三角恒等变换地常用技

1、三角恒等变换的常用技巧把一个三角函数式转在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手, 化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换.三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1”的代换）【知识链接】1 =sin2 cos.求值：sin2 20 - cos2 50 sin20：cos50l=tan =sec2-tan2-esc2-cot2 .4【巩固与应用】1 .若x（肌，5二），贝U 1 -sinx可化为（） D2 2D .2si n(-)24A. 2sin（x二）B . 2cos（-）C . 2cos（Z_二）2 424242 .已知 t

2、an，求值：2sin 2a-sin otcosa+cos2 o（.题型二：公式变形【知识链接】tan二tan ： =（1 千 tan .篇tan | ）tan（、 二）.【巩固与应用】1 .化简:tan 10 tan 20 tan 20 tan60； tan10：tan60【2 . （1）已知 A B -4 ,求证：（1 - tan A）（1 - tan B） =2 ；（2）化简：（1 tan1 ）（1 tan2：）”|（1 tan44 ）（1 - tan45：）.题型三：升次降次【知识链接】2sin、； cos = sin 2 J.2 2 2 22sin a =1 -cos2G , 2cos

3、 a =1 +cos2a , cos a -sin a=cos2ot ,334sin -3sin ： -sin3、】,4cos cos3、 3cos、. 上面公式正用降次，反用升次.【巩固与应用】1 .若，则，1二cosJ的值是()2 2a -cos2A . sinB . cosC . -sinD2 2 2.求值：cos4 出一sin4 -=.8 8（08宁夏、海南理3-si n70； _2 -co 10A . 1 2 B ., 2 2C . 2 D .3 25 . (07陕西理4)已知sin a -, 5 5，则sin4 a-cos4 a的值为A .-1 5 B . J 5C. 1 5D.

4、3 56 .求函数y =sinx(sinx_cosx)的单调区间。增 半冗+彳*冗+# ,减,|kn丰,kn+fkEZ. . 27 .已知 cos( n4 - x3 5 , 17n12 ：x ：7n 4，求 sin2x 2sin x 的值。结果 竺1 -ta nx758 .已知函数 f (x) =2cosxsin x 亠n - . 3sin2x 亠sinxcosxI 3.丿(1) 求：函数f (x)的最大值及最小值；(2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；(3) 该函数图像可由y二sin 2x图像作怎样变化而得到。题型四：公式活用【知识链接】公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固

5、与应用】1 .求值：tan 10 ：tan 20 亠tan20：tan 60：亠tan60 tan10： = _2.已知r为第三象限角，且sin4 0 cos4 B = 5 ,那么sin 2 e等于(A )9A . 2 2 3 B . -2 2 3 C . 2 3 D . -2 33 .在厶 ABC 中，若 sin As in B cosAcos B +si n AcosB cos Asin B =2 ,则厶ABC为_等腰直角三角形4 .函数y =sin2 x-cos2 x 2的最小正周期是（） cA . 4 二B . 2 - C . n D . n 25 . （ 06 全国H理 10）若 f

6、（si nx） =3cos2x，则 f（cosx）等于 CA . 3 -cos2xB . 3 2sin 2x C . 3 cos2x D . 3 2sin 2x1仃3tt6 . （ 07浙江理12）已知si nV COST -，且，则COS2V的值是524题型五：弦切互化【知识链接】能实现转化的公式有：丄si nata n 二COS-I丄1 cos2atan 二sin2asin 2 二1 cos2：【巩固与应用】求值:（tan一丄）丄叫ta n5 1 +cos20-22 . 求值：sin 50；(1 、3ta n10J =11 +-ta n 2 a.已知 tan(45 a =1 2，贝U 一c

7、os2a一1 +1 +ta n 2 a cos2 a-求值：一14cos10 .tan 10、1.求证： sin2x(-tan x/2) =4costan x. 2. 若 sin 0 - cos 02，贝U tan 0+ 2tan 0-4题型六：辅助角变换【知识链接】1 .辅助角公式： asinx bcosx a2 b2 sin(x ).(其证明附后)2. 推论：sinx_cosx = 2sin(x);3sinx_cosx =2sin(x); sinx；.m3cosx = 2sin(x );463cosx 于sinx = 2cos(x ) ; 3cosx： sinx =2cos(x) ; co

8、sx于 3sin x= 2cos(x ).4631 tan x1- ta nx3 .利用公式tan(x )及tan( x)引入.1-ta nx41亠 ta nx4【巩固与应用】1. 函数y = 3sin( 2x) -cos2x的最小值是()3JA . 一专3 -1B . -1C .D . 02.把函数y =cosx - .3sin x的图像向左平移 m（m 0）个单位，所得的图像关于y轴对称则m的最小正值是（）AJIBC. D6333.函数ysin 2x -cos2x的最小正周期为sin2x cos2x4.求函数y =sin x (sin x -cosx）的单调区间.当三七时，函数f x 二

9、sinx3 cosx 的值(D ).最大值是1，最小值是-1 B .最大值是1最小值是-1. 2C .最大值是2最小值是-2 D.最大值是2最小值是-14 .与y =2sinx cosx的周期、振幅都相同的函数是（A ）A . y =；5sinxB . y =2sin xC . y =；：3cosxD . y =sinxcosx题型七：角的和差拆分变换【知识链接】1 .原则：化未知为已知.2 .拆分技巧：再如 10 =30 -20 .如 2 % = （ a （ a ； （）（） , ）（）,42432622a + B a B a = （a+B） B= （ a B） + B=+2 23 .半角与

10、倍角的相对性：如a是2a的半角，同时也是 上的倍角；上是a的半角，同时也是 /的224倍角；【巩固与应用】例 已知 sin（2 a- B） =3 , sin B = -12，且 a L，n , 3（， ,求 sin a 的值.5 13（2 丿 I 2 丿1. （ 06 重庆理 13）已知:-,（3，二），sin（很*；） = -3 , sin（ ）二12，则 co（二；：）=4 54134（1）求的 sin x 值；（2）求 sin 2x 的I 3丿2. （08天津理17）已知cos（x卫）=竺,x引电 I.4104丿值.1宀3厂3 . （07江苏理 11）若 cos（： 亠卩）,cosC -

11、） ，则 tan、,tan : =5 54 . （08 山东理 5）已知 cos（a ）+sin a=43，则 sin（a+工）的值是6 56A.-2 3 5 B . 2、3 5 C . -4 5 D . 4 5（08上海春理6）化简：cos（亠很）sin（亠:）=.3 6（08江苏理15）在平面直角坐标系 xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a、B,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知 A、B的横坐标分别为.2 10、2 5 5.（1）求tan（卅亠I ）的值；（2）求.；：2 :的值. .已知 0, sin-，cos（、 -，则 sin ：二 255A24.0 B . 0 或C.兰D

12、 .24+2525258sin 7 ： cos15 sin8 的值等于()cos7 -sin 15 sin8、A.23B. 23C . 2_3D .2- 3229.设sin（很亠2卜）=3sin ,则tan :-tan :10 已知 tan ? - - -2 , tan-,那么 tan的值是(B ) f 5 I 4 丿 4I 4 丿A 13 18 B 3 22 C . 13 22 D . 3 1811 .已知 a.3是锐角，cos a= 4/5 , tan( a_ =_1/3，求 cosB 的值。cos B= 题型八：和积互化（不要求）【知识链接】1.积化和差公式2.和差化积公式3 .禾口 s

13、in x -cosx 积 sin x cosx 互化.【巩固与应用】1.如果三（0,),sin v -cost2-，贝U cos2v 为(2)A.乜B.3. C3D.22242.已知 sin: cos:一 32a w5（0,二）那么tan：的值是( )A.-33B.-3C. 3 3D.3.化简:2 2 2 2 2二cos A+cos ( A)+cos ( A)3 34 .已知x是第二象限角，且sinx+cosx=a ( a|右),求下列各式的值：1 -sin x1 -cosx(1) tan x-cotx;(2)、一. 1 +sin x 1 +cosx5 .已知tan :- , tan 一：是方

14、程x2 2x -0的两根，求cs2cs2的值.sin2a +si n206 .已知三角形 ABC中的三个内角 代B,C满足A，C=2B , 12 .求cosC的cos A cos C cos B2值。解法（I ）:由题设条件 6, A+C=1202 1 12 22 2. cosA cosC = _2 2 cosAcosCcos60cosA cosCA +CA _c.2cos cos2cos(A C) cos(AC)2 2将 COSA-C 二COS60 二1 cos(A C)二-12 2 2.cosAC = 2 iJ2cos(AC)A _C由 cos(A -C) =2cos21.4 . 3 co

15、s2 A C 2cos2A 3.2 =02(2cosC f2)(2 2cos2 2A_C 3) =0；2.2cos3=0. cosAC2 2解法（II ）:因为B =60 , A C =120设a2c贝V A -C =2a.A =60 - a,C =60 -故cos A cos CCOS(60 ：亠 a) COS(60 - a)COS a23 .1 _ _ -1COS a 3 sin a 1COS a 3 sin a : COS a Sin 2 2 2 2 4 4COS a2a COS3a4COS aCOS a23COS a4COS B-2-. 2 . 4. 2 COS2 a 亠2cos a

16、-3、2 =023COS a4af$2) =0 . COS a - (: COS a2AC .cos2.(2 2 cos a 3)(2cos附录一起点公式的证明1 两角和余弦公式的推导2 两角和正弦公式的推导sin.二 1 -cos：s3 .半角公式tan的推导2 1 +cosasin a4 辅助角的推导及其推论asinx 亠bcosx = .a2 亠b2sin（x 亠；）,tan =b ； bcosx 亠asinx = a2 亠b2cos（x - ） , tan -.ab由asinx bcosx的系数a,b可得点P（a, b）（一定要注意a与b顺序），射线OP （ O为坐标原点）可作为某个角

17、的终边，设为 ，于是有：所以ta=b，co沁as i in b c oxS2 *2 b (Skn+coSxpwOs 令 in bp) + x其中，叫做辅助角，它所在象限取决于点P(a, b)所在象限，它的一个函数值为：tan =b .a推论：s i xi 土exo书12x4 i ； (3sin k ：)coSk =2sin(x 土匹);sinx 2csx =2sin(x 土卫);4 63cosx _sin x = 2cos(x 千一)； 3cosx _sin x =2cos(x千 _); cosx _ 3sin x =2cos(x千 _). 463口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，

18、前6后3 .5 .附录二些常用的结果1. (cos、；sin、工二cos、2 =1sin2、；.1 tan ：1 tan=tan(: 迎竺空Jtan(：.丄).sin:：cos：tan:：T4sin ： 亠cos ：sin-cos.-;；tan :-tan.-;；sin2.-;；tan 1一2cos2：tanasin 2a附录三万能公式2tan a1 -tan2 a2tan a2 2 2sin a， cos a， tan a 1 tan2 “1 tan2 “1 -tan2 “2 2 21 .已知 1 tanx = 3 1，求 sin2x的值.1 -tanx附录四半角公式sin卫=_ cosa，cosa = _ 1 cos a，tana =_ 1 一曲“ 也 二匕.(符号由半角终边位置决定) 222221 cos a 1 cos a sin a附录五衍生二倍角公式cos2 : =sin 2( ) =2cos( )sin()，4 44 i 1+il-fi 1+il-f+i2122121sin 2 : =cos2()=cos ()一sin ()=2cos ()一1 =1 -2sin ().44444附录六三倍角公式33sin 3G =