对欧式期权的定价的讨论金融数学毕业论文

1、摘 要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。本文对欧式期权的定价的讨论主要其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论。 本文主要包括以下几个方面。第一：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第二：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期和二期的欧式期权定价公式；第三：研究black-scholes模型，通过求解black-scholes方程得到black-scholes公式，并探讨black-scholes模型和二项式模型的联系，即得到波动率，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的，和；第四：进行实例分析进行应用，并用计算机语言把数

2、学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合。第五：通过以上的内容得出一些结论。本文的重心是基于对期权定价的模型的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大。关键词 欧式期权定价二项式模型black-scholes模型二叉树图目 录1 对期权的相关知识和期权定价的性质11.1 期权基本理论11.1.1 期权的相关术语11.2 期权的损益与期权价格的界限11.2.1 期权的损益11.2.2 欧式期权价格的界限22 二项式模型42.1 二项期权定价模型介绍42.2 欧式期权定价模型62.3 一期模型的欧式看涨期权定价72.4 二期模型的欧式看涨期权定价73 black-s

3、choles模型83.1 股票价格的行为模式93.2 black-scholes方程103.3 black-scholes公式(欧式看涨期权的定价)123.4 二项式模型和black-scholes的模型的关系134 实例分析145 总结175.1 本文结论17参 考 文 献20附 录211 对期权的相关知识和期权定价的性质1.1 期权基本理论 1.1.1 期权的相关术语 定义1.1：期权(options)，又称选择权，是一份合约，持有合约的一方有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻(或此时刻之前)以合约中指定的价格购买或出售某种指定数量的特殊物品。 这些物品大多为战略物资，如石油、

4、小麦、有色金属等，也可以是某公司股票，可提前兑换的债权等。期权有两种基本类型，看涨期权(call options)和看跌期权(put options)。 定义2.2：看涨期权指期权合约中，一方有购买的权利，另一方有出售的义务，简称call。 定义2.3：看跌期权指期权合约中，一方有出售的权利，另一方有购买的义务，简称put。 定义2.4：执行价格(exercise price)，又称敲定价格就是期权合约规定的买卖基础资产的价格。 根据期权的执行方式不同，期权又分为欧式期权(european options)和美式期权(american options)。 定义2.5：欧式期权指只能在到期日那一

5、天执行的期权。 定义2.6：美式期权指可在到期日之前(包括到期日)任何时刻执行的期权。 定义2.7：期权价格是指有购买(或出售)一单位基础资产权利的期权的价格，是由买期权者支付给卖期权者(也称写期权者)的。 定义2.8：一个期权是否执行依赖于对期权持有者有利的机会是否出现，故也称期权为相机权益。 在任何一个时刻,对一个call，如果当时的股票价格，则称call为价内的(in the money)；如果，称为平价的(at the money)；如果，称为价外的(out the money)。对put正好把不等式反过来，即如果，则称此时的put为价内的；如果，称它为平价的；如果，则称它为价外的。1

6、.2 期权的损益与期权价格的界限1.2.1 期权的损益 在期权交易市场上，有人买进期权(称为期权持有者)，相应地必须有人出售这个期权(称为写期权者)，一个欧式看涨期权的持有者希望价格看涨，写期权者希望价格看跌，二者的利益是完全对立的。任何时候，一方面获益必是另一方面的损失。 一个以价格购进一个欧式看涨期权的持有者，在到期日，如果股票价格，则他就执行权力，以购进，以出售，从而获利；如果，则他选择不执行买的权力，从而损失初始投资。因此，有如下命题。 命题2.1：在到期日的“利润”或损益为 (2.1) 命题2.2：写期权者在到期日的损益为 (2.2) 同理，当一个人以价格购进一个欧式看跌期权，则在到

7、期日，有如下命题。 命题2.3：持有者的利润函数为 (2.3) 命题2.4：写期权者的利润函数为 (2.4)1.2.2 欧式期权价格的界限 我们先考虑欧式期权的评价问题。以欧式看涨期权为例，讨论一个期权“合理”价格应该是多少。 一个欧式看涨期权，如果在到期日，股票价格，则行使权利的期权的价为，如果，不行使权利则期权价值为零。因此，期权在时的价值： (2.5) 在当前(时)，是一个随机变量。如果st不是随机变量，而是确定性知道的，为了不存在套利机会，时期权价格c0应满足，其中为年无风险利率，事实上，若实际期权价，则在时借元并购买期权，从而在时，行使权利得。这就是无风险套利，反之，若,则在时，卖期

8、权并把得来的钱贷出即可无风险套利。当为随机变量时，自然把时的“合理”价格定义为 (2.6) 此处数学期望是以某个适当的概率分布计算的。故用表示这个数学期望。由此看出，写在一个标的资产上的期权的价值依赖于标的资产的价格，故把标的资产称为基础证券，把像期权这类(价值依赖于基础资产价格的)证券称为衍生证券。一般说来，人们并不知道这个概率分布，只能给出的估计结果。下面命题给出期权价值的上、下界估计，并且证明如果期权的价格超过上界或低于下界，就存在套利机会。 命题2.5：欧式看涨期权开始价值 (2.7) 命题2.6：对一个欧式看涨期权，若在到期日，有，且，则 (2.8) 命题2.7：对一个欧式看跌期权，

9、若在时有，且，则有 (2.9)由于欧式看跌期权的初始价值。所以有 (2.10) 命题2.8：对同一种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系： (2.11) 介绍了关于期权的一些知识和欧式期权价格的性质，接下来就要了解期权定价的模型。第三章和第四章就是介绍离散型的二叉树模型和连续型的black-scholes模型。 原理2.1：风险中性定价原理，任何依附于股票价格的衍生证券可以在风险中性世界的基础上进行估值。 这个原理在期权定价中不容忽视，风险中性原理意味着：为了计算期权的价值，我们可以假设： (1)所有可交易的证券的期望收益都是无风险利率；

10、(2)未来现金可以用其期望值按无风险利率贴现来计算4。2 二项式模型2.1 二项期权定价模型介绍 二项期权定价模型最早由考克斯(cox)、罗斯(ross)和鲁宾斯坦(rubinstein)提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出该股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。2.2 欧式期权定

11、价模型 二叉树模型的假设条件5 (1).股票市场是有效的； (2).存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会； (3).股票和期权合约的买卖不设计交易成本、也不考虑税收； (4).市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金； (5).无风险利率为常数； (6).金融市场上的投资者都是风险中立者； (7).假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。2.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价 为简单起见，假设不存在交易费用、税收等成本，还假设资本市场上存在一种无风险证券(债权)，人们可以用无风险利率不受限制地借或贷。因为股票的价格下一期的股价只有两种可能的状态：上升或下

12、降，而且可能上升到的概率为，下降到的概率为。其中。所以的运动如图1所示：图1 股票价格的一期运动 一个执行价格为的欧式看涨期权在时，以的概率取，的概率取。记这个期权在的价格。 命题3.1：股票价格运动一期的情况下,期权在的价格为 证明：构造一个在的总投资为的投资组合，在期权到日，它以概率取值，以概率取值。 选择使得这个投资组合在的两种状态下取值相等，即由此解出 (3.1)为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资在时的价值必须等于即由此解 (3.2)式(3.2)可改写为 (3.3)如记： (3.4)则式(3.3)可记为 (3.5) 由命题3.1中的式(3.4)知道：及，从而可把看做一个概率分布

13、，称它为风险中性(risk neutral)概率或对冲概率(hedging probablity)，从而式(3.5)可改写为 其中是指按风险中性概率，而不是按实际概率计算的数学期望。从形式上看，以“概率”取，以“概率” 取。这里概率打引号意指和不是实际概率，是一个人为的概率。一个风险中性的投资者对在任何股票上投资要求的期望回报率都为无风险利率，所以在这种情况下风险中性投资者认为就是股票从上升到的概率。这就是为什么把称为风险中性概率的原因。 这个证明过程对欧式看跌期权也成立。因此当股价运动模式如图1所示，欧式看跌期权在时的价值 (3.6)式中：；由式(3.4)给出。2.2.2 二期模型的欧式看涨

14、期权定价 接下来考虑的是二期问题，在时刻时，股价以概率上升到，以概率下降到。在时刻，又在的基础上分别以概率和上升和下降。二期股价运动的二项式模式如图2所示。图1 股票价格的二期运动命题3.2：股票价格运动二期的情况下,期权在的价格为。 证明：假设每一期的无风险利率都是。在得知二期期权价格、和，利用一期的评价公式来求出和，则有： (3.7) (3.8)其中和是式(3.4)的风险中性概率。再用一次一期的评价公式，就推得在时期权的价值. 把式(3.7) (3.8)代入上式，得 (3.9)注意：命题3.2的证明过程中的式 (3.10)右边方括号内的系数正好满足,故如果把，和分别看成取值在，和的概率，则

15、式(3.10)也可以改写成为其中数学期望是按风险中性概率分布，计算的。 和一期模型一样，此推导过程对二期欧式看跌期权定价也同样合适，欧式看跌期权在时的价值 (3.10)式中：；，由式(3.4)给出。3 black-scholes模型3.1 股票价格的行为模式 在第三章我们讨论了期权的离散模型，它只是假设股价在离散的时点上才发生变化没，而且每次变化只能取两个可能的状态之一。接下来的这部分就要考虑期权定价的连续模型，即考虑时间和股价都是连续的。在本节，我们将提供一种循序渐进的方法去了解股票价格遵循的随机过程。 定义4.1：马尔可夫过程，是一种说明只有变量的当前值和未来的预测有关的随机过程。 人们通

16、常假设股票价格遵循马尔可夫过程，所以股票价格行为模型通常采用马尔科夫随机过程的一种特殊形式，即维纳过程来表达，也称布朗运动。 我们要理解遵循wiener过程的变量的行为，可以考虑在小时间间隔上变量值的变化。 定义4.2：设一个小的时间间隔长度为，定义为在时间内的变化。要使遵循wiener过程，必须满足: (1):与的关系满足方程式 (4.1)其中为从n(0，l)分布中抽取的一个随机值。 (2):对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。 从定义4.2中可以看出本身具有正态分布，即的均值=，的方差=. 变量的一般化wiener过程用定义如下: (4.2)其中，为常数。方程(4.2)给出的一般性wi

17、ener过程其漂移率的期望值为，方差率的期望值为。但是股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数。更一般地，我们可以说任何一个衍生证券的价格都是这些标的衍生债券的随机变量和时间的函数。所有任何研究衍生证券的严谨学者都必须对随机变量函数的行为有所了解，在这一领域内的一个重要结论由一个叫k.ito的数学家在1951年发现。因此称为ito定理。 定理4.1：假设变量的值遵循ito过程： (4.3)其中是一个维纳过程，和是和的函数。变量的漂移率为和方差率为.ito定理表明和的函数遵循如下过程： (4.4)由于是维纳过程，所以也遵循ito过程。3.2 black-scholes方程 基本假设: (1).

18、原生资产价格演化遵循几何brown运动 (4.9) (2).无风险利率是常数且对所有到期日都相同。 (3).原生资产不支持股息。 (4).不支付交易费和税收。 (5).不存在无风险套利机会。 (6).允许使用全部所得卖空衍生证券。 (7).证券交易是连续的。 (8).在衍生证券的有效期内没有红利支付。 命题4.1：black-scholes方程为。 证明：设是欧式看涨期权价格，它在期权的到期日时，这里是期权的敲定价，现在要求期权在有效时间内的价值。 利用对冲技巧，我们给出欧式期权定价的数学模型。 形成投资组合，(是原生资产的份额)，选取适当的使得在时段内，是无风险的。 设在时刻形成投资组合，并

19、在时间段内，不改变份额。那么由于是无风险的，因此在时刻，投资组合的回报是即 (4.10)由于，其中是由随机微分方程(4.9)确定的方程，因此有ito公式.把它代入式(4.10)得. (4.11)由于等式右端是无风险的，由此等式左端随机项的系数必为0，即选取 (4.12)把它带入式(4.11)，并消去得到这就是刻画欧式看涨期权价格变化的偏微分方程black-scholes方程。3.3 black-scholes公式(欧式看涨期权的定价) 命题4.2：black-scholes公式为。 证明：为了确定在合约有效期内0,t内期权的价值，就是要在区域上求解定解问题： (4.13) (4.14)作自变数

20、代换 (4.15)定解问题(4.13)(4.14)转化为常系数抛物型方程cauchy问题(初值问题)： (4.16) (4.17) 求解：做函数变换： (4.18)因为代入(4.16).取，.则(4.16)变为 (4.19)相应的初始值为： (4.20)令 其中为初值，为方程(4.19)的基本解。则 (4.19) (4.20)表示为 通过以上的变换可以得到：，其中令，则，令，则 . 同理得 .由变换(4.15)回到原变量有令 (4.21) (4.22)得到欧式看涨期权的定价公式为 (4.23)根据命题4.3的证明过程同样可得欧式看跌期权的定价公式： (4.24)这就是black-scholes

21、公式。3.4 二项式模型和black-scholes的模型的关系 介绍这两个模型之间的关系，也就是介绍他们之间参数的关系。 对应与时间间隔内股票价格变化的均值和标准差，参数，和必须给出相应的正确值。由于处于风险中性的世界中，所以股票的期望收益是无风险利率。因此在时间间隔段末的股票期望值为，其中为该时间间隔段初始股票价格，因此： (4.25) (4.26)在一个小时间段内股票价格的方差是，则即 (4.27)cox，ross和rubinstein用的第三个常用的条件是：，则通过以上的式子可得出： (4.28)其中 因此，只要估计出股票回报率的波动度，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的，和78.4

22、 实例分析 例4.1：考虑一个不付红利股票的5个月期欧式看跌期权，股票价格为50元，执行价格为50，无风险利率为每年10%,波动率为每年40%，为构造一个二叉树，我们把期权的有效期分为十个时间段，每个时间段长度为半个月，(=0.0417年)，则，求期权的现值是多少？ 解：由于期数较大，手工计算会比较麻烦，编写c语言程序去实现这个结果(程序见附录)910： 运行程序出现：图8 c语言程序运行的结果 输入数据：图9 输入上述要求的值 得出结果：图10 程序运行之后各时刻期权的价格由图可读出期权的价格为。 在取不同的值时，期权现值会有所不同，运行结果如下。表1 取不同值时，期权的现值34.4854.

23、32103.95 从以上表格中可以发现，当取得越大，离期权到期日越短，在其他参数一样的条件下，离到期日越短的期权，价值越小。 例4.2：考虑一个不付红利股票的5个月期欧式看跌期权，股票价格为50元，执行价格为50元，无风险利率为每年10%,波动率为每年40%，求期权的现值是多少？ 这是一个很简单的例子，如果运用black-scholes公式计算就可以得出一个数值，但显然有更好的方法去解决，用计算机语言把内含差分方法描述出来，从而通过计算机解除这个欧式看跌期权的值。解：令、和的值分别取20，10和5，根据已知的, . 根据以上数值编写出matlab程序语言(程序见附录)1213按要求输入数值：图

24、11 输入程序已知的值 图12 得出的各个时刻期权价格的值 从图就可以读出该欧式看跌期权现值为3.9113元。 用black-scholes公式求出来的期权价格是4.08元，但是发现这两者之间的差距还是有点大的，所以有必要继续进行实验，现列出实验过程中、和取不同值时所得出的期权价格。表2 不同、和的值，期权的不同价格201053.9113205053.966240502.54.0395401002.54.04611005014.059510010014.065910020014.0691 从上表中可以发现当一定时，越大得出的更接近于真实值，当一定，越大，同样的得出的更接近真实值，说明当期权的期

25、数分的越多，股票价格上涨速度越慢，即步长取的越小时，得到的结果就越接近真实值。 用计算机语言绘制看跌期权在各个时期的期权价格(程序见附录) 运行程序输入：plot33 得出各期期权价格的图如下：图13 描述期权价格的图 可以看出用数值方法求解期权价格方便简单，而且当改变初始值时，我们仍然可以利用这个计算机语言求出我们要求的当期的期权价值，而不需要套用black-scholes公式去求我们想要的结果，而且这个程序可以求出各个时间段的期权值，即网格上的点都可以求出来，也许对于欧式期权没有意义不大，但求美式期权价格时，求出这些全部的值就相当有意义了，所以这种方法在现阶段中对求期权价格是相当有用的14

26、。5 总结5.1 本文结论 本文探讨了两种期权定价模型，并得出了两种模型下欧式期权的定价公式。 1、二项式模型(1)一期二项式模型的看涨期权定价公式为：。 (2)二期二项式模型的看涨期权定价公式为： (3)期二项式模型的看涨期权定价公式为： 2、black-scholes模型 black-scholes模型的看涨期权定价公式为：。 由于两种模型的定价公式都是求的欧式期权定价的显式解，但现实中有很多期权的值都只能求近似解，求不出精确解，且不能用上述两种模型计算，所以就需要用到数值计算方法去求近似解。本文讨论的两种数值方法的优缺点如下。 1、二叉树图法： (1)二叉树图方法假设在每个小的时间间隔内

27、，股票价格或者按比例上升，或者按比例下降。的大小和相应的概率经过仔细的选择后，可使股票价格的变化在风险中性的变化在风险中性世界中具有正确的均值和标准差。从二叉树图的末端开始倒退可以计算出期权的价格，计算比较简单，需要的参数较少。 (2)但是，当最终的盈亏状态依赖于状态变量的过去历史以及它们的当前值时，应用此方法有很大的困难。并且，当包括三个或更多变量时，计算量相当大。 (3)根据二项式模型和black-scholes模型的关系，知道股票回报率的波动率，就可以计算出和相应的概率，由于这三个参数的选取难度较大，而估算波动率相对简单，所以在实际计算期权价格时已知波动率会比较好求。 (4) 当取得越大

28、，离期权到期日越短，在其他参数一样的条件下，离到期日越短的期权，价值越小。 2、有限差分法： (1)有限差分法将标的变量的微分方程转换成差分方程来求解，运用计算机语言描述，结合了计算机与数学的运用，为计算期权价格提供了更大的方便。 (2)类似二叉树图方法，有限差分法的计算是从期权有效期的最后时刻开始，倒退回到期权有效期的初始时刻。同样涉及的参数也较少，计算比较简单。 (3)在运用有限差分法时，要取不同的步长去求得最好的期权价格值，发现当步长取得越小时，得出的期权价格越接近实际的期权价格。 (4)内含的有限差分法在于它很有效，相对外推有限差分方法不必为保证收敛性而进行任何特定的事先假设，但是它比

29、外推方法复杂，需要求大量的的联立方程来求得最后的结果。而crank-nicolson差分法的最大优点就是它比内含的和外推的有限差分方法收敛更快。参 考 文 献1 louis bachelier. theorie de la speculationj. ann. sci. ecole norm. sup, 1900, 17(3): 21-86.2 black f. and m scholes. the pricing of options and corporate liabilities. journal of political economy, 1973, 81(4): 637-6543

30、cox j c, s. a. ross and m rubinstein. option pricing a simplified approachj. journal of financial economics, 1979, 7(3): 229-2634 李楚霖, 杨明, 易江. 金融分析及其应用m. 北京: 首都经济贸易大学出版社, 2007. 105-1735 joseph stampfli, victor goodman著, 蔡明超译. 金融数学m. 北京: 机械工业出版社, 2008. 1-1086 陈佳, 吴润衡. 金融数学中的欧式期权定价方法j. 北方工业大学报, 2004,

31、19(1): 74-787 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法m. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2008. 9-1108 杨建奇, 肖庆宪. 期权定价的方法和模型综述j. 商业时代, 2008, 16(2): 65-819 严蔚敏, 吴伟民编著. 数据结构m. 北京: 清华大学出版社, 2006. 75-15310 谭浩强. c程序设计m. 第三版. 北京: 清华大学出版社, 2006. 106-19811 史万明, 孙新, 吴裕树. 数值分析m. 第二版. 北京: 北京理工大学出版社, 2004. 1-6012 陆君安, 尚涛, 谢进等. 偏微分方程的matlab解法m. 湖北: 武

32、汉大学出版社, 2001. 35-8513 姜健飞, 胡良剑, 唐俭. 数值分析及其matlab实验m. 北京: 科学出版社, 2004. 20-9814 约翰赫尔. 期权期货和其他衍生产品m. 第三版. 北京: 华夏出版社, 2004. 123-344附 录例4.1中的c语言程序:#include#includemain()printf(n本程序解决这样一个问题：n);printf(有一期权到期时间为t的股价及期权价二叉树，n);printf(x表示执行价，r表示利率n);printf(s00表示0时刻的股价，sij(i=1,2,.,t;j=0,1,.,i)表示二叉树上各节点的股价，n);p

33、rintf(c00表示0时刻的期权价，cij(i=1,2,.,t;j=0,1,.,i)表示二叉树上各节点的期权价。n);printf(现已知t，x，r，k及s00，求解二叉树上所有节点的股价s与期权cnnn);/以下初始化各数据int t,i,j;double x,r,k,u,d,q,bigt,a;/i和j用于循环控制；q表示上升概率，可按公式由r,u,d求出 printf(现请按顺序输入t，x，r, k, t，s00(用空格隔开)：n);scanf(%d %lf %lf %lf %lf,&t,&x,&r,&k,&bigt);double st+1t+1,ct+1t+1;/如上述，sij与ci

34、j分别为二叉树各节点的股价与期权价(i=0,1,.,t;j=0,1,.,i) scanf(%lf,&s00);/以下求解 u=exp(k*sqrt(bigt/t);d=exp(-k*sqrt(bigt/t);a=exp(r*bigt/t);q=(a-d)/(u-d);/按公式求qfor(i=1;i=t;i+)for(j=0;j=t;j+)sij=pow(u,i-j)*pow(d,j)*s00;/由s00求出所有节点的股价for(j=0;j=t;j+)if(stj-x=0;i-)for(j=0;j=i;j+)cij=exp(-r*bigt/t)*(q*ci+1j+(1-q)*ci+1j+1);/求剩下节点的期权价c