与一元二次方程有关的竞赛题

1、与一元二次方程有关的竞赛题一、降次（一）直接用方程降次1.当 x=l + 时，多项式（4X3 -1997 X-1994 ）2001的值为_分析与解：2. 若 3x2-x = 1,则 9x4 + 12x3 - 2x2 -7x + 2005 的值等于分析与解：3. 设x2-V7x+7 = 0,则49+7x2+x4=。分析与解：（-）用根的关系式降次4. 己知Q,0是方程x2-x-l = 0的两个根，则的值为5.设几兀是二次方程亍+兀一3 = 0的两个根,求xf -4x； +19的值。分析与解：二、用根的判别式解题6.已知o,b,c是整数，且a-2b = 4,ab + c2 -1 = 0,求a +

2、b + c的值。分析与解：7.己知均为实数，且c/ + b = 4, 2Eab = 4屈 10,求“的值。分析与解：8已知为整数，且x2-ax+3-b = 0有两个不相等的实数根； x2 +(6-a)x+7-b = 0有两个相等的实数根；x2 + (4-n)x+(5-Z?) = 0没有实数根, 贝 ij ci + b =o分析与解：9加为整数时,关于x的方程x2-4(/n-l)x + (3/n2-2/n + 2k) = 0的根是有理数,求k的值。10.证明：已知关于X的一元二次方程Ax2+2Bx+c = 0 Bx2 +2Cx+A = 0 ex2+2Ax+B = 0中，至少有一个方程有实数根。分

3、析与解：+ Pix + eh = 0 和11设p、G、g、鼻为实数，且门円=2(/+g证明方程x，%2 + p2x + q2 =0中至少有一个实数根。分析与解：12.求方程2x2+xy+y2-x+2y + l = 0的整数解。分析与解：三、用韦达定理解题13 若 d,且有 5亍+2003c/ + 9 = 0及 9,+20036 +5 = 0.则分析与解:14.已知是3妒一兀一1 = 0的两根，不解方程。 求3对（兀2 +1）的值；（2） 9xf + 6x2 的值。分析与解：四、构造一元二次方程解题15. 已知实数满足a./s-117已知P、Q是有理数，x= 满足%3 + px+q = 0,则

4、+ q的值是. 18. 若ab且有5a+2001a + 9 = 0及9/+2001/7 + 5 = 0,则芈的值是b19. 已知实数 ci.b.c 满足 a+ b + c = 2、abc = 4. +ab + b2 = 1,且f = ab-a -b,那么f的取值范围是16. 若a,b,c均为实数，且a + b + c = O, abc = 2,那么a + b + c）最小值可达到_分析与解:20. 已知丄(b-c)= (d-b)(c-o)且qhO,则乞上=。4a分析与解：21. 已知实数 a、b、c 满足 a 丰 b ,且 1999(-b) + J1999 (b-c) + (c-a) = 0,

5、求 (一弩5的值。分析与解：22已知实数 x、y、z 满足 x+ y = 5 及才=y+y-9,贝ijx+2y + 3z 二。2 2 A A23.当X变化时，分式；X+-的最小值是X2 + X+1224已知x + - = 3,则疋+ 3疋一16x2 +3x-17的值等于。x25E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若ACEF、AABE、AADF的面积分别是3, 4,5, 求AAEF的面积S。分析与解:26. 己知实数a$b,且满足(d + 1)，=3 3(a + l),3(b + l) = 3 (b + l)S 的值。分析与解：五、一元二次方程的整数根的探究27. 已知a2x2 -(3a2

6、 -Sa)x +2a2 -13a+ 15 = 0 (其中d是非负整数)至少有一个整数根，那么，a二o28. 设关于x的二次方程伙2 -6k + 8)x2 +(2k2-6k-4)x + k2 = 4的两根都是整数。求 满足条件的所有实数k的值。分析与解：29. 设加为整数且4 也40,方程，_2(2加3)x + 4m14加+ 8 = 0有两个整数根， 求7的值及方程的根。分析与解：30. 已知方程x2-(k + 3)x+k2 = 0的根都是整数，求整数k的值及方程的根。分析与解：31. 直角三角形的两直角边长为整数，且满足方程亍-(? + 2)x + 4? = 0,试求加的值 及此直角三角形三边的长。分析