自适应控制(2)

1、第二章 基于优化控制策略的自校正器 PID控制器：广泛应用于各种过程控制，但难以进行在线参数调整 自校正调节/控制器：自动调整参数 最小方差控制：被控过程结构和参数已知，系统处于随机扰动和干扰之中，使系统输出的稳态方差为最小 2.1 最小方差调节器 2.1.1 被控过程随机干扰的描述 研究单输入/单输出、线性、定常离散系统的调节问题 ，被控过程由下列差分方程描述： )() 1()()() 1()()() 1()(1101cnbnannkvckvckvndkubdkubdkubnkyakyakycba （2.1）式中： y k( )u k( )v k( )E vk22( ) d ：响应滞后拍数。

2、 ：k时刻输出； ：k时刻控制输入； ：零均值白噪声序列，且有： (2.2a)q1A qy kB qqu kC qv kd() ( )()( )() ( )111y kB qA qqu kC qA qv kq( )()()( )()()( )1111为单位后向平移算子，于是(2.1)式可写成： 令或式中： (2.2b) A qa qaqB qbb qbqC qc qcqnnnnnnaabbcc()()() 111101111111n kC qA qv k( )()()( )11v k( )由(2.2)式可见随机扰动对过程的影响等效为n(k)： 已不再是白噪声序列。 (2.2)式称为CARMA模

3、型，即：被控自回归滑动平均模型。(2.3) 是高斯平稳序列，具有有理谱密度，但它被控过程的结构方框图 u(k)+y(k)C(q )-1A(q )-1n(k)v(k)-dqB(q )-1A(q )-11q1()B q1q1()C q)(kv22Ev (k )要使最小方差自校正调节器的解存在，必须满足下列假设：(1)受控系统的时延d及延迟算子多项式A,B和C的阶次及系数都是已知的；圆外；(2)多项式的所有零点都位于复平面单位(3)多项式的所有零点都位于圆外；复平面单位(4) 为白噪声序列，。该系统为最小相位系统，否则为非最小相位系统。1()B q1q1()B q1q1()B q1()C q系统为逆

4、稳定系统，否则为逆不稳定系统。如果的零点全在复平面单位圆外，则称有时称的零点全在复平面单位圆外的之所以要求 和的零点全在单位圆外，与闭环系统的稳定性有关。2.1.2 性能指标和最小方差控制律问题的提法 1）性能指标）性能指标 性能指标 ：输出y的方差 对于调节器 ：参考输入为零 ， ykr( ) 0E ekEyky kE ykr222( )( )( )( )即，则y的方差就是y的均方值 ：2）容许控制律）容许控制律 控制律u(k) :k时刻及其以前所有输出y(k), y(k-1), .，与所有过去时刻的控制序列u(k-1), u(k-2), .的函数 最小方差调节的基本思想 :系统中信号传递存

5、在d步延迟 ，对输出量中的可控干扰部分提前d步进行预测，根据预测值来设计最小方差调节律u(k)，以补偿可控部分的随机扰动在(k+d)时刻对输出的影响。 实现最小方差调节的关键在于预测。3）问题提法）问题提法 实际上性能指标应表示为 ：JE ykd12()最小方差控制问题 ：对(2.2)式描述的系统求使(2.4)为极小时的容许控制律，该控制律被称为最小方差控制律。 (2.4)2.1.3 d步预测模型 自适应预测 ：用给定的直到当前时刻k的数据调整预测器中参数，使得过去预测值接近相应的观测值，然后用这些参数产生未来的预测值。 y kdC qA qv kdB qA qu k()()()()()()(

6、 )1111 (2.5) 由式(2.2)可得下式：干扰滤波器C qA q()()11C qA q()()11C qA qF qqG qA qd()()()()()()11111与以前所测量输出y(k), y(k-1), .线性无关以及线性相关两部分 (2.6) 被分解成 一个恒等式 ：必须被分成两部分：其中： F qf qfqG qgg qgqnnnnffgg()() 11110111F q()1C qA q()()11G q()1qdC qA q()()11F q()1F q()1G q()1是的商式，是的余式。如果v(k+d)为y(k)，y(k-1)，. 独立的部分，则 的nf阶次就应当是

7、(d-1)，而的阶次应当等于(na-1)，即有：ndnnfga11y kdF qv kdqG qA qv kdB qA qu kF qv kdG qA qv kB qA qu kd()() ()() ()()()()()( )() ()()()( )()()( )1111111111 将(2.6)式代入(2.5)式，可得将v(k+d)分解后的结果为： F q()1)()()()()()()()(1111kuqCqBqkyqCqAkvdy kdF qv kdG qC qy kB qF qC qu k()() ()()()( )()()()( )111111 另一方面，假定多项式的所有零点都在单位

8、圆内，则(2.2)式可以改写成：(2.7)将(2.7)式代入上面的式中可得： (2.8)我们称(2.8)式为预测模型 。 对比(2.8)式和(2.5)式，(2.8)式是将(2.5)式的干扰项中的可预测部分分解出后所得到输出预测模型。利用此预测模型，就可以利用最小方差求得消除可控干扰后的最优预测器，或利用最小方差，求出消除可控干扰的控制律。2.1.4最优预测器 输出量的d步预测估计 ：(/ )y kd k)/( )()(kdkydkydky)(21dkyEJ预测误差 ：通过使性能指标求方差最小的d步最优预测 ：最小化来221JE y (kd )E y(kd )y(kd / k )1111211G

9、(q)B(q)F(q)E F(q)v(kd )y(k )u(k )y(kd / k )C(q)C(q)11112211G(q)B(q)F(q)E F(q)v(kd )E y(k )u(k )y(kd / k )C(q)C(q)1111112G(q)B(q)F(q)E F(q)v(kd )y(k )u(k )y(kd / k )C(q)C(q)也是独立的，v(k)具有零均值，所以上式右边最后一项为0值。另外上式右边第一项是不可预测的，所以欲使J1最小，只有使上式右边第二项为0，此时有：(/ )y kdk(/ )y kdk由于v(k+1)，v(k+2)，. , v(k+d)与测量数据独立，而是测量

10、数据的线性组合，所以v(k+1)，v(k+2)，. , v(k+d)与 ykdky kdkG qC qy kB qF qC qu k*(/ )(/ )()()( )() ()()( )11111JEF qv kdffdmin () ()()121212212A q()1B q()1C q()1F q()1G q()1(2.9)最小预测方差为：(2.10)其中，为v(k)的方差。方程(2.9)称为最优预测器方程，方程(2.6)称为丢番，(Diophantine)方程。当，和d已知时，可由它解出和。2.2 最小方差控制律 C q()1y kdF qv kdykd k()() ()*(/ )1JEF

11、 qv kdykdkykdEF qv kdEykdkykdrr () ()*(/ )() () () *(/ )()12122假设多项式是Hurwitz多项式，将最优预测器(2.9)式，代入预测模型(2.8)式中，可得：所以有：ykd kykdr*(/ )()C qykd kG qy kB qF qu k() *(/ )() ( )() () ( )1111上式右边第一项不可控，所以欲使J最小，必须使(2.11)由(2.9)式可得： (2.12)整理后可得最小方差控制律为： B qF qu kykdC qykd kG qy kr() () ( )() () *(/ )() ( )11111 (

12、2.13a) 从以上推导过程可以看出，最小方差控制律实际上是令(k+d)时刻的最优输出预测值为期望输出时所得到的控制。 ykdr() 0B qF qu kG qy k() () ( )() ( ) 111u kG qB qF qy k( )()() ()( ) 1110011( )()()gfbnnnii iiiu kg y kif bu kib 对于调节器问题，可以设，此时最小方差控制律可以简化为：(2.14)或最小方差控制问题的设计步骤： A qy kB qqu kC qv kd() ( )()( )() ( )111v k( )N( ,)02u kG qB qF qy k( )()()

13、()( ) 111F q()1G q()1na11）设被控过程的差分方程为：其中，是独立高斯随机白噪声序列，假定B和C的零点都落在单位圆内，那么，最小方差控制律为：其中，多项式和的阶分别为d-1和丢番方程来确定：，多项式的系数可通过求解下列C qF qA qqG qd()() ()()1111)()1 ()()()(11111dkvqfqfdkvqFdkyddEy kdfiid()() 2211212)(dky2）输出误差是v(k+d)的d-1阶滑动平均：3）输出的最小方差为：其中为v(k)的方差。 调节律。ykdr() 0y ka y kb u kv kc v k( )()()( )()10

14、1121【例【例2.1】求解以下被控过程的预测模型和最优预测，并计算其最小预测误差的方差，以及当期望输出时的最小方差A qa qnB qbC qc qda(),()() 111101111112G q()1F q()1na1G qgF qf q()() 101111解：解：根据题意，已知：根据对和阶分别为和d-1的要求，可得： 1111111111021110112 c qa qf qg qfaqga fq()()()()0110111fagcaffcagaac1110111,()由丢番方程(2.6)可得：令上式两边q的同幂次项系数相等，得下列代数方程组：解之得：y kg y kbf qu k

15、c qf qv k()( )() ( )() ()2111200111111ykkg y kbf qu kc q*(/ )( )() ( )211001111E ykf()()212221u kGFBy kbaaccaqy k( )( )()() ( ) 110111111由此可求出预测模型，最优预测，最优预测误差的方差，以及当期望输出时的最小方差控制律分别为：abc101090507 . ,. ,.gf0114416.,.y ky ku ku kqv kv k().( ).( ).().().()21440508110721611ykky ku ku kq*(/ ).( ).( ).().2

16、144050811071E yk()(.).222221 16356u kqy k( ).( ) 14405081u ky ku k( ).( ).() 288161若给定值：则有：所以可得：或最小方差调节的结构图 u(k)+y(k)C(q )-1A(q )-1n(k)v(k)G(q )-1F(q )-1B(q )-1-dqB(q )-1A(q )-1 2y ky kv kv k( ).()( ).()091071E ykEy kv kv k( ) .()( ).()220910711) 若d=1，则一步预测误差方差为，这说明预测误差随着预测长度d的增加而恶化，预测精度随之降低。此时的输出方差

17、为：2) 未加控制（即u(k) = 0）时，由过程方程可得：讨论：讨论：E y kv kE y kv kE y kE y k() (),() ( ),()( )11101222u k( ) 0E ykE vkyky kv kvk( )( ).().() ().()222208120907110491E yk( ).2222750191447此时的输出y(k)完全是由白噪声作用的结果，所以本身也是白噪声，具有与白噪声相同的特性，因而有：所以，当时，输出方差为：是加入最小方差控制后输出方差的4倍，可见，采用最小方差控制策略，使输出方差减少了3/4，而剩下的1/4是不可控部分所造成的。b0B q()

18、1C q()13）最小方差调节器的一个基本缺点 ：若过小，控制量就可能过大，从而使得执行机构或数模转换装置处于饱和状态而影响控制品质，同时也有可能加速执行机构的磨损4）最小方差调节器的另一个基本缺点 ：最小方差控制只能适用于和均为稳定零点的系统2.3 最小方差自校正器 C q()11y kdGy kBFu kFv kd()( )( )()y kdGy kF u ke kd()( ) ( )()2.3.1 最小方差自校正调节器最小方差自校正调节器 (采用直接法采用直接法)从预测模型入手推导参数辨识模型：首先，令 时，重写被控过程的预测模型(2.8)式:为了便于分析，把预测模型重写为：(2.15)

19、1,)(1, )()()( 1101 110111 agnnbfnnnnqgqggqGdnnqfqffqBqFqFggffe kv kf v kfv kdd( )( )()()1111C q()11 ()C qc qcq 1111221y kdGy kF u kcGy kF u kcGy kF u ke kd()( ) ( )() ()() ()()121122式中： 如果参数估计收到真值，那么在采用最小方差控制律对系统进行控制时，上式右边听有方括号中的项都为零，其效果等同于C = 1的情形。 所以，不论多项式取何种形式，(2.15)式均可以作为隐式算法的估计模型。 根据闭环可辨识条件dnnn

20、cba,nndnnfbga 0,ndndnnbbaa 110必须已知 1） 2）max对本问题即为max 为了满足估计模型参数的可辨识性条件，可以设定多项式F的首项系数为一合理的估计值，同时令： ) () 1()() 1()()( 2110,fgTTnnnkukunkykykykfffgggfg估计模型(2.15)可写为: 此时，可利用比如渐消记忆最小二乘递推公式进行参数估计： 0( )()()( )Ty kf u kdkde k 0( )(1)( ) ( ) ()() (1)(1)()( )() (1)()1( )( )() (1)TTTkkK ky kf u kdkdkP kkdK kkd

21、 P kkdP kIK kkd P k可得最小方差控制律为：u kfkkT( )( )( ) 10最小方差自校正调节器的设计步骤7）返回2）。 nnndabc,f0( )0( )k()kd( )k已知：和1）设置初值和P(0)，输入初始数据；2）读取新的测量数据y(k)；3）组成测量数据向量和；4）用递推最小二乘估计公式计算最新参数估计向量和P(k)；5）计算自校正调节律u(k)；6）输出u(k)；2.4 广义最小方差自校正控制器 自校正控制器：1975年D. W. Clarke等人提出，在指标函数中引入参考输入项和控制作用的加权项，适用于非逆稳定的被控系统 广义最小方差控制器设计 )()()

22、()(11kuqqAqBkydun kC qD qv k( )()()( )11)()()()()()()(1111kvqDqCkuqqAqBkyd被控过程有下列表达式：(2.19a)噪声干扰n(k)是统计随机过程：(2.19b)所以系统模型为：(2.19c) 控制目的是求使性能指标为最小时的系统控制量u(k)，其控制系统方框图如图2.3所示。ykdr()JEy kdykdrukr222 ()()( )系统的参考信号为，选择的性能指标为：控制系统方框图 u(k)+y(k)C(q )-1D(q )-1n(k)v(k)-dqB(q )-1A(q )-1y (k)uGcGc1Gc2-ry (k)2.

23、4.1 不同类型的广义最小方差控制器的推导不同类型的广义最小方差控制器的推导 C qD qF qG qD qqd()()()()()11111F qf qfqG qgg qgqddnnaa()()()() 111111011111C qF qD qqG qd()() ()()1111n kdF qv kdG qD qv k()() ()()()( )111为了得到d步预测器，将干扰滤波器分解成两部分：(2.20)此处：由(2.20)式可得：(2.21)由此可得干扰的d步预测为：(2.22)v kD qC qy kB qqA qu kd( )()() ( )()()( )1111n kdG qC

24、 qy kB qA qqu kF qv kdd()()() ( )()()( )() ()11111上式第二项中的v(k)可通过过去的被控变量y(k)和控制u(k)，根据(2.19)获得：(2.23)将(2.23)式代入(2.22)式得：(2.24) y kdB qA qu kG qC qy kB qA qqu kF qv kdG qC qy kB qA qC qC qG qqu kF qv kddd()()()( )()() ( )()()( )() ()()()( )()() () ()() ( )() ()111111111111111y kdG qC qy kB qD qF qA qC

25、 qu kF qv kd()()()( )() () ()() ()( )() ()11111111由此并结合系统模型可得系统预测输出的表达式为：结合(2.21)式，上式可简化为：(2.25)ykd kG qC qy kB qD qF qA qC qu k*(/ )()()( )()() ()() ()( )1111111y kdykd kF qv kd()*(/ )() ()12222212 ()()( ) *(/ )()( ) () ()rrJEy kdy kdrukEykd ky kdrukEF qv kd对式(2.25)求解最小方差意义下的最优输出预测y*(k+d/k)为：(2.26)

26、此时系统的实际输出为：(2.27)将(2.27)式代入性能指标J2中可得：(2.28) Ju kykd kykdykd ku kru kr( ) *(/ )()*(/ )( )( )220A q()1)(1qB)(1qC)(1qD)(1qFB qD qF qA qC q()() ()() ()11111为了求得最小方差意义下的最优控制量，相对于u(k)对(2.28)求极小值，即求J2对u的导数，并令其为0，得：(2.29)通过分析多项式，和的首项函数，由项可以展开成q-1的无穷级数多项式，它的首项函数为b0，所以可得： ykd ku kb*(/ )( )0()()( )() () ()() (

27、)( )()( )G qC qy kB qD qF qA qC qu kykd bru kr111111100u kA qC qykdG qA qy kD qF qB qrbC qA qr( )() ()()() () ( )() () ()() ()1111111011(2.30)将(2.26)式和(2.30)式代入(2.29)式，得：整理上式可得使J2为最小时广义最小方差控制律为：(2.31)ukG qA qD qF qB qrbC qA qy k111111011( )() ()() () ()() ()( ) D q()1A q()1由(2.31)式可以推导出不同类型的最小方差控制器：1）当yr = 0时，(2.31)式变成了带有控制限制的调节器，其调节律u1为：(2.32)2）当噪声滤波器的分母与过程分母相等时，其调节律u2为： ukG qF qB qrbC qy k211101( )()() ()()( ) ukG qA qD qF qB qy k311111( )() ()() () ()( ) ukG qF qB qy k4111( )()() ()( ) (2.33)3）当对上两种情况采用J1为性能指标时，其调节律分别为u3和u4：(2. 34)(2.35) D q()1A q()1yr 0ukC qykdG qy kF qB q