平面几何的复数证法8

1、重庆一中高2011级奥赛平几讲义第七讲平几的复数证法5平面几何的复数证法.基本知识复数及其定义复数的常用形式1. 代数形式：形如a bi a, R ；2. 三角形式：形如 z=r cost i si nv r_0 ；3. 指数形式：我们把 于称为复数z二cost i si nr的指数形式复数的运算法则1.复数的代数形式的运算法则设乙二 a1 bj , Z2 = a2 b2i，其中的a1,a2,d,b2 R，则:加减法法则：乙_ z? =：a a?亠4 - b? i ;乘法法则:K W ；除法法则：詈賈甞：2叫2. 复数的三角形式的运算法则乘法法则：模相乘，辐角相加，即H cos 冃 i sin

2、 哥 门 cos 丁 2 i sin 丁 2 二 尿 | cos 円 寸2i sin 丁1 丁2 丨;（2）除r f cos日 + i sin日 r _-法法则：模相除，辐角相减，即1= 1 |cos齐“2 isin片-匕；2 cos i sinr2r2 -乘方法则：（棣莫佛公式）|r cos i sin v - rn cosn i sin n n，Z ;开方法则：复数r cos isi n r-0共有n n，N,n-2个n次方根，它们是k =0,1,2,川，n-1。日+2k兀日+2k兀）cos十 i sin. nnJ3. 复数的指数形式运算法则：/ / =e恨也涉弋日扁卩鸟热旧）n =e吒。

3、复数与向量1. 以原点为始点的向量与复数的对应;2 复数的运算法则的几何意义常用特殊复数及其性质1 复数i i4nk J,in in1 in2 in=0 n,k Z ;复数iz表示将复数z对应的向量逆时针旋转90所得向量对应的复数;两个非零向量OZ _0的充要条件是兰二 i R, = 0 ;2 复数一3i,22 = m , .3 = 1,. . n 亠心 n 1. . n 2 = 0 nZ ；2二乙Z2Z3是正三角形的充要条件是z Z22z0应用举例B例1 求证：三角形三条中线共点。证明：设 ABC的三顶点对应的复数依次为a, b,c ,z为AC, BC边上的中线的交点对应的复数。因为复数a,

4、 z,以 以及b,z, 对应的点分别共线，故存在实数2 2消去 z 得 |_2 1-二-:-,1，使 z = a 卜二 “ , z = 1 _ - b : -C。2 2竹-2 1 _ 1 b 什严=0，故 2 1- 2 1 _ 1- 1 =0,可解得:一誇，从而z=十。说明交点Z与中线的选择无关从而得证。4OA4A 3A6A2C6A1C3A5例2由中心对称的六边形 AAAA4A5A6 各边向外作正三角形。求证：相邻正三角形的 新顶点B,B2,B3,B4, B5,B6依次的连线的中点 G C2C3C4C5C6构成正六边形。证明：如图，以六边形的中心O为原点，六个顶点对应的复数为_ai,_a2,_

5、O3, 那么bi 二 a?& - a? e 3, b 二 a；a? - a； e3i；1兀a,e3a2a3e2_c 匚故辺二e3c,c =.c =- e，故 C,C2C3C4C5C6是正六边形。c2c3c4c5c6例3.求证：连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形的顶点。证明:首先可证明ABC是正三角形的充要条2_1 十 J3i件是ZaZb Zc = 0，其中二是1的三次方根，ZA是A点对应的复数：若 ABC是正三角I1形，则CA可由BC逆时针旋转1200得到，故22ZaZc hZc Zb cos120 is in 120 ：，ZcZb ，整理得ZAZB2ZC =0。反之亦然。

6、由题可得ZA ZB2 ZC= 2 I: Za,Za亠j.Zbt Zb2亠：IZqZc2=0，故二ABC 是正。例4.已知 ABC及其所在平面上另外两点P,Q , a,b,c是ABC的三边长,求证：a PA QA b PB QB c PC QC - abc。证明：设代B,C,P,Q依次对应复数,Z2,Z3,乙z，考虑关于复数Z的函数f Z 二Z FZ-Z3zy，Z2-ZiZ3-乙Z3-Z2乙 一Z2Zi- Z3Z2-Z3易知f乙=f z21 z - Z| i z-z2 z - z2=5 ，故 fZM，因此1亍1门=重庆一中高2011级奥赛平几讲义第七讲平几的复数证法（Z-Z3 貯-Z3 ）即 |

7、PA| |QA|PB| .|QBbeca| |PC| |QCLi，从而得证。 ab例5.设A,人,，An是圆心在点O,半径为1的圆内接正n边形的顶点，点M是射线OA上且在圆外的一点，求证：:总|。证明：建立复平面，使O, A , A?,，An, M分别对应复数0,1, 2,n J ,r ,2兀 i sinnr 1 o 则 zn -1 = z -1 z z - -n_l，其中 z- Cn 1n A故 k4| MAk | 卫 |r 一| _ n1 : 17厂/| =n y 厂%n|OM |例6.平面上四点代B,C,D，动作F x表示由目前所在点出发，笔直走到x 点，再左转90走相同距离。一人从P点

8、出发，依次作F A ,F B ,F C , F D ，F A ,F B ,F C ,F D ,川，共作2008次后又回到P点。请问A,B,C,D四点 的关系如何?证明：设A,B,C,D,P对应的复数为a,b,c,d,p，作n次动作后到达点R，对应复数Pn，贝u B =-ip-aa = 1i a-ipp,亍 1 b-ipi1 biapP3 = 1 i cip2 = 1 i cibaip, = 1 i dip3 = 1 i dicb ia p。设 q=1 i d-ic-b ia，则 P4 p 卩p ,刊 p p,ltk二qp。故 q=0,即d -b二i c-a，因此将AC逆时针旋转900即得到BD

9、 。B1例7.如图,Rt ABC与Rt AB1C1反向相似，C与G为直角顶点， CAB - C1AB1 o设BG与BC交于M，求证：AM _CG。证明：如图建立复平面直角坐标系，设RBC|Y|AC|OA = ai ,OC = c,OG = q a,c,c1，贝U OB 二 ai -c，i c,OB1 二 ai -c - i - c,。 令 BC1 交 y 轴于 M ，且yi y Hom_，贝叫丿,c_ai_d： c，解得y。同理可得BQ与y轴交点的纵坐标yCC1，从而得证。c & c C an例8已知单位圆上点P及内接正n边形AAlHAn，求证：送|PA|2为定7nn值；求无| PA |的最小

10、值和最大值；当P为任意点时，求E |PAi |的最小值。yi -1解：设正n边形各顶点对应的复数分别为；,八；2,川，2应的复数为z ，且|z =|1则n-i -AOAAn1P|PA|2=：Z (|Z|2-Zg -z+1)=2n (定值)；i =0如图，设P对应复数z=e（-兀/n兰日兰兀/n ）, 且P AlAn，点Ak k=1,2川,n对应的复数为二，易知.APA 二 k- /n，故|PAJ =k=1n2 k -11 -knnIin | z-e n | |e nk 1k =1US z eJ _k.k兀i一兀n en9I 2z2en|-円z 1|-ii1e n 1en|取得最大值2csc 2

11、nP不限制在圆上时,J |PA|n |z-e竽二| 2呼二|一|k3k心.1-2kiz e n-1 Fn，e22cos2，故当点P为AA的中点时，7|PAk|1 - en| sin心2nn冗当点P与A1或An重合时，7 | PAk |取得最小值2cor心2n当且仅当点P在圆心处时取等号。因此所求最小值为 n。重庆一中高2011级奥赛平几讲义第七讲平几的复数证法例9.设A,Bi,G是厶ABC的内切圆在BC, CA, AB上的切点，求证：AA,BBi,CG共点；求AABC与心ABG的面积之比。解：以内切圆圆心O为原点建立复平面直角坐标系，设 A,B,C,A,Bi,G所对应的复数依次为a,b,c,a

12、i,b,Ci，连接OA,OG，则b二cl b a 1二七“，故c1 b -r2 VrTr2 - - r i，相加得 ai ci b =2r2，故 b = 2印。同理可2b1c12a1b1ZB.得：a, c =d g a1ci ai因此 口 口一 1，从而三线共点; a-c b|-a c b用面积公式S abc可得邑d _4。S ABC15例10.考虑在同一平面上半径为 R和r （ R r ）的两个同心圆，设P是小 圆周上的一个定点，B是大圆周上的一个动点，直线 BP与大圆周相交于另外一点C，过点P且与BP垂直的直线I与小圆周相交于另一点 A （如果I与小圆相切 于P，贝U A = P ）。求B

13、C2+CA2+AB2的取值集合；求线段 AB的中点的轨 迹。三.练习题1. 求证：在四边形ABCD中，AB CD AD BC - BD AC （ Ptolemy 定理）2. 设 ACPH AMBE AHBT B,KXM CKXP是平行四边形，求证：ABTE也是平行四边形。A3. 凸四边形对边中点连线叫凸四边形的中位线。若凸四边形的两条中位线的和等于周长之半，求证：此四边形是平行四边形4 自正五边形 A1AA3A4A5的中心O作边心距 OBj i = 1,2,3,4,5,求证:5S =送 OB =0。i 45.边长为1000的正方形ABCD所在平面另有一点P，且PD=10。将P绕A 顺时针转90

14、,得到点P，称为P对A向左转。点P依次对代B,C,D, A,B,C,D川向左转，共转11111次到达Q点，求QD的长6. 在四边形ABCD中，由各边中点向外作n|AAni =2求证：垂线段，其长为该边的一半，得到四点P,Q,R,S，求证：PR_QS 且 PR=QS。7求单位圆内接凸n边形所有边及所有对 角线的平方和的最大值，此时凸n边形有什么 特点？8 已知单位圆上一点 P及内接正n边形nA All叭，求证：送|PA4= 6 n；求证：7nnE lAAj |2 = 2n2 ;求n | PA |的最大值。i,j三i总附：习题解答CD1 如图，以A为原点，设B,C,D对应的复数分别 为 b, c,

15、 d。因为 be dbc 二cbd，所以 |cb-d |bc-d | |d b-c|，从而得证。2. 设A, B,C, E,H,M, P,T,X,K对应的复数依次为 a, b, c, e, h, m, p,t, x, k，由 L ACPH 可得 ac = hp 即 a p=c，h。同理可得a b=m e, h t = a b, k m=b x,c x=k p，故 a t=b e 即 b a = t e。3. 设凸四边形ABCD各顶点对应的复数依次为a,b,c,d，则由题可知| c d |a b | | b c |a d |=|ba| |c -b| |d -c| |a -d |，又因为| c d

16、 a b |_|cb| |d -a b c a d |_|b-a| |cd |，所以T T T TBC/AD, AB/DC，从而ABCD是平行四边形。加凹4 .将各边逆时针旋转后S不变，故S e 5二S，从而S = 0。55.如图建系，设A, B,C,D对应复数a,b,c,d，则 a =500 2b 500 2/Tc 500 2, 一（500-2厂，点 P对应复数为z，则|z-d|=1O，按题意旋转后得到的 点对应复数乙,z2,| 。 贝U乙- -i z- a ,a Z2-bb,z-i Z2 -c c,z4 -i z -da +b 一 -6.设 A, B,C, D 对应复数 a,b,c, d，

17、则 Zpi,zR =2 -d =z，故 z1111z3，从而 QD z3 _d 冃z _d |=1O。d -c2 i，b -a2c d-a-b d a-c-ba d-c-b b a-c-d.故PRi。同理可得QSi，2 2 2 2故iQS =PR。得证。7. 取圆心为原点建立复平面直角坐标系，设单位圆内接n边形各顶点对应的复数为aa,川,a.，则所求和为S旧-a|2aaj aaj二2恒至2恒,jM1nn2-aj aj -a aj二n2-qf。当且仅当a0时，S取得最大值n2，21 丄,ji di d1 n此时凸n边形的重心（对应复数g =x ai ）在圆心处 n y（i空）8. 设正n边形各顶点对应的复数分别为*,*,名2,山,名心名=e n ，点P对nnn应的复数为 z，且 I z| = 1，则二 I PAi |4T z 一 J |4 八 I Z2 一