高一向量教材分析

1、 教材分析与建议教材分析与建议 平平 面面 向向 量量 高中数学高中数学( (四四) )第二章第二章 一、平面向量概述一、平面向量概述 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 课程标准考试说明 通过力和力的分析等实例， 了解了解向量的实际背景， 理解理解平面向量和向量相等的含义， 理解理解向量的几何表示 平面向量的相关概念 B （一）（一）课程标准课程标准与与考试说明考试说明要求比较要求比较 向量的线性运算向量的线性运算 课程标准考试说明 通过实例通过实例，掌握掌握向量加、减法的 运算，并理解理解其几何意义 通过实例通过实例，掌握掌握向量数乘的运算 ，并理解理解其几何意义，以

2、及两个向 量共线的含义 了解了解向量的线性运算性质及其几 何意义 向量的加法与减法 C 向量的数乘 C 两个向量的共线 B 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 课程标准考试说明 了解了解平面向量的基本定理及 其意义 掌握掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示 会用会用坐标表示平面向量的加 、减与数乘运算 理解理解用坐标表示的平面向量 共线的条件 平面向量的基本定理 A 平面向量的正交分解及坐标 表示 B 用坐标表示平面向量的加法 、减法与数乘运算 C 用坐标表示的平面向量共线 的条件 C 平面向量的数量积平面向量的数量积 课程标准考试说明 通过物理中“功”等实例， 理解理解

3、平面向量数量积的含义 及其物理意义 体会体会平面向量的数量积与 向量投影的关系 掌握掌握数量积的坐标表达式 ，会会进行平面向量数量积的 运算 能能运用数量积表示两个向 量的夹角，会会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系 数量积 C 数量积的坐标表示 C 用数量积表示两个向量的夹角 B 用数量积判断两个平面向量的 垂直关系 C 向量的应用向量的应用 课程标准考试说明 经历经历用向量方法解决某些 简单的平面几何问题、力 学问题与其他一些实际问 题的过程，体会体会向量是一 种处理几何问题、物理问 题等的工具，发展发展运算能 力和解决实际问题的能 力 用向量方法解决简单的问题 B （二）本单元知识结构

4、（二）本单元知识结构 数形结合数形结合 （三）本单元教材特点（三）本单元教材特点 重视背景重视背景（物理、几何）（物理、几何），重视过程，重视应用，重视过程，重视应用 强调向量法的基本思想强调向量法的基本思想（类比解析法，三部曲）（类比解析法，三部曲） 明确向量运算及运算律的核心地位明确向量运算及运算律的核心地位（向量若没有运算（向量若没有运算） 重视向量的几何意义及应用重视向量的几何意义及应用（几何背景，概念、运算几何意义）（几何背景，概念、运算几何意义） （四）课时分配（四）课时分配 1.1.侧重基础考查基本概念、基本运算、几何意义侧重基础考查基本概念、基本运算、几何意义 （五）高考（五）

5、高考“平面向量平面向量”考查特点考查特点 考查向量的平行于垂直考查向量的平行于垂直 考查向量加法、减法的几何意义考查向量加法、减法的几何意义 2.2.提高了对平面向量基本定理的考查力度提高了对平面向量基本定理的考查力度 3.3.对数量积的概念和几何意义的考查对数量积的概念和几何意义的考查 对概念的考查对概念的考查 对概念和几何意义的考查对概念和几何意义的考查 转化为坐标转化为坐标 对运动变化，数形对运动变化，数形 结合的考查结合的考查 尽管是个案，但向量已由小题向大题发展尽管是个案，但向量已由小题向大题发展 关注高考平面向量的考查关注高考平面向量的考查 注意常规，抓小题注意常规，抓小题 强调概

6、念、运算的本质强调概念、运算的本质 强化数形结合的方法和思想强化数形结合的方法和思想 不因题小而轻视不因题小而轻视 小考题中有大文章小考题中有大文章 二、教学建议二、教学建议 （一）平面向量的实际背景及基本概念（一）平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念 向量的引入向量的引入 向量的概念向量的概念 既有大小，又有方向的量称为向量既有大小，又有方向的量称为向量 多举实例进行比较多举实例进行比较 向量与有向线段的关系向量与有向线段的关系 A B a 2. 向量概念的相关问题向量概念的相关问题 向量的表示向量的表示 有向线段：起点，方向，长度有向线段：起点，方向

7、，长度 向量：方向，长度向量：方向，长度 实例比较 多次认识 学生、教师 都有问题 特殊向量特殊向量 零向量零向量 ：长度为零的向量：长度为零的向量 单位向量单位向量 ：长度为：长度为1的向量的向量 平行向量，共线向量平行向量，共线向量 3.由两个向量的关系认识自由向量由两个向量的关系认识自由向量 相等向量相等向量（长度、方向均相同，认识自由向量） 线段的共线与向量的共线的区别线段的共线与向量的共线的区别 （认识自由向量） 没有定义方向没有定义方向 （二）向量的线性运算（二）向量的线性运算 有关运算的复习有关运算的复习 运算运算 对象对象 种类种类表示表示结果结果 数数加、减加、减、新数新数

8、集合集合交、并交、并、新集合新集合 函数函数加、复合加、复合f(x)+g(x), f (g(x)新函数新函数 向量向量 ？ ？ ？ （二）向量的线性运算（二）向量的线性运算 引入向量运算的必要性引入向量运算的必要性（与实数类比，没有运算向量是（与实数类比，没有运算向量是） 1. 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 向量加法运算的引入向量加法运算的引入（几何意义上的运算） 生活实例生活实例北京直飞台北北京直飞台北3小时小时 ( (位移的合成位移的合成) ) 物理实例物理实例 （力的合成力的合成） 向量加法的定义及几何意义向量加法的定义及几何意义 “操作操作”确认，从几何直观上理解向

9、确认，从几何直观上理解向 量的加法运算法则量的加法运算法则 A B C 向量加法向量加法 三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则 物理模型：位移的合成物理模型：力的合成 做法 两个向量首尾连接，和向量 指向末向量的终点 做法 连接两个向量的起点，为和向量的 起点，对角线的另一端点为终点 易表示为多个向量的和不易表示为多个向量的和 三角形法则与平行四边形法则的比较三角形法则与平行四边形法则的比较 向量的分解向量的分解 从自由向量来理解向量从自由向量来理解向量 两种加法法则两种加法法则 向量线加法的相关问题向量线加法的相关问题 规定：规定：a+0=0+a=a （a 是非零向量是非零向量）

10、 有目标的分解有目标的分解 向量模不等式向量模不等式 利用实例和向量的几何意义理解向量加法的运算律利用实例和向量的几何意义理解向量加法的运算律 深化对向量加法几何意义的理解深化对向量加法几何意义的理解 2. 向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义 向量减法运算的定义向量减法运算的定义 向量减法的几何意义向量减法的几何意义 向量向量a-b的指向的指向 （学生易错）（学生易错） 从数与形两个角度认识向量的加法与减法从数与形两个角度认识向量的加法与减法 向量向量a-b的做法的做法 3. 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 数乘定义的引入数乘定义的引入 只有向量的加减法很多问题

11、无法解决只有向量的加减法很多问题无法解决 类比实数加法到乘法类比实数加法到乘法 通过实例认识通过实例认识a的方向与长度的方向与长度 实数：实数：2+2+2=32，a+a+a=3a 向量：向量：a+a+a与a方向相同， 3倍|a|长度的向量？ 用量化的向量形式用量化的向量形式a 表示向量间的关系表示向量间的关系 向量数乘的运算律向量数乘的运算律 理解向量的共线理解向量的共线 有且只有有且只有-存在且唯一性存在且唯一性 几何量化几何量化-向量的运算的向量化表示两个向量间的关系向量的运算的向量化表示两个向量间的关系 基底表示基底表示-直线上的向量基本定理（理解直线上的向量基本定理（理解 a0） 正确

12、理解，会应用正确理解，会应用 向量共线的条件：向量共线的条件： 设设a0，若，若a，b共线，则有且只有一个实数共线，则有且只有一个实数，使，使b =a 2010高三（上）期中考试（理科）高三（上）期中考试（理科） 区公立校：区公立校：0.65 一组校：一组校：0.77 二组校：二组校：0.64 三组校：三组校：0.50 通过问题理解通过问题理解a的方向的方向 判断三点共线判断三点共线 转化为判断两个向量共线转化为判断两个向量共线 (1)巩固数乘运算；巩固数乘运算； (2)为下节平面向量基本定理做准备为下节平面向量基本定理做准备 把握例题的功能把握例题的功能 例例. 求与求与a向量方向相同或相反

13、，长度为向量方向相同或相反，长度为2的向量的向量. 强化对三种运算的理解与掌握强化对三种运算的理解与掌握 对数乘的理解；学会向量的单位化 例例. (1)角平分线的向量表示；角平分线的向量表示；(2)做出互相垂直的向量做出互相垂直的向量 以这两个向量为临边做平行四边形OABC. （三）平面向量的基本定理及坐标表示（三）平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理平面向量基本定理 平面向量基本定理的形成过程平面向量基本定理的形成过程 形成过程形成过程 向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则 直线上的向量基本定理直线上的向量基本定理 特殊特殊 一般一般 一维一维 二维；给定向量二维；

14、给定向量任选向量任选向量 动画演示动画演示理性分析理性分析形成定理形成定理 动手实践，理解定理动手实践，理解定理 直观感知，操作确认，理性理解直观感知，操作确认，理性理解 向量向量 a 的任意性与的任意性与12的对应关系的对应关系 思想方法思想方法认知过程认知过程 平面向量基本定理的认识平面向量基本定理的认识 定理的解读定理的解读 定理的作用定理的作用-用向量方法研究几何问题的基础用向量方法研究几何问题的基础 平面向量基本定理引入的教学设计举例平面向量基本定理引入的教学设计举例 开拓平面向量基本定理的学习视角开拓平面向量基本定理的学习视角 例例 证明平行四边形的对角线互相平分. 考查基本量思想

15、考查基本量思想-根据问题设出基底根据问题设出基底 考查平面向量基本定理考查平面向量基本定理-深刻理解并运用定理深刻理解并运用定理 2. 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 正交分解正交分解 引入的必要性引入的必要性 ：基底标准化、表示简约化基底标准化、表示简约化 理论依据理论依据 实例实例 单位正交基向量单位正交基向量i，j -特殊基向量使问题简化特殊基向量使问题简化 a = xi+yj a = (x，y) 向量坐标表示向量坐标表示 特殊特殊一般一般 （自由）向量的坐标表示自由）向量的坐标表示 3. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 注意注意 例例3 与平面上两点距离

16、公式的联系与平面上两点距离公式的联系 4. 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 会推导向量共线的坐标公式会推导向量共线的坐标公式 向量共线与定比分点的向量公式与坐标化公式向量共线与定比分点的向量公式与坐标化公式 5. 整体认识平面向量基本定理整体认识平面向量基本定理 通过实例整体认识平面向量基本定理通过实例整体认识平面向量基本定理 （四）平面向量的数量积（四）平面向量的数量积 1. 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 概念的引入：概念的引入： 现实存在现实存在（力所做的功）（力所做的功） 数学运算的完整性数学运算的完整性 a+b， a-b ，ka ，ab

17、=? 定义：定义： 数量积数量积ab的值的理解的值的理解 a在在b方向上的投影方向上的投影 |a|cos 的理解的理解 的值对的值对ab的值的影响的值的影响 实数的乘积与向量的数量积的对比：实数的乘积与向量的数量积的对比： 实数的乘积与向量的数量积相同的部分实数的乘积与向量的数量积相同的部分 实数的乘积实数的乘积向量的数量积向量的数量积 运算结果一个实数一个实数 交换律ab = ba ab = ba (a)b=(ab)= a(b)(a)b=(ab)= a(b) 分配律(a+b)c = ac +bc(a+b)c = ac +bc 平方展开(ab)2 = a22ab + b2(ab)2 = a22

18、ab + b2 (a+b)(a-b)= a2- b2(a+b)(a-b)= a2- b2 a2+ b2=0则a =0且b =0a2+ b2=0则a =0且b =0 不等式|a|-|b| ab |a|+|b|a|-|b| ab |a|+|b| 实数的乘积与向量的数量积不同的部分实数的乘积与向量的数量积不同的部分 数量积数量积ab与实数运算的区别：与实数运算的区别： 通过练习应熟练掌握如下常用运算关系：通过练习应熟练掌握如下常用运算关系： 熟练掌握熟练掌握 2.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 向量关系的坐标表示：向量关系的坐标表示： 熟练掌握熟练掌握 平面向量数量积的物理背景及其含义的教学设计举例平面向量数量积的物理背景及其含义的教学设计举例 强化转化的方法与思想强化转化的方法与思想 强化模的关系强化模的关系 转化为平方的转化为平方的 关系关系 用用已知关系的已知关系的 向量表示未知向量表示未知 关系的向量关系的向量 （五）平面向量的