第二章 地球体与地图投影

1、第二章 地球体与地图投影2.1 地球体一、地球的自然表面浩瀚宇宙之中地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。事实上: 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。二、地球的物理表面（一）大地水准面（一级逼近） 假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。大地水准面的意义1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对

2、大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均把地球当作正球体。3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。三、地球体的数学表面（地球椭球体）大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面。为了测量成果的计算和制图工作的需要，选用一个同大地体相近的，可以用数学方法来表达的旋转椭球体来代替地球。这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而成，其表面成为旋转椭球面。 椭球体三要素： 长轴a（赤道半径） 短轴b（极半径） 椭球扁率f=(a-b)/a 中国1952年前

3、采用海福特（Hayford）椭球体 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。四、大地基准面（Geodetic datum） 参考椭球体定义了地球的形状，而基准面则描述了这个椭球中心距地心的关系。基准面是建立在选择的参考椭球体上的，且考虑到了当地复杂的地表情况。因为参考椭球体还是不能够很好的描述地球上每个地方的具体情况，可以理解为基准面就是参考椭球向某个地方的大地水准面逼近的结

4、果，它与参考椭球是多对一的关系。v （1）地心基准面 在过去的15年，使用卫星采集数据给测量学家们提供了一个很好的模拟地球的椭球体，即地心坐标系统。地心坐标系是使用地球的质心作为中心，目前使用最广泛的就是WGS 1984这种地心坐标系。地球表面、参考椭球体和大地基准面的关系v （2）本地基准面(Local Datum) 本地基准面是将参考椭球体移动到更贴近当地地表形状的位置，参考椭球体上的某一点必然对应着地表上的某一位置，这个点就称作大地起算原点。大地起算原点的坐标值是固定的，其他点的坐标值都可以由该点计算得到。本地坐标系统的起始位置一般就不在地心的位置了，而是距地心一定的偏移量。v 每个国家

5、或地区均有自己的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。v 我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的1975地球椭球体（IAG75）建立了我国新的大地坐标系-西安80坐标系。v GPS测量采用的WGS84坐标系采用的是WGS84基准面和WGS1984椭球体。五、地理坐标一、地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 (一)天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。

6、 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。 (二)大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度、大地纬度 j 和大地高 H 表示，量测计算中，大地经度符号为L，大地纬度的符号为B。大地经度 ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度j ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。（三）地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度 ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。

7、在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度2.2大地测量系统一、中国的大地坐标系统1、中国的大地坐标系1954年北京坐标系 （北京坐标系） 采用苏联Krassovsky（克拉索夫斯基）椭球参数，大地坐标原点在北京。1980年国家大地坐标系 （西安坐标系）采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省西安市泾阳县永乐镇北洪流村。 2、中国的大地控制网 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。v 平面控制网：按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不

8、同，分为四等。v 高程控制网：按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是 ：黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升 0.029m，水准原点高程为72.2604m。 2.3地图投影的基本概念一、问题的提出 将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换。可见，地球椭球面是不可展开的面。无论如何展开都会产生褶皱，拉伸或断裂等无规律变形，无法绘制科

9、学，准确的地图。因此解决 球面与平面之间的矛盾地图投影 将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 大与小的矛盾比例尺二、地图投影的实质 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：三、地图投影的变形1、投影产生变形的原因地球的形状投影变形剖析：1、地球仪上经纬线长度特征： 各纬线长度不等，赤道最长，纬度越高长度越短，到两极为零值； 同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等； 所有的经线长度相等； 同一条经线上，纬差相同的经线弧长相差不大（在正球体上完全相等，在椭球体上由赤道向两级增长）2、地球仪上经纬网构成的球面梯形面积特

10、征： 同一纬度带内，经差相同的球面梯形面积相等； 同一经度带内，纬差愈高球面梯形面积愈小。3、经线与纬线处处呈直角2、地图投影变形的概念与地图仪上的经纬网进行比较后发现地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。地图投影变形规律：1. 与制图区域的大小有关，制图区域愈大，可能出现的变形亦大；2. 与标准点（无变形的点）或标准线（无变形的线）的距离有关，离开标准点或标准线愈远，变形愈大。四、变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形

11、椭圆（底索曲线 Tissots indictrix）。X=mX Y=nY m为经线长度比，n为纬线长度比几个概念： 标准点，指地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。离开标准点愈远，变形愈大。 标准线，指地图投影面上没有任何变形的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线。标准线分标准纬线和标准经线（分别简称（标纬）和（标经），并又各自分切纬线和割纬线或切经线和割经线。离开标准线愈远，则变形愈大。 等变形线，指投影面上变形值相等的各点的连线。v 五、地图投影的分类1、按投影性质分类（1）、等角投影：投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等

12、，即角度变形为零 =0（或 a=b，m=n）。等角投影面积变形大，角度不变。适用于交通图，洋流图，风向图等 （2）、等积投影：投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。面状地物轮廓投影后面积不变。ab =1 长轴越长短轴越短 在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等。因此，角度变形最大。适用于面积精度较高的自然地图和社会经济地图。 （3）、任意投影：投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。适用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的，或对面积变形和角度变形都不希望

13、太大的用户，一般用于参考图和中小学教学用图。 2、按投影方式分类 （1）、几何投影：将椭球面上的经纬线投影到辅助面上，然后再展开成平面。辅助面可以是平面、圆柱面和圆锥面。 、方位投影 、圆柱投影 、圆锥投影方位投影：以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投影，斜轴投影: 正轴方位投影，投影面与地轴相垂直； 横轴方位投影，投影面与地轴相平行； 斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。 圆锥投影：以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。正轴：圆锥轴与地轴重合；

14、横轴：圆锥轴与地轴垂直；斜轴：圆锥轴与地轴斜交；圆柱投影：以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。正轴：圆柱轴与地轴重合；横轴：圆柱轴与地轴垂直；斜轴：圆柱轴与地轴斜交； 正轴投影的经纬线形状 a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆； b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的直线， 纬线与经线垂直； c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心圆。（2）、非几何投影（条件投影）v 伪方位投影v 伪圆柱投影v 伪圆锥投影v 多圆锥投影v 条件投影的分类实质上是按投影后经纬线的形状进行分类v 伪方位投影（pseudo-azim

15、uthal projection）u 纬线投影为同心圆u 中经投影成直线u 其余经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中经的曲线v 伪圆锥投影（pseudo-conical projection）u 纬线投影为同心圆弧u 中经投影成经过同心圆弧圆心的直线u 其余经线投影为对称于中经的曲线v 伪圆柱投影（pseudo-cylindrical projection） 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。常用的投影方案 ： 桑生（Sanson）投影 摩尔威特（Mollwe

16、ide）投影 古德（Goode）投影六、地图投影的命名v 对于一个地图投影，完整的命名参照以下四个方面进行：（1）地球（椭球）与辅助投影面的相对位置（正轴、横轴或斜轴）（2）地图投影的变形性质（等角、等面积、任意性质三种，等距离投影属于任意投影）（3）辅助投影面与地球相切、相割（割或切）（4）作为辅助投影面的可展面的种类（方位、圆柱、圆锥） 如正轴等角割圆锥投影、斜轴等面积方位投影、横轴等角切椭圆柱投影（高斯-克吕格投影）等，也可以用该投影的发明者的名字命名2.4常用地图投影v 墨卡托投影v 通用横轴墨卡托投影v 正轴等角割圆锥投影 v 高斯-克吕格投影1、墨卡托投影（Mercator Pro

17、jection） 正轴等角切圆柱投影，由荷兰制图学家Mercator （Mercator Gerardus，1512-1594）于1569年创建，故又被称为墨卡托投影。广泛用于航海、航空方面的重要投影之一。墨卡托投影的性质： 经线与纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间距相等，纬线间距由赤道向两极逐渐增大。 赤道为标准纬线，其余各纬线与赤道等长 无角度变形，但长度和面积变形随着纬度增高而逐渐增大 等角航线表现为直线 等角航线v 所谓等角航线，是指在地球面上与各经线相交成等方位角的一条曲线，在墨卡托投影中为一直线。v 等角航线在两点间与所通过的经线保持方位角相等，它除了同赤道重合外都不是大圆。v

18、地球面上，只有两点间的大圆弧（或大地线）才是最短距离，因而等角航线不是最短距离，而是以极点为渐进点的一条螺旋曲线。v 等角航线在墨卡托投影中虽然为直线，对航行有很大方便，但是不是最短距离，为了节约时间和能源，通常沿大圆航线前进。v 又因沿大圆航线航行时，需要随时调整航向也很不方便，为此，常将大圆航线划分为若干段，把每段连成直线即为等角航线。2、通用横轴墨卡托投影（UTM）通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Mercator Projection，UTM），属于横轴等角割圆柱投影，圆柱割地球于两条纬线圈上。性质：此投影无角度变形中央经线长度比为0.9996，距中央经线约

19、180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带长度变形 0.04% 3、正轴等角割圆锥投影(Lambert projection)由德国数学家Lambert拟定，属于兰勃特正形投影（Lambert projection）之一。v 设想用一个正圆锥割于地球椭球面两条纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开成平面。正轴等角割圆锥投影的性质：v 纬线为同心圆弧，经线为放射性直线；v 相割的两条纬线是标准纬线，其长度比为1；v 无角度变形；v 在两条割线之内，纬线长度比小于1，之外长度比大于1；离开标纬越远，变形绝对值越大应用：百万分一地形图投影1962年，联合国

20、在波恩举行的世界百万分之一国际地图技术会议规定，各国新编国际百万分一地图采用：双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带。北纬84以北和南纬80以南采用等角方位投影。1978年，中国1100万地形图编绘规范规定：采用边纬与中纬变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影作为我国新编1：100万比例尺地形图数学基础，2.5高斯-克吕格投影一、高斯-克吕格投影基本概念 （GaussKruger projection）是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线（中央经线）上；按照等角条件，用解析法将中央经线两侧一定经差范围内椭球体面上的经纬网投影到椭圆柱面上。横轴等角切椭圆柱投影高斯投影的基本条

21、件：1） 中央经线和赤道的投影为直线，且为投影的对称轴；2） 投影后无角度变形，即同一地点的各方向上长度比不变；3） 中央经线投影后保持长度不变，即m0=1。高斯投影的经纬网：1）中央经线和赤道的是相互垂直的直线；2）其余经线的投影为对称凹向中经的曲线；3）其余纬线的投影为对称凸向赤道的曲线；4）经纬线均正交；5）整个图形呈东与西对称、南与北对称。二、高斯投影变形分析v 没有角度变形，面积比是长度比的平方;v 中央经线投影后无长度变形，其余经线和全部纬线投影后均有长度变形，长度比均大于1；v 在同一经线上，纬度越低变形越大，最大值位于赤道上；v 在同一纬线上，长度变形随着经差的增大而增大，且与

22、经差的平方近似成正比；v 最大长度变形 0.14% ，最大面积变形 0.27%三、高斯投影分带中国国家基本比例尺地形图分带投影：11万（3分带）从东经130算起，自西向东全球共分为120个带，我国位于2445带。12.5万、15万、110万、125万、150万（6分带）从格林威治0经线（本初子午线），自西向东全球共分60个投影带.我国位于1323带。每带带号与其中央经线的经度关系如下：6带：东半球中=6n-3 西半球中=6n-3-3603带：东半球中=3n 西半球中=？在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。X值在赤道以北为正，以南为负，Y坐标值在中经以东为

23、正，以西为负，我国的X值均为正，但Y值存在中经西为负值的情况，运用起来很不方便，故将各带的坐标纵轴西移500km，并冠以带号，称通用坐标。如：中国有两地面点分别为XA=432123.567米，YA=19623456.789米；XB=345678.912米，YB=38356789.123米。即此地面点A位于赤道以北432123.567米、六度带投影的第19带，其中央子午线的经度为东经111，位于中央子午线以东123456.789米；地面点B位于赤道以北345678.912米、三度带投影的第38带，其中央子午线的经度为东经114，位于中央子午线以西143210.877米四、高斯-克吕格投影与UTM

24、的比较（1）、从投影几何方式看 G-K：等角横切椭圆柱投影，m0=1； UTM：等角横轴割圆柱投影，投影后两条 割线上没有变形，m00.9996。（2）、从分带方式看 分带起点不同：G-K自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3；UTM投影自西经180起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177GK的第1带UTM的第31带（3）、偏移 两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影南北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。2.6地图投影的选择地图投影选择的依据v 一、制图区域的位置、形状和范围1. 制图区域地理位置决定了所选择投影的

25、种类。极地正轴方位投影 赤道附近横轴方位投影中纬地区正轴圆锥投影或斜轴方位投影2. 制图区域形状直接制约地图投影的选择。方位投影适合表示轮廓近似圆型的区域；正轴圆锥投影适合表示沿纬线伸展的中纬度国家和地区，如：中国、美国、苏联、加拿大等；正轴圆柱投影适合表示沿纬线伸展的低纬地区，如：印度尼西亚；横轴圆柱或多圆锥适合表示延经线方向伸展的国家或地区，如：智利斜轴圆锥或斜轴圆柱投影适合表示制图区域成斜方向伸展的地区，如日本、新西兰等3.制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。 世界地图选择较多，如圆柱、伪圆柱、多圆锥投

26、影等；半球地图主要选择方位投影；中国大陆部分主要选择各类割圆锥投影；二、按制图比例尺 不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。 以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。 三、按地图的内容要求方向正确，应选择等角投影，如：航空、航海、洋流等地图要求面积对比正确，应选择等积投影，如：人口密度、土地利用等图要求各方面变形都不大，则应选择任意投影：如：教学或一般参考图通常，经济地图采用等积投影，军用地图采用等角投影，教学地图一般采用任意投影。国家基本比例尺地图

27、必须采用国家规定的投影。四、按出版方式单幅图：可以选择任何适当的投影系列图和地图集：整体考虑投影的选择，并在图面配置上要注意合理地安排2.7地图比例尺1. 地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺 ：在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。2、 地图比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10 000；1:500 文字式比例尺 如 百万分之一；五万分之一 图解式比例尺： 直线比例尺；斜分比例尺；复式比例尺斜分比例尺，也称微分比例尺，是依据相

28、似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）复式比例尺：又称投影比例尺，是根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。比例尺与地图精度：对地图精度的影响： 与内容详细程度及精度有关考虑人眼分辨能力及印刷能力，把图上0.1mm代表的地面实际距离称为地形图的最大精度。 2.8 地图的分幅与编号一、地图的分幅v 1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用的方便。v 2.地图分幅的方法经纬线分幅：图廓线由经线和纬线组成矩形分幅：图廓线为矩形矩形分幅：拼接分幅，适用：挂图和大于1：2000的地形图 不拼接分幅，适用：地图集、专题地图等二、地图编号地图编号是

29、每个图幅的数码标记，它们应具有系统性、逻辑性和不重复性。行列式编号：将区域分为行和列，分别用字母或数字表示行号和列号自然序数编号：图幅由左上角从左向右、自上而下用自然序数进行编号自然序数和行列式组合编号三、我国地形图的分幅与编号（一）20世纪70-80年代我国基本比例尺地形图的分幅和编号 1：100万地图是我国基本比例尺地形图的分幅和编号的基础（一）20世纪70-80年代我国基本比例尺地形图的分幅和编号1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千416144444464491、1：100万比例尺地形图的编号1891年第五届国际地理学会上提出，逐渐统一规定后制定

30、。分幅：v 单幅： 经差6 ，纬差4；纬度60以下v 双幅： 经差12，纬差4；纬度60至76v 四幅： 经差24，纬差4；纬度76至88v 纬度88以上合为一幅 我国处于纬度60度以下，没有合幅。横列：纬度每4为一列，至南北纬88各有22列，用字母A,B,C,V表示。纵行：从180经线起算，自西向东每6为一 行，全球分为60行，用阿拉伯数字1，2,3，,60表示。 如 北京 在1：100万图幅位于东经114120北纬3640，编号：J-50 编 号： 行列，如J50 行列计算：行（h）、列（l）1+D=jjh31+D=EllD-=llWl30 2、1：50万、1：25万、1：10万地形图的编

31、号 1：50万： 经差 3 、纬差 2；1：25万： 经差 130、纬差 1；1：10万： 经差 30、纬差 20；3、1：5万、1：2.5万、1：1万地形图的分幅和编号 1：50万： 经差 3 、纬差 2；1：25万： 经差 130、纬差 1；1：10万： 经差 30、纬差 20；4、地形图分幅编号的实际应用根据经纬度，求图号，以便索取所需的地图根据图号，求地理位置 根据经纬度求图号Step 1. 求该地所在的1:100万地形图的图号及四角点经纬度，并标注在草图上。Step 2. 求该地所在的1:10万地形图的图号Step 3. 求该地所在的1:1万地形图的图号（二）新的分幅与编号方法1.

32、1：100万比例尺地图编号 由列-行式 行列式；列和行发生了对换 例 北京为：J502. 1:5千1：50万比例尺地图编号 （1）以1：100万为基础 （2）编号由10个代码组成，前三位是所在1：100万地图行号（1位）列号（2位），第4位是比例尺代码，后面6位分为两端，前三位是图幅的行号数字码，后三位是图幅的列号数字码。行号和列号的数字码编码方法一致，行号从上而下，列号从左而右，不足三位时前面加0. 比例尺1：501：251：101：51：2.51:11:5千 代 码 B C D E F G H 编号计算公式v 1、已知图幅内某点的经、纬度，计算其编号（1）按下式计算1：100万地形图图幅编号式中：a1：100万地形图图幅所在纬度带字符码所对应的数字码；b1：100万地形图图幅所在经度带的数字码；图幅内某点的经度或图幅西南图廓点的经度；图幅内某点的纬度或图幅西南图廓点的纬度。例1：某点经度为1143345，纬度为392230，计算其所在图幅的编号。 a=392230/4+1=10（字符码J） b=1143345/6+31=50 该点所在1：100万地形图图号为J50v （2）按下式计算所求比例尺地形图在1：100万地形图