矩阵在实际生活中的应用

1、矩阵在实际生活中的应用作者： 日期：浅谈矩阵在实际生活中的应用摘要 ： 从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天， 数学越来越多地被应用于我们的生活， 可以说数学与生活实际息息相关。 我们在 学习数学知识的同时， 不能忘记把数学知识应用于生活。 在学习线性代数的过程 中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。 在本文中， 我们对代数中 的矩阵在成本计算、 人口流动、加密解密、 计算机图形变换等方面的应用进行了 探究。关键词： 线性代数 矩阵 实际 应用Abstract: From the development of mathematics, we can see tha

2、t it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process

3、of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical applicatio

4、n81 引言数学作为一门相当重要的学科， 在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色， 它凝聚 了每一代聪明智慧的人们的结晶。 数学应用的领域遍及我们日常生活的每个部分， 数学是我 们的基本功， 是每个人或多或少都应该懂的知识。 数学是一门神奇的学科， 它有着迷人的魅 力，让一代又一代的数学爱好者为之痴迷，他们在这方面也做出不朽的贡献。如今，我们将 带着好奇的心走进数学领域中的一门有趣的课线性代数 ，其中我们将对矩阵的应用 做简要的介绍。 矩阵是一个大家听起来很陌生的次， 但它简单易懂而且在生活中有重要的作 用。下面我们将举例论述矩阵在实际生活中的应用。2 实际应用举例2.1 生产成本计算在社会

5、生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、 分析，但是得到的原始数据往往纷繁杂乱，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。 在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。例 1. 某工厂生产三种产品 A、 B、 C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用 等见表 1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、 每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。表 1. 生产单位产品的成本（元） 表 2. 每种产品各季度产量（件）成本产品ABC原料费用102015支付

6、工资304020管理及其他费用101510产品春季夏季秋季冬季A2000300025002000B2800480037003000C2500350040002000解：我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示：1020152000300025002000M304020N28004800370030001015102500350040002000通过矩阵的乘法运算得到MN113500178500 159000 110000222000 352000303000 22000087000110000 120500 85000MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度

7、的原料总成本；MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本；MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本；MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。对总成本进行汇总， 每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到， 每一季度的总 成本可由每一列相加得到。如下表：表 3. 总成本汇总表季度春季夏季秋季冬季全年原料费113500178500159000110000561000支付工资222000352000303000220

8、0001097000管理费及其他8700011000012050085000402500合计4225006405005825004150002060500这样， 我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。2.2 人口流动问题例 2. 假设某个中小城市及郊区乡镇共有 40 万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若 干年内保持不变，而社会调查表明：1)在这 40 万就业人员中，目前约有 25万人从事农业， 10万人从事工业， 5 万人经商；2)在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；3)在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经

9、商；4)在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。 解：若用三维向量(xi,yi,zi)T 表示第 i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知 (x 0,y 0,z 0) T=(25 ，10，5) T。而欲求(x 1,y 1,z 1) T，(x 2,y 2,z 2) T 并考察在 n时(x n,y n,z n) T的发 展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为X10.8x00.1y00.1z0 即：X10.80.10.1x0x0Y10.1x00.7y00.2z0Y10.10.70.2y0A y

10、0Z10.1x00.2y00.7z0Z10.10.20.7z0z0以(x 0,y 0,z 0)T=(25，10，5) T代入上式，即得 : X121.5Y110.5Z1 8即一年业人员的人数分别为 21.5 万 10.5 万、 8 万人。以及X2x1x0Y2A y1A2 y0Z2z1z0即两年后从事各业人员的人数分别为Xnxn 1YnA yn 1AnZnzn 119.0511.19.8519.05 万、 11.1 万、 9.85 万人。进而推得：x0y0z0即 n 年之后从事各业人员的人数完全由An决定。在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化， 进而解决了实

11、际生活中的人口流动问题。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。2.3 应用矩阵编制 Hill 密码 密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。 1929 年，希尔（ Hill ）通过矩阵理 论对传输信息进行加密处理， 提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。 下面我们介 绍一下这种算法的基本思想。假设我们要发出“ attack ”这个消息。首先把每个字母 a， b， c，d x，y，z 映射到 数 1，2，3，424，25，26。例如 1 表示 a，3 表示 c，20表示 t，11表示 k，另外用 0 表示空格，用 27 表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“ attack ”

12、：1, 20, 20, 1, 3, 1111 把这个消息按列写成矩阵的形式： M 20 320 11 1 2 3 第一步：“加密”工作。现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如: A 1 1 2012 于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A 变成“密码” （B）后发出。1231110140AM1122036126 B01220116025第二步：“解密”。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵 A 的逆矩阵 A-1 这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙” 。当然矩阵A 是通信双方都知道的。即用011011 1014011A 1 221 从密码中解出明码：A1B221 6126203M111111

13、60252011通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack”。在实际应用中， 可以选择不同的可逆矩阵， 不同的映射关系， 也可以把字母对应的数字 进行不同的排列得到不同的矩阵， 这样就有多种加密和解密的方式， 从而保证了传递信息的 秘密性。 上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用， 将高等代数与密码学紧密结合起来。 运用数 学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。3 结束语通过这次论文的举例， 加深了我们对矩阵的认识， 深刻理解了矩阵在实际生活中的应用， 矩阵在实际生活中的应用还有很多， 在次就不一一列举， 以后在日常生活中会经常接触。 这 次通过对矩阵的学习不仅加深了对矩阵的