2021-2021版高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习提升学案苏教版选修2-1

1、第3章 空间向量与立体几何章未复习提升h知识网络整休构建厂要点归纳主十擁理1空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可 以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法那么与平行四边形法那么仍然成立.2两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.3空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求 解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题.4空间向量的根本定理说明： 用三个

2、不共面的向量a, b, c可以线性表示出空间任意 一个向量，而且表示的结果是惟一的.5利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.6.禾U用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出点的坐标，只有正确表示出点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.m方法总结患想构建1数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形

3、象思维结合，通过“以形助数和“以数解形使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形与代数中的“数有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.例1 某几何体 ABC- ABC的三视图和直观图如下图.(1) 求证：AC丄平面ABC; 求二面角C AB- C的余弦值.(1) 证明由三视图可知，在三棱柱 ABC- ABC中，AA丄底面 AB C, B C丄AQ,且 AA = AC= 4, BC= 3.以点C为原点，分别以 CA CB CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标

4、系, 如下图.由可得 A(4,0,0) , B(0,3,0) , qO,O,O) , A(4,0,4) , B(0,3,4) , C(0,0,4), CA= (4,0,4), CA= (4,0 , - 4) , CB= (0,3,0),CA CA= 0, CA gBi = 0, CA丄GA, CA丄G Bi,又 CAP C B = C, C A?平面 ABC,CB ?平面 ABC, Ai C丄平面ABC.解 由(1 )得，CA= (4,0,0) , CB= (0,3,4),设平面ABC的法向量为n= (x, y, z), Cain, CB丄n,.CA n= 0,CB n= 0,即 X= 0,3

5、y + 4z = 0,3令 y=,那么 z=- 4, n= (0,1，- |),4n CA又由(1 )知，平面 ABC的一个法向量为 CA= (4,0,4), cos n CA=5丨n I 丨CA| 4羽 5.面角C - AB - C的余弦值为0.跟踪训练1 正方体 ABCDA1 C D的棱长为2, E、F分别是BB、DD的中点，求证:(1) FC/平面 ADE平面AD/平面B CF.证明(1 )建立如下图空间直角坐标系D-xyz,贝U有 D0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0) ,C (0,2,2)，曰2,2,1 ) , F(0,0,1 )B (2 , 2,2),所以 FC= (0

6、,2,1 ),Ba= (2,0,0) , XE= (0,2,1 ).设ni = (Xi, yi, zi )是平面ADE的法向量,那么ni丄6A ni丄AEni即ni AE= 2yi+ 乙=0 ,x i = 0 , zi = - 2yi ,令 zi = 2,那么 yi = - 1，所以 ni=(0，- 1,2).因为 FC n i=-2 + 2 = 0,所以 FC 丄 ni.又因为FG?平面ADE所以FG /平面ADE因为GB = (2,0,0),设n2= (X2, y2, Z2)是平面BGF的一个法向量.由压丄FC, m丄Gfe,X2= 0, 得Z2=- 2y2.n2 FG= 2y2+ Z2=

7、 0,n2 GBi= 2x2= 0,令 Z2 = 2,得 y2=- 1，所以 n2= (0，- 1,2),因为n1 = n2，所以n1/压，所以平面 AD曰平面BGF.2. 转化和化归思想转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上， 而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，到达最终 解决问题的目的.例2如下图，多面体 EABGD的底面ABGDI边长为2的正方形,1EAL底面ABGD FD/ EA且FD=已心1.(1) 求多面体 EABGD的体积；(

8、2) 求直线EB与平面EGF所成角的正弦值；(3) 记线段BC的中点为K,在平面ABC呐过点K作一条直线与平面 EGF平行，要求保存作 图痕迹，但不要求证明.解(1)如下图，连结ED/ EA丄底面 ABCDt FD/ EA FD丄底面ABCD FD丄 ADDC!AD FDA CD= D,FD?平面FDC CD?平面FDC AD丄平面FDC11 12 I VE- FCD= ：XT：X 1X 2X 2=-33 23VE-ABC= EAABC= 3 x 2X 2X 2=多面体EABCD的体积V 多面体=Ve- fcd+ Ve -ABCD=103 . 以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线

9、为y轴，AE所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系如下图.由可得 A(0,0,0),日0,0,2), B(2,0,0) , Q2,2,0) , F(0,2,1), EC- (2,2 , - 2) , EB= (2,0 , - 2) , EF= (0,2 , - 1),设平面ECF的法向量为n = (x, y，z),那么“ 4 0，n EF= 0,2x+ 2y 2z= 0,2y z = 0,取y= 1，得平面ECF的一个法向量为n= (1,1,2),设直线EB与平面ECF所成角为0 , sin 0 = |cos n, Eb | = |I n| 丨 EBn EB21 =砸=走=6 如下图，取线段 C

10、D的中点Q连结KQ直线KQ即为所求.跟踪训练2如图，四棱锥 FABC啲底面ABCD是菱形，其对角线 AC= 2, BD=2. CF与平面 ABCDt直，CF= 2.求二面角 BAFD勺大小.解 过点A作AE!平面ABCD以A为坐标原点，BD AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建 立空间直角坐标系如图于是 B , 1, 0 ,2Dy, 1, 0 , F(0,2,2)设平面ABF的法向量m = (x, y, z),n1那么由n1-Xb= 0,-AF= 0,令z= 1，得2y + 2z = 0.x = 2,y= 1.所以 n1= ( . 2, 1,1) 同理，可求得平面 ADF的法向量n2

11、= C,2, 1,1 n所以二面角BAFD勺大小等于牙3. 方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型方程、不等式，然后通过解方程组或不等式组来使问题获解.用空间向量解决立体几何问题 属于用代数方法求解，很多时候需引入未知量.例3如下图，在四棱锥P ABC中，底面ABCD为矩形，侧棱PAL底面ABCDAB= .3 , BC= 1, PA= 2, E为 PD的中点.求直线AC与 PB所成角的余弦值；在侧面PAB内找一点N,使NEL平面PAC并求出点N到AB的距离和点N 到AP的距离.解1以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，那么 *,0,0 , B ;3,

12、 0,0 , C ；3, 1,0 , P0,0,2, D0,1,01),从而 AC= ( ：3 , 1,0) , PB= ( ：3 , 0, 2).设ac与 PB勺夹角为e ,那么 cos eI AC. PB _3_ 口 |AC| ABT2 14所以AC与 PB所成角的余弦值为3.、7右.由于点N在侧面PAB内 ,故可设点N的坐标为x, 0 , z,A 1那么 NE= x , 2 , 1 z.由题意知 AP= (0,0,2) , XC= ( ：3 , 1,0),NE- AP= 0 ,由NE!平面PAC得NE- AC= 0 ,x , 1 , 1 z -0 , 0 , 2= 0 ,z = 1,z

13、1 = 0,化简得.3x + 2= 0,即点N的坐标为(，0,1), 所以点N到AB的距离为1,点N到AP的距离为七3跟踪训练3如图，在直三棱柱 ABC-ABC中，AB= 4, AC= BC= 3, D为AB的中点.(1)求点C到平面AABB的距离; 假设AB丄AC,求二面角 A-CD-C的平面角的余弦值.解 由AC= BC D为AB的中点，得CDL AB又CDL AA, AAA AB以 芳丹=A, AA?平面AABB, AB?平面A ABB,故CDL平面 AABB,所以点 C到平面 AABB的距 离为 CD= . bC bD= 5. 如图，过点D作DD/ AA交AB于D,在直三棱柱中，易知D

14、BDC DD两两垂直，以D为原点，射线 DB DC, DD分别为x轴，y右轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D- xyz.弋 以/设直三棱柱的高为 h，那么 A 2,0,0) , A( 2,0 , h) , B(2,0 , h) ,:厂厂TT厂XX-XC(0 , /5 , 0) , C(0, /5 , h),从而 AB= (4,0 , h) , AC= (2 , 5,片 _h),由AB丄Afc,有 8 h2 = 0 , h= 2 2.故DA= ( 2,0,2 2) , CC= (0,0,22) , DC= (0 , , 5 , 0).设平面AQD的法向量为mi= (X1 , y1, Z1),.

15、5y1= 0 ,2x1 + 22z1 = 0 ,取 Z1 = 1，得 m= ( 2 , 0,1).设平面CiCD的法向量为n=(X2 , y2 , Z2),取 X2 = 1,得 n= (1,0,0),所以 cos m, n所以二面角AQDC勺平面角的余弦值为课堂那结空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工 具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为高考必考的热点之一.(1) 对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及二面角的求解； 空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有表达.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的根本概念和运算.(2) 空间向量的引入使空间几何体也具备了 “数字化的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、 距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度， 成为高考必