代入个半周期代入(2.2.9)式，得式，得dAed(-A)eT1T/20j -0T/2j -00ttCtntnn,n,nnnn64200531A2j2(-1)-2j12A001)-(e-)e-(1TA00jj -tntn例例2.2.3机电工程学院机

36、电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析,n,n531 2531 2 ktkktx01)j(2e121A2j)(由于由于Cn为纯虚数，故为纯虚数，故(请思考：为什么？另：请作出频谱请思考：为什么？另：请作出频谱图图)x(t)的复指数形式傅里叶级数展开式为的复指数形式傅里叶级数展开式为 (k=0,1,2,3,)n=注：可直接积分求得复指数系数注：可直接积分求得复指数系数Cn 。机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析例例2.2.4解：解：由欧拉公式有由欧拉公式有 )(21j)(000jjjt

37、ttnneeeCtx由此可知由此可知 C1=-j/2，C-1=j/2，Cn=0(n1) C1 =1/2， Cn =0(n1)因因C1=-j/2与与C-1=j/2，均为纯虚数，其复角分别为，均为纯虚数，其复角分别为-/2与与/2请给出周期信号请给出周期信号x(t)=sint的双边频谱图。的双边频谱图。教材教材P.24机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析由上知，其幅值双边频谱图与相位双边频谱图分别如下由上知，其幅值双边频谱图与相位双边频谱图分别如下幅值双边频谱幅值双边频谱 相位双边频谱相位双边频谱 Cn -001/2n-00/2-/2

38、机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 本节主要介绍了周期信号的傅里叶级数展开式及相应频谱。本节主要介绍了周期信号的傅里叶级数展开式及相应频谱。周期信号的频谱描述工具是傅里叶级数展开式，它的两种展开周期信号的频谱描述工具是傅里叶级数展开式，它的两种展开形式有以下特点与联系。形式有以下特点与联系。(可作为作频谱图的参考思路可作为作频谱图的参考思路) 1. 三角函数形式对应的频谱为单边频谱三角函数形式对应的频谱为单边频谱(0+)，而复，而复指数形式对应的频谱为双边频谱指数形式对应的频谱为双边频谱(-1，则时域波形在时间轴上被压缩，则时域

39、波形在时间轴上被压缩a倍，倍，导致频域波形在频率轴上被扩展导致频域波形在频率轴上被扩展a倍；如果倍；如果a 1，则时域波形在，则时域波形在时间轴上被扩展时间轴上被扩展1/a倍，导致频域波形在频率轴上被压缩倍，导致频域波形在频率轴上被压缩1/a倍。倍。如果如果x(t)X(f)，则，则 x(tt0)X(f) 0j2eft 该式表明，信号沿时间轴前后移动产生时移，则变换到频该式表明，信号沿时间轴前后移动产生时移，则变换到频率域中，其频谱相应产生附加相移，而幅值谱保持不变。率域中，其频谱相应产生附加相移，而幅值谱保持不变。5. 时移特性时移特性(2.3.11)机电工程学院机电工程学院 Sun Chua

40、n 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析如果如果x(t)X(f)，则，则x(t)tf0j2e6. 频移特性频移特性X(ff0) (2.3.12)7. 微分和积分特性微分和积分特性如果如果x(t)X(f)，则，则nnttxd)(dtttx )d(nnffd)X(d (j2f)nX(f) (j2f)-1X(f) (2.3.13)(-j2f)nx(t) 机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析(1) 卷积概念卷积概念 2个函数个函数x1(t)与与x2(t)的卷积定义为的卷积定义为x1(t)*x2(t)=-21)d-()(t

41、xx (2.3.14)(2) 时域卷积特性时域卷积特性 如果如果x1(t)X1(f)，x2(t)X2(f)，则，则 x1(t)*x2(t)X1(f)X2(f) (2.3.15) (3) 频域卷积特性频域卷积特性(调制特性调制特性) 如果如果x1(t)X1(f)，x2(t)X2(f)，则则 x1(t)x2(t)X1(f)*X2(f) (2.3.16)8. 卷积特性卷积特性机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析1. 单位脉冲信号单位脉冲信号(t)(unit impulse function) (1) 函数定义函数定义 如图如图2.3.4

42、，在，在时间内激发一个面积为时间内激发一个面积为1的矩的矩形脉冲形脉冲S(t)。当。当时，时，S(t)的极限就称为的极限就称为函数函数，记作，记作(t)。对于对于函数，分别从函数值极限与函数面积角度有函数，分别从函数值极限与函数面积角度有0 00 tt1)d(tt，(t)= (2.3.15)实际应用中常采用瞬时冲击来近似信号，如图实际应用中常采用瞬时冲击来近似信号，如图2.3.5所示。所示。三三. 典型信号的频谱典型信号的频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析图图2.3.4 矩形脉冲与矩形脉冲与函数函数图图2.3.5 瞬时冲击近

43、似瞬时冲击近似信号信号机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析)()d()(00txttttxttftd)e(j2-(2) 函数性质函数性质 函数主要有以下性质。函数主要有以下性质。A. 采样特性采样特性B. 卷积特性卷积特性 x(t)*(tt0)=x(tt0) (2.3.20)(3) 函数傅里叶变换函数傅里叶变换 函数的傅里叶变换为函数的傅里叶变换为=e0=1 (2.3.21) (2.3.19)(f)=0j2efttf0j2etf0j2e(4) 相关频谱相关频谱A. 函数函数 (t)1,(t-t0)B. 常函数常函数x(t)=1 1

44、(f) (2.3.23)(f-f0) (2.3.24)(2.3.22)C. 复指数函数复指数函数x(t)=机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 2. 正弦信号正弦信号 正弦信号不满足绝对可积的条件，其傅里叶变换可根据频正弦信号不满足绝对可积的条件，其傅里叶变换可根据频移特性求得。移特性求得。 sin2f0t(f+f0)-(f-f0)/2， cos2f0t(f+f0)+(f-f0)/2 (2.3.25)其频谱图如图其频谱图如图2.3.6所示。所示。图图2.3.6 正弦信号及其频谱正弦信号及其频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Ch

45、uan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析3. 单位阶跃信号单位阶跃信号(t)(1) 定义定义 单位阶跃信号单位阶跃信号(t)的定义为的定义为0001)( ttt (2.3.26)(2) (t)的傅里叶变换对的傅里叶变换对 (t)(f)/2+1/j2f (2.3.27)(3) (t)的图形与频谱的图形与频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析4. 符号函数符号函数sgn(t)(1) 定义定义 符号函数符号函数sgn(t)的定义为的定义为0101tt(2) sgn(t)的傅里叶变换对的傅里叶变换对 由于由于sgn

46、(t)=(t)-(-t)，可求得，可求得 sgn(t)1/jf (2.3.29)(3) sgn(t)的图形与频谱的图形与频谱 sgn(t)=(2.3.28)机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析nnt)T(sktkfsj2seT1)eF(T1j2sktkfskkff)(T1sskkf)T1(T1ss(1) 梳状函数的定义梳状函数的定义 令令Ts为其周期，则为其周期，则(2) 梳状函数傅里叶变换梳状函数傅里叶变换 梳状函数的傅里叶变换为梳状函数的傅里叶变换为 (2.3.31)5. 周期单位脉冲序列周期单位脉冲序列(梳状函数梳状函数)

47、comb(t,Ts)=T(t)=(2.3.30)T(t)=机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 (3) 梳状函数及其频谱梳状函数及其频谱 梳状函数的时域与频域波形都呈等梳状函数的时域与频域波形都呈等间隔离散状态，且其间隔与幅值都存在一定关系。如果时域脉间隔离散状态，且其间隔与幅值都存在一定关系。如果时域脉冲幅值为冲幅值为1，则频域脉冲幅值就为，则频域脉冲幅值就为1/Ts；时域间隔为；时域间隔为Ts时，频域时，频域间隔就为间隔就为1/Ts。 图图2.3.9 梳状函数及其频谱梳状函数及其频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan

48、 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析ntnnCtx0je)(nnnffC)-(0 6. 一般周期信号一般周期信号 (1) 一般周期信号傅里叶变换一般周期信号傅里叶变换 由式由式(2.2.8)，一般周期信号，一般周期信号x(t)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数从而其傅里叶变换为从而其傅里叶变换为 x(t)X(f)=(2) 一般周期信号的频谱一般周期信号的频谱 (2.3.32)图图2.3.10 一般周期信号的频谱一般周期信号的频谱机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描述及其分析 本节主要介绍了傅里叶变换及非周期信号的频谱。

49、本节主要介绍了傅里叶变换及非周期信号的频谱。傅里叶变换将信号的时域与频域分析联系起来，在实傅里叶变换将信号的时域与频域分析联系起来，在实际进行信号分析时，如果在时域分析变得困难时，可际进行信号分析时，如果在时域分析变得困难时，可通过傅里叶变换将其变换到频域分析，反之亦然。实通过傅里叶变换将其变换到频域分析，反之亦然。实际进行傅里叶变换或其反变换时，可充分利用傅里叶际进行傅里叶变换或其反变换时，可充分利用傅里叶变换的性质与已知常用信号的傅里叶变换对，这样可变换的性质与已知常用信号的傅里叶变换对，这样可以极大地简化相关问题。以极大地简化相关问题。 本节小结本节小结机电工程学院机电工程学院 Sun Chuan 68215第第2章章 信号描述及其分析信号描