第八章__随机解释变量问题

1、 学习目的学习目的了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果、克服的方法。果、克服的方法。 基本要求基本要求1)认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题;2)了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果;3)掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。第八章第八章 随机解释变量问题随机解释变量问题主讲人：杨君主讲人：杨君 一、线性回归模型的基本假设一、线

2、性回归模型的基本假设 假设假设1、解释变量、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；是确定性变量，不是随机变量； 假设假设2、随机误差项、随机误差项 具有零均值、同方差和不序列相关性：具有零均值、同方差和不序列相关性： E( i)=0 i=1,2, ,n Var ( i)= 2 i=1,2, ,n Cov( i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假设假设3、随机误差项随机误差项 与解释变量与解释变量X之间不相关：之间不相关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设假设4、 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=

3、1,2, ,n回顾回顾 1、如果假设如果假设1、2满足，则假设满足，则假设3也满足也满足; 2、如果假设如果假设4满足，则假设满足，则假设2也满足。也满足。注意：注意： 以上假设也称为线性回归模型的以上假设也称为线性回归模型的经典假设经典假设或高斯（或高斯（Gauss）假设）假设，满足该假设的线性回，满足该假设的线性回归模型，也称为归模型，也称为经典线性回归模型经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。）。 回顾回顾 普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为）称为最佳

4、线性无偏估计量最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE） 高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。量是具有最小方差的线性无偏估计量。回顾回顾随机解释变量问题及其产生原因随机解释变量问题及其产生原因随机解释变量的影响随机解释变量的影响随机解释变量问题的修正随机解释变量问题的修正第八章第八章 随机解释变量问题随机解释变量问题第一节第一节 随机解释变量问题及其产生原因随机解释变量问题及其产生原因、随

5、机解释变量问题、随机解释变量问题 在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是确定性变量确定性变量，而实际上它，而实际上它们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为随机解释变量问题。随机解释变量问题。 对于模型对于模型 01122 12iiikkiiYXXXin， ， ， 其基本假设之一是解释变量其基本假设之一是解释变量X1，X2，Xk都是确定性变量。如果都是确定性变量。如果存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问

6、题。 例例: :为讨论方便，假设为讨论方便，假设(8-1)式中式中X2为随机解释变量。为随机解释变量。 1. 随机解释变量与随机误差项独立随机解释变量与随机误差项独立(Independence)0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 随机解释变量与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously cor

7、related)。 0)()(2,2iiiixEXCov实际经济问题中的随机解释变量问题实际经济问题中的随机解释变量问题 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。 但是在单方程计量经济学模型中，但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认凡是外生变量都被认为是确定性的为是确定性的。 于是随机解释变量问题于是随机解释变量问题主要表现于主要表现于：用滞后被解释变量：用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况作为模型的解释变量的情况。但是，但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来“随机随机解释变量问题解释

8、变量问题” 二、随机解释变量问题产生的原因二、随机解释变量问题产生的原因耐用品存量调整模型。耐用品存量调整模型。著名的著名的“耐用品存量调整模型耐用品存量调整模型”可表示为可表示为0121 1,2,ttttQYQtT例例8-1:8-1:tQ1tQtY1tQ1tt 该模型表示，耐用品的存量该模型表示，耐用品的存量 由前一个时期的存量由前一个时期的存量 和当期收入和当期收入 共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不 只与只与 相关，与相关，与 不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，不相关，属于随

9、机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况但异期相关的情况。 存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量 （2）合理预期的消费函数模型）合理预期的消费函数模型 合理预期理论合理预期理论认为消费认为消费Ct是由对收入的预期是由对收入的预期Yte所决定的：所决定的：tettYC10 预期收入预期收入Yte与实际收入与实际收入Y间存如下关系的假设间存如下关系的假设 ettetYYY1)1 (容易推出容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一随机解释变量，且是一随机解释变

10、量，且与与 ( t-t-1)高度相关高度相关（Why?）。）。属于上述第属于上述第3种情况。种情况。第二节第二节 随机解释变量的影响随机解释变量的影响 计量经济学模型计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且一旦出现随机解释变量，且与随机干扰项相关的话，与随机干扰项相关的话，如果仍采用如果仍采用普通最小二普通最小二乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。问题会产生不同的后果。以一元线性回归模型为例进行说明。以一元线性回归模型为例进行说明。 图8-1 从图形从图形 (图图4-1)上看，上看，如果随机解释变量与随机干扰项正如果随机解释变

11、量与随机干扰项正相关相关，则在抽取样本时，容易出现则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线值较小的点在总体回归线下方，而下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合拟合的样本回归线则可能低估的样本回归线则可能低估(underestimate)了截距项，而高估了截距项，而高估(overestimate)斜率项。斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。对一元线性回归模型对一元线性回归模型

12、01tttYX在第二章曾得到如下最小二乘估计量：在第二章曾得到如下最小二乘估计量：1122ttttttxyxxx随机解释变量随机解释变量X与随机干扰项与随机干扰项的关系不同，参数的关系不同，参数OLS估计量的统计估计量的统计性质也会不同。性质也会不同。分三种不同情况：分三种不同情况：1112()()()tttttxEEE kx而而()( ) ()0ttttE kE k E,所以所以11()E同理，同理， 00()E11122111lim()limlim1lim() (,) /() ttttnntttttPxxnPxPxnCov XVar X01所以参数所以参数OLS估计量估计量, 仍然是无偏一

13、致估计量仍然是无偏一致估计量 1、如果、如果X与与 相互独立，得到的参数估计量仍相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。然是无偏、一致估计量。 2 2、如果如果X与与 同期不相关，异期相关，得到的同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。参数估计量有偏、但却是一致的。 kt的分母中包含不同期的的分母中包含不同期的X；由异期相关性知：；由异期相关性知：kt t与与 t相关，因此，相关，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但是但是0)(),()lim()lim(1211121limttttnttntttnXVarXCovxPxPxxP 注意：注意：

14、如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，OLSOLS估计量是估计量是有偏的、且是非一致的有偏的、且是非一致的。 即使同期无关，其即使同期无关，其OLSOLS估计量也是有偏的，因为估计量也是有偏的，因为此时肯定出现此时肯定出现异期相关异期相关。 3、如果、如果X与与 同期相关，得到的参数估计量有偏、同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。且非一致。 第三节第三节 随机解释变量问题的修正随机解释变量问题的修正工具变量的选取工具变量的选取工具变量的应用工具变量的应用工

15、具变量法估计量的性质工具变量法估计量的性质 模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计量是量是有偏有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关异期相关，则可以通过，则可以通过增大样增大样本容量本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关同期相关，即使增大样本容量，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的方法是也无济于事。这时，最常用的方法是工具变量工具变量(instrument variables)法法。一、工具变量的选取一、工具变量的选取

16、在模型估计过程中被作为工具使用的变量，在模型估计过程中被作为工具使用的变量， 用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。 被选择为工具变量的变量必须满足以下被选择为工具变量的变量必须满足以下条件条件：1. 工具变量工具变量Z与所替代的随机解释变量与所替代的随机解释变量X高度相关，即高度相关，即(,)0iiCov Z X2. 工具变量工具变量 Z 与随机干扰项与随机干扰项不相关，即不相关，即(,)0iiCov Z3. 工具变量工具变量 Z 与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。 工具变量工具变量二

17、、工具变量的应用二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）（以一元回归模型为例说明） 记一元线性回归模型如下：记一元线性回归模型如下：01iiiYX用用普通最小二乘法普通最小二乘法估计模型估计模型得正规方程组：得正规方程组： 01201 iiiiiiYnXX YXX 按照按照工具变量工具变量的选择条件选择的选择条件选择 z为为 X 的工具变量的工具变量得正规方程组：得正规方程组： 0101iiiiiiiYnXZYZZ X1iiiiz yz x于是于是12iiix yx于是于是 然而，如果然而，如果Xi与与 i相关，即使在大样本下，也相关，即使在大样本下，也不存在不存在 ( ( xi i)/n

18、0 ，则，则在大样本下也不成立，在大样本下也不成立，OLS估计量估计量不具有一致性不具有一致性。21iiixyx由于由于Cov(XCov(Xi, , i)=E(X)=E(Xi i)=0)=0，意味着大样本下，意味着大样本下 ( ( xi i)/n0 表明表明大样本下大样本下21iiixyx成立成立，即即OLS估计估计量具有一致性。量具有一致性。 采用工具变量法得到的采用工具变量法得到的正规方程组为正规方程组为 二、工具变量的应用二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）（以多元线性回归模型为例说明） 其矩阵形式为其矩阵形式为 YX Z Y = Z X 采用参数估计量得到的采用参数估计量得

19、到的正规方程组为正规方程组为-1= (Z X) Z Y （4-22）其中其中122122212111nnkkknZZZXXXXXX Z通常，对于没有选择另外的变量作为通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。身作为工具变量。于是于是Z Z称为工具变量称为工具变量矩阵。矩阵。三、工具变量法估计量的性质三、工具变量法估计量的性质1 1工具变量法估计量是有偏估计量工具变量法估计量是有偏估计量2 2工具变量法估计量是一致估计量工具变量法估计量是一致估计量1 1工具变量法估计量是工具变量法估计量是有偏估计量有偏估计量11 用工具变量法

20、所求的参数估计量用工具变量法所求的参数估计量 与总体参数真值与总体参数真值 之间的关系为之间的关系为111() iiiiiiiiiiiiiz yz xzxzz xz x于是于是11()()iiiizEEz x()0iiiizEz x因因 Z 和和 X 都是随机变量，在一般情况下都是随机变量，在一般情况下，故，故11()E 上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。这说明工具变量法估计量具一致性。这说明工具变量法估计量具一致性。2 2工具变量法估计量是一致估计量工具变量法估计量是一致估计量如果工具变量如果工具变量 Z 选取恰当，则有选取恰当，则有 1li

21、m(,)01lim(,)0iiiiiiiiPz xCov ZXnPzCov Zn因此，对式（因此，对式（4-23），两边取概率极限得），两边取概率极限得1111limlim()1limiiiiPznPPz xn(,)0iiCov ZX(,)0iiCov Z随机解释变量的随机解释变量的Eviews操作操作 实例1，已知1978-1998年中国国内生产总值GDP、宏观消费CONS、资本总额CAPI数据。假设最初建立模型为：假设最初建立模型为： CONS=0+1GDP+GDP为随机解释变量，必定与为随机解释变量，必定与随机误差项相关。随机误差项相关。采用工具变量法进行修正采用工具变量法进行修正 操作

22、步骤：、建立工作文件e4-4-2，建立数据组并输入数据 2、计算CONS=0+1GDP+的回归结果的回归结果3、生成残差序列、生成残差序列 e=resid4、用残差序列e和CAPI做相关分析 E与与CAPI的相关系数为的相关系数为-0.0328，说明两者不相关，所以选择，说明两者不相关，所以选择CAPI作为作为GDP的工具变量的工具变量5、用工具变量进行修正引入工具变量后得到的回归方程为：引入工具变量后得到的回归方程为：GDP*572619. 02961.630CONS引入工具变量前得到的回归方程为：GDP*573004. 06414.620CONS(1)(1)在小样本下，工具变量法估计量仍是

23、有偏的在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。 注意：几个重要的概念注意：几个重要的概念0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzE (2)(2)工具变量并没有替代模型中的解释变量工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是，只是在估计过程中作为在估计过程中作为“工具工具”被使用。被使用。(3)(3)如果模型中有两个以上的随机解释变量与随如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果用的次序不影响估计结果。(

24、4)OLS(4)OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。可以看作工具变量法的一种特殊情况。 ( (5)5)要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事量相关的工具变量并不是一件很容易的事 可以用可以用Xt-1作为原解释变量作为原解释变量Xt的工具变量。的工具变量。 案例案例2：居民总消费模型：居民总消费模型 以居民消费总额以居民消费总额JMXF为被解释变量；为被解释变量； 以以GDP和和JMXF(-1)为解释变量；为解释变量； 进行进行OLS估计。估计。 JMXF(-1)为随机解释变量，且与随机误差项相为随机解释变量，且与

25、随机误差项相关；关； 以政府消费以政府消费ZFXF作为工具变量，进行作为工具变量，进行IV估计。估计。数据数据OLSOLS估计估计IVIV估计估计估计结果估计结果 OLS: JMXF = 1001.164757 + 0.1367699684*GDP + 0.7238178139*JMXF(-1) IV: JMXF = 1059.996753 + 0.1584492759*GDP + 0.6655810226*JMXF(-1) IV案例：居民总消费模型案例：居民总消费模型 以居民消费总额以居民消费总额JMXF为被解释变量；为被解释变量； 以以GDP和和JMXF(-1)为解释变量；为解释变量； 进

26、行进行OLS估计。估计。 经分析，经分析，GDP可能为随机解释变量，且与随机误可能为随机解释变量，且与随机误差项相关；差项相关； 以政府消费以政府消费ZFXF作为工具变量，进行作为工具变量，进行IV估计；估计； 以政府消费以政府消费ZFXF和资本形成和资本形成ZBXC作为工具变量，作为工具变量，进行进行GMM估计。估计。数据数据解释变量的内生性检验解释变量的内生性检验HausmanHausman检验检验 如果如果显著为显著为0v与与Y同期无关同期无关v与与同期无关同期无关 X与与同期无关同期无关X是同期外生变量；是同期外生变量； 如果如果显著不为显著不为0 v与与Y同期相关同期相关v与与同期相

27、关同期相关X与与同期相关同期相关 X是同期内生变量。是同期内生变量。iiiiZXY1210iiiivZZX12210iiiiivZXY1210Z1外生，与外生，与不相关不相关选择选择Z2作为作为X 的工具变量的工具变量解释变量的内生性检验解释变量的内生性检验HausmanHausman检验检验 如果如果显著为显著为0v与与Y同期无关同期无关v与与同期无关同期无关 X与与同期无关同期无关X是同期外生变量；是同期外生变量； 如果如果显著不为显著不为0 v与与Y同期相关同期相关v与与同期相关同期相关X与与同期相关同期相关 X是同期内生变量。是同期内生变量。iJMXFGDPJMXF) 1(210vZB

28、XCZFXFGDP或10iivJMXFGDPJMXF) 1(210JMXF(-1)外生，与外生，与不相关不相关分别选择分别选择ZFXF与与ZBXC作为作为GDP 的工具变量的工具变量选择选择ZFXF作为作为GDP的工具变量检验的工具变量检验GDP是否是否为内生变量为内生变量 做如下方程，求残差项V 把残差项V代入方程vJMXFZFXFGDP) 1(210iivJMXFGDPJMXF) 1(210Dependent Variable: JMXFMethod: Least SquaresDate: 09/23/11 Time: 08:13Sample: 1979 2005Included obse

29、rvations: 27VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C1216.304280.01904.3436500.0002GDP0.3308590.0683944.8375410.0001JMXF(-1)0.2047140.1828071.1198400.2743V0.2977150.0963913.0886270.0052R-squared0.998346 Mean dependent var23729.26Adjusted R-squared0.998130 S.D. dependent var21866.27S.E. of regr

30、ession945.5075 Akaike info criterion16.67727Sum squared resid20561641 Schwarz criterion16.86925Log likelihood-221.1432 F-statistic4627.565Durbin-Watson stat1.048512 Prob(F-statistic)0.000000由分析结果中的由分析结果中的V检验，可知检验，可知GDP是内生性变量是内生性变量IVIV估计估计用用ZFXF作为作为GDP的工具变量进行分析的工具变量进行分析软件操作：软件操作：EVIEWS-Quick-Estimate

31、 EquationDependent Variable: JMXFMethod: Two-Stage Least SquaresDate: 09/23/11 Time: 08:27Sample(adjusted): 1979 2005Included observations: 27 after adjusting endpointsInstrument list: C ZFXF JMXF(-1)VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C972.6883321.30333.0273220.0058GDP0.1208470.0419822.87

32、85290.0083JMXF(-1)0.7658610.1114746.8703320.0000R-squared0.997635 Mean dependent var23729.26Adjusted R-squared0.997437 S.D. dependent var21866.27S.E. of regression1106.898 Sum squared resid29405335F-statistic5056.138 Durbin-Watson stat0.517847Prob(F-statistic)0.000000ZFXF作为作为GDP的工具变量的分析结果：的工具变量的分析结果

33、：GMMGMM估计估计用用ZFXF和和ZBXC作为作为GDP的工具变量进行分析的工具变量进行分析软件操作：软件操作：EVIEWS-Quick-Estimate EquationZFXF和和ZBZC作为作为GDP的工具变量的分析结果：的工具变量的分析结果：Dependent Variable: JMXFMethod: Generalized Method of MomentsBandwidth: Fixed (2)Kernel: BartlettConvergence achieved after: 2 weight matricies, 3 total coef iterationsInstr

34、ument list: C ZFXF ZBXC JMXF(-1)VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C975.1255382.97082.5462140.0177GDP0.1218420.0353963.4422640.0021JMXF(-1)0.7631300.0902668.4542180.0000 R-squared0.997638 Mean dependent var23729.26 Adjusted R-squared0.997441 S.D. dependent var21866.27 S.E. of regression1106.190 Sum squared resid29367767 Durbin-Watson stat0.516445 J-statistic7.32E-05估计