常微分方程答案-一二章

1、习题1.24.给定一阶微分方程dy 2x ,dx(1) .求出它的通解；(2) .求通过点1,4的特解；(3) .求出与直线y 2x 3相切的解； i(4) .求出满足条件0 ydx 2的解；(5) .绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1).通解显然为y x2 c,c ?;(2) .把x 1,y 4代入y x2 c得c 3 ,故通过点1,4的特解为y x2 3 ;2(3) .因为所求直线与直线 y 2x 3相切，所以y x c只有唯一解，即y 2x 3x2 c 2x 3只有唯一实根，从而c 4 ,故与直线y 2x 3相切的解是2y x 4 ；c11(4) .把y x c代入 ydx

2、 2即得c 5/3 ,故满足条件 ydx 2的解是y x2 5/3;(5) .图形如下：765432-1.5-1-0.5y=x2+4y=x 2+3y=x 2+5/300.51.55.求下列两个微分方程的公共解:2 c4-242y y 2xx,y 2xx x yy解：由 y2 2x x4 2x x2 x4 y y2 可得y x2 2x2 2y 10所以y x2或yx2 1/2, y x2代入原微分方程满足，而y x2 1/2代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6.求微分方程y xy2 y 0的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是y kx b,则将其代入原微分方程可得2k

3、b 0一k xk kx b 02k b 0 或 k b 1k2 k 0所以所求直线积分曲线是y 0或y x 1。8.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ;(5).曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点x,y的切线的横截距和纵截距分别为x3和y xy ,故y2-y22(2). x y xy l ;y(5) . y xy x2 0习题2.11 .求下列方程的解：2 2). y2dx x 1 dy 0,并求满足初值条件x 0, y 1的特解；解：当y 0,分离变量，得4dy ydx x 1两边同时积分，得in

4、 x 1ln |x 1 c又y 0也是原方程的解，故y2dxx 1 dy 0的通解是1in 1 x 1令u?，则 x两边同时积分，得arctanu21n(1 u2)ln x c1,cy ln x 1 c0由初值条件x 0,y 1可得c 1,故所求特解是y(4) . (1 x)ydx (1 y)xdy 0解：当y 0,分离变量，得1 y .1 xdy dxy x两边同时积分，得ln x x ln y y c ln xy x y c又y 0也是原方程的解，故所求通解是y 0 和 ln xy x y c, c(5) . (y x)dy (x y)dx 0解：原方程可化为h11dy y xxdx y

5、x _y 1 xdu u 1 u 1 ,1 ,u x du - dxdx u 1 u 1 x将u 丫代入，得所求通解是 x,y 1 , , 2 arctan ln(x x 2y2) c,c ?.xdyy 解：原方程可化为dydx令u 、，则xdudx1 u2dux 一dx当 j1 u2 0,分离变量，得两边同时积分,dudxarctanuln x c即u2 1也是(1)的解，故(1)的通解是u21 和 arctanuln x c o将u 代入，得原方程的通解是 xy2 x2 和 arctan in x c,c ?x.tan ydxcot xdy 0解：当tan y0,分离变量，得cot ydy

6、tan xdx两边同时积分，得ln sin yin cosx qsin y cosx c,cec10又tany 0 ,即sin y 0也是原方程的解，而该解可在 sin y cosx c中令c 0得到，故所求通解是sin ycosx c, c.dydxy2 3xe0解：分离变量,y2ye dy3x edx两边同时积分,得所求通解是12-e y23x e3c1 即 2e3x3e y2c, c 6c1 ?(9). x(ln x in y)dyydx解：原方程可化为dydxx(ln xyin y)-in xdux dxuin ududxu in u 1xln u(2)当u in u 10 ,分离变量

7、,in uduu in u 1dxin ud in uin u 1dx两边同时积分，得lnuin u 1ln xciin u 1cxu,ce c10由原方程可得y 0 ,从而u 0又 u in u10 , ip in u1也是(2)的解，而将u 代入，得该解可在(3)中令c 0得到，故(2)的通解是in u 1 cxu,c ?原方程的通解是in - 1 cy, c ?x(10).出 ex ydx解：分离变量，得eydy exdx两边同时积分，得所求通解是y xe e c,c2.作适当的变量变换求解下列方程：(1). dy x y2dx解：令u x y,则原方程化为du . dy .211 ud

8、x dx两边同时积分，得du1 u2dxarctan u x c,c将u x y代入，得原方程的通解是arctan x yx c,c ?即 y tan x cx,c(3). dy”山dx x 2y 1解：因为2x y 1 011x , yx 2y 1 033.11一.令x x 1,y y 1 ,则原方程化为33dy 2x ydx x 2yy再令u y ,得xdu2 uu x dx1 2u1 2u dudx两边同时积分，得ln u2 u 1 2ln x2 2.c1x u u 1c2,c2 e 0将 u 1,x x - ,yx31 一、， -一y 1代入，得原方程的通解是3x 1 u u2x y2

9、 xy x y c,c c2 131 3.3dy 2x 3xy xdx 3x2 y 2y3解：原方程可化为dy2dx22x2 3y 1_ 2_ 23x 2y令 xx2 1,y则原方程化为dy 2x 3ydx 3x 2yxdx2 3udu3 2udx2 1 u2x 3 2u用分离变量法求解,1 x4 1 u将 u y,x x2 1,y y2 x1代入,得原方程的通解是22_ 5x y 2 ,c习题2.21.求下列方程的解:dy 1 2x d0；.2 y 1dx x解：原方程可化为：对应的齐次方程为dy dxdy 2x 1,dx ty 12x等y,用变量分离法求得其解为y cx2e1x x令(4)

10、的解为 y c x x2e1；x,则将其代入（4）可得dc x 2 1x /x e 1dx所以原方程的通解为.dy dx x y解：当y 0时，原方程可化为:dy y y求得其解为x cy o令(5)的解为xy,则将其代入(5)可得用变量分离法这是未知函数为x的非齐次线性方程，对应的齐次方程为 =- dy ydc ydy y所以(5)的通解为c ,c又y 0也是原方程的解，故原方程的通解为1 2 x y 2yc ,c(12). (ylnx 2)ydx xdy ;解：原方程可化为:这是n2 的 bernoulli 方程。dy _ln x 2 dx x2 _y x0时，(6)两边同时除以2 dyy

11、 dx=2 1 ln x_ y x xdzdx=-y2 dy 2 ln x一 =-z dx x x其对应的齐次方程dz = 2z的解为z dx x2 cx令的解为z(6)f,则将其代入(7)可得dc x 2 xln xdx2 , c 2x in x所以(7)的通解为zcx2 21n x 14, c将z y 1代入，得y cx2 2ln x 14。又y 0也是原方程的解,解为y 0 和 y cx2 21n x 14,c ?故原方程的通(13). 2xydy (2 y2 x)dx;解：原方程可化为：2dy 2y x y 1dx 2xy x 2y这是n 1的bernoulli方程，(8)两边同时乘以

12、y ,得(8)令z y2,则其对应的齐次方程可得所以(9)的通解为dy y2 1y -dx x 2dz = 2z的解为z dx xdc x 2xdx中=2ydy3 1dx dx xcx2,令(9)的解为z c x x2 ,则将其代入122z c x cx x, c x将z y2代入，得原方程的通解为2 cxx, c ?在原方程中，当x 0时，y 1。故原方程等价于cauchy问题(10)dydx由常数变易法易得 dy ex y的通解为y ex x c ,c ?，再由y 0 1可得 dxc 1,故cauchy问题(10)的解为y ex x 1 ,这也是原方程的解。习题2.31 .验证下列方程是恰

13、当方程，并求出方程的解：2 _(2). (y 3x )dx (4y x)dy 0;解：因为m y 3x2,n(4y x),所以m / n1,一y x故原方程是恰当方程。令函数u满足 x2,3y 3x dx y xy x y再由上n可得 y2y 2yd yx (4 y x)dy所以u xy x3 2y2,故原方程的通解是32xy x 2y c,c(2). 2(3xy2 2x3)dx 3(2x2y y2)dy 0;解：因为 m 2(3xy2 2x3), n 3(2x2y y2),所以12 xy,12xy故原方程是恰当方程。令函数u满足上m, n,则由2 m可得 x yxu 2 3xy2 2x3 d

14、x y 3x2y2 x4 y再由上n可得 yc 2 d y226x y3 2x y ydy所以 u 3x2y2 x4y3,故原方程的通解是2 2433x y x y c, c2.求下列方程的解：22_(4). ydx xdy x y dx ；解：原方程两边同时除以x2 y2,得ydxxdyx.2-dx darctan-dxxyy所以原方程的通解是c, c ?,xarctan 一 y(6). y 1 xy dx xdy 0;解：因为m y 1 xy , n x,- 1 x, 1,所以原方程不是恰当的。由 ymn1 dx xeyxn可得积分因子ex,原方程两边同时乘以，得xxxxye dx e d

15、x xye dx xe dy 0yd xe x dex xe xdy 0所以故原方程的通解是x xxye e cxxy ce ,c(8). x 2y dx xdy 0 ;解：因为mx 2y, n x,- y2, 1,所以原方程不是恰当的。由 x-dxe x x可得积分因子 x,原方程两边同时乘以，得22 ,x dx 2xydx x dy 0即1322_-dx ydx x dy 0所以-x3 x2y c,c ?3此即为原方程的通解。5.试证齐次微分方程m x, y dxn x, y dy 0当xm yn 0时有积分因子1xm yn证明：齐次微分方程m x,ydx n x, y dy 0两边同时乘

16、以 得m x, y dx n x, y dy 0所以mm nxm yn mx n y yyyy xm yn2xm ynyn mnyxm ynym -n y1x xm ynnxm mnxxn上 xnmxm yn n m x xx原方程可化为dydxm x, yn x,yo因为原方程是齐次方程，故可设dy dxm x, y n x,yg - xgdg duydggdgdu1dgxdu dx2 xdu ,ydu dyxdugmx, y1n -mmn2xx nx, yn2xm yn xm ynxxgmx, y1n -mmn 2yy nx,ynyy_y_dg91n上m -nnmmnn29x dun2xx

17、xxx du1 dg1 n2nm 一nnmmnn2四x duyyyyx du,则又因为所以从而nyn -mymnymnxm - yn mn xn xmxxxmyn22xm yny nmmnxm色n也yyxxmy2xm yn2 1dg2 y dgy n - x nx dux du2xm yn 0故一1xm yn分因子。是齐次微分方程m x, y dx n x, y dy 0 当 xm yn 0 时的积习题2.41.求解下列方程:.xy27解：当y0时,原方程可化为13 p两边对y求导,dydpdp dy0时，原方程包不成立,所以原方程的参数形式的通解是1x -3p3y 力2p12p,，,p为参数

18、,c ?一 cp.两边对x求导，得p 2 pdpp 2pe p e dx所以p 0 y 0代入原方程y 0 或12 p epdp x 1 p ep cdx所以原方程的通解是一 x 1 p ep cy 0和 2 p , p为参数，c ? y y ep习题2.51.求解下列方程：.dy 4e ysinx 1 ；dx解：原方程两边同时乘以ey,得yxey曳dx4sin xey4sinx ey dxdudx4sin x u用常数变易法易得其解为u2 sinxcosx ece x,故原方程的通解为ey2 sinxcosxxce ,c ?(11). dy dx解：原方程可化为2x y 1 dx x y 3

19、 dy 0由一1,y23人一、13-dy 3dy 02 , xdx ydx dx xdy y dy 3dy1 dx2 dxy dx所以原方程通解为1 2 x xy21 3y3y c,c ?2(19). x 曳 dx2ydydx4x 0 ；解：令p则由原方程可得0 ,故原方程可化为两边对x求导,x dp2 dx所以1 ?史p dx2xp2p2x dpp2 dx(29).解:4x x2p代入（11） cx2x(11)2 dpp2 dx代入（ii）2x1一 cx22 八一,c 0 c0时，原方程包不成立，所以原方程的参数形式的通解是dydxyexy；x2x和1 2 cx22一,c cdudx所以原方

20、程通解为uxee uduxdxxye c,c习题3.11.求方程dy xdxy2通过点（0,0）的第三次近似解解：fx,y0(x)y 。，则v。x,dxxxdx0y。x,dxdx1x520y。x。x,dx-x20dx20-x8160111-x4400为所求的第三次近似解。3.求初值问题dydxy2,r： x1,y 1,(12)的解的存在区间,解：因为并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。22.,x, y x y , a b 1 , mmax f x,y rx, y从而解得存在区间为又因为fx, yy2在r上连续，且由| f/ y2yl可得x, y在r上关于y满足lipschitz条件

21、，所以cauchy 问题(12)在3 ,-有唯一解40(x)xf x)x,dxx2dxy0x,dx误差为:lh2410.给定积分方程dx11421863bk x, a(*)其中f x是a,b上的已知连续函数，kb上的已知连续函数。证明当 足够小时(是常数)(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。构造逐步逼近函数序列bk x, an d , n 0,1,2,l.x是a,b上的连续函数可得b上的连续函数可得a, b上连续。证明函数列 n x在a,b上所以考虑级数0 x在a,b上连续，故再由k x, 是1 x在a,b上连续，由数学归纳法易证致收敛。x a, bk x k1 x n

22、x的一致收敛性与级数(13)的一致收敛性等价。max f xb a max kb, bx,由(13)有(13)bk x,abk x,max k a x b,x,max f a bml假设对正整数n ,有不等式bk x,abmlk x,x,ml2mla,b(14)bkabx,x,mln 1x,mln , x a,b所以（14）对任意正整数n都成立。因为 mln为正项级数，且当 n 1足够小时,a max k x,a x b,a b(15)故 mln收敛，从而由 weierstrass判别法，级数 n 1k x k1 x 一致收敛,故级数（13）一致收敛，所以函数列n x在a,b上一致收敛。.证明

23、lim n xnx是积分方程（*）在a,b上的连续解。因为由和可得 n x在a,b上连续,在a,b上一致收敛，故x在a,b上连续，且函数列x,在a,b上致收敛，所以对bk x, a两边取极限可得limn从而limnbkax,x,limnb一x fx kx, 一 da所以一x是积分方程（*）在a,b上的连续解。.证明一 x是积分方程（*）在a,b上的唯一解x是积分方程（*）在a,b上的另一连续解，则bx f x k x, 一 dabk x, abk x, amax - x a x bbx k x, d al max g xa x b ”对x a,b都成立，上式两边对x取最大值可得maxg x l

24、max g x a x ba x b 如果maxg x 0,则由上式有 a x bl 1这与(15)矛盾，故maxg x 0,即g x 0,所以 a x bx x ,从而一x是积分方程（*）在a,b上的唯一解证毕。习题3.21.求dy 21 y dx , x, y g y 00(16)的解的存在区间及延拓解的饱和区间x ao解：对任意充分大的a,b,令r，则f x,y 1 y2在r上连续且关于yy bdy 21 y满足lipschitz条件，故(16)存在唯一解。由 dx 可得y tanx ,解的存在y 00区间为x h, h min a,上。由于a,b充分大，故存在充分小的0,使1 b2得(

25、16)的解的存在区间为x o由于f x, y 1 y2在g上连续和关于y满足局部 lipschitz条件，故解y tanx, x可延拓。又当x /2时，tanx ； x/2时，tanx ,故由推论，延拓解的饱和区间为/2 x /20习题4.13.已知齐次线性微分方程的基本解组为？2,求下列方程对应的非齐次线性微分 方程的通解：,t 1t(2) x x x t 1, xi t,x2 e解：令所求通解为则c1 t t c2 t et 0c1 t t c 2 t ett所以，所求通解为22(5) t2x tx x 6t 34t2,解：t2x tx x 6t 34t21 t 1 tx t g t t

26、c2tgci t 1c1 t t1c 2ttetc2 t tt 2.x t1t2e t t 1x1 t, x2 t ln tx x告6 34令所求通解为tt2tx tc1 t t c2 t tlntc1 t t c2 t t in t 0,6八c1 t t c2ttln t 34,6八gt ln t - 346-c2 t - 342gt34t1 lnt3lnt 1c2t34t 6ln t2所以，所求通解为_ . 2_ _ 2x t 1t2t ln t 34t 3tln t4.已知方程d* 2x dt20有基本解组为et,et,试求此方程适合初值条件x 01 , x 00及x 00 , x 01

27、的基本解组(称为标准基本解组，即有 w 01),并由此求出方程的适合初值条件x 0 x0 , x 0 x0的解。,2.2解：因为s,e t是方程器 x 0的基本解组，故器 x 0的通解为dtg c2 1dt2.ttx tgeqe , gg由x 01,x 00可得,chtg c2 1c1 c2 0由x 00,x 01可得,1 et et sht21g -，c22又cht和sht线性无关，d 2x所以沿dt2x 0适合初值条件x01,x 00 及d xx 0 0,x 01的基本解组为cht , sht,从而 x 0的通解又可表小为dt2x t %cht %sht, (% ?故由x 0xo,x 0%

28、可得% x。,% x ,于是适合初值条件x 0xo,x 0 x0的解为x tx0cht xsht习题4.22.求解下列常系数线性微分方程：(1) x(4) 5x 4x 0解：特征方程：4 5 2 4 0特征根：1 2, 22, 3 1, 41基本解组：e2t,e2t,et,et所求通解：2t2t ttx gec2ec3e c4e ,ci ?, i 1,2,3,4所求通解:x g c2t qt2 c4e2t cse”,。 ? ,i 1,2,3,4,5(4) x x x 0解：特征方程：21 0特征根：1,2 且基本解组： e 2 cos 公e 2 sin _2t2 2所求通解：it .、32 t

29、 3x c1e 2 cos t c2e 2 sint,q ? ,i 1,222(5) s a2s t 1(属于类型i )解：齐次方程：s a2s 0特征方程：2 a2 0特征根：1a, 2 a当a 0,齐次方程通解：s c1eat c2eat,ci ?,i 1,2,止匕时0不是特征根，1故设特解为 at b,将其代入原方程可得a b 4，从而特解为 a1% g t 1 ,所以所求通解： a_ _at _ at 1s ge qe 2 t 1 ,q ? ,i 1,2a当a 0 , 0是二重特征根，故齐次方程通解：s g c2t, ci ? ,i 1,2 ,设特11解为% t2 at b ,则将其代

30、入原方程可得a 1,b 1 ,从而特解为 62% t2 1t 1 ,所以所求通解：622 11-s q c2t t -t,ci ?,i 1,262(6) x 4x 5x 2x 2t 3(属于类型 i )解：齐次方程： x 4x 5x 2x 0特征方程： 3 4 2 52 0特征根： 1,2 1, 32齐次方程通解： xc1c2t et c3e2t, ci? ,i 1,2,30 不是特征根，故设特解为 x% at b ，将其代入原方程可得 a 1, b 4 ， 从而特解为 x% t 4 ，所以所求通解： t2txc1c2t ec3et 4,ci? , i 1,2,3x(4)2x x t2 3 (

31、属于类型i )解：齐次方程： x(4) 2x x 0特征方程： 4 2 2 1 0特征根： 1,21, 3,41齐次方程通解： xc1c2t etc3c4t e t , ci方法一：常数变易法求解设原方程通解为 xc1 t etc2 t tetc3 t e tc1tetc2 ttet c3t e t c4 tte t 0c1t et c2ttet c3t e t c4 tte t 0c1tetc2ttetc3t e tc4t te t 0c1tetc2ttetc3t e tc4t te tt2所以将cit , i 1,2,3,4 代入 xc1tetc2ttetc3程通解： tt2xc1c2t

32、ec3 c4t e t 1,ci方法二：比较系数法求解c ，将其代入原方程可得由于 0 不是特征根，故设特解为 x% at 2 bt? ,i 1,2,3,4c4 t te t ，则c1tlc1tlc2tlc2tlc3tlc3tlc4tlc4tl3t e tc4 t te t 中即得原方?,i 1,2,3,4a 1,b 0,c 1 ，从而特解为 x% t2 1 ，所以所求通解：xc1 c2t etc3 c4t e t t2 1,ci ? , i 1,2,3,4(10) x x et(属于类型h)解：齐次方程：x x 0特征方程：3 1 0特征根：1,2七更，31齐次方程通解：x c1e 2 co

33、s t c2e 2 sin t c3et,g ? ,i 1,2,3 22由于1是一重特征根，故设特解为% atet ,将其代入原方程可得a 1 ,从3而特解为% 1tet ,所以所求通解：32t33v3t 1 tx c 2 cos t c2e 2 sint c3ete,g ? , i 1,2,3223(12) x 6x 5x e2t(属于类型 h)解：齐次方程：x 6x 5x 0特征方程：2 65 0特征根：11, 25齐次方程通解:t5tx c1ege ,g ?,i 1,2由于2不是特征根,故设特解为% ae2t ,将其代入原方程可得a1 ,而特解为% et,所以所求通解：21x get *

34、 et,c ?,i 1,221(14) x x sint cos2t(属于类型in的混合，注意sin t和cos2t中t的系数不解：齐次方程：x x 0特征方程：2 1 0特征根：1,2i齐次方程通解:c1 cost c2 sin t, 0(? ,i1,2对于x x sint由于 i i是一重特征根，故设其特解为% t a0 cost asint1则将其代入x x sint可得a 2，a10 ,从而1x sint 的特斛为 %-1 cost ;2对于x x cos2t ,由于i 2i不是特征根，故设其特解为1 _bocos2t bi sin 2t ,则将 其代入 x x cos2t 可得 bo -,b 31x cos2t 的特解为 x% cos2t 。311一所以原方程特斛为 % % %-t cost -cos2t,故所求通解：23x g costc sint11八tcost cos2t,c23?,i 1,2(15)