幂级数的典型应用毕业论文

1、 本科毕业论文题 目: 幂级数的典型应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 罗云云 学 号： 091901301030 指导教师： 管 毅 教师职称： 讲 师 填写日期：2013年 5月 2日摘要幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.关

2、键词:幂级数;微分方程;不等式 abstractpower series is a kind of series of functions with a simple format; its application is very broad. in some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. at this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expa

3、nsion of power series. based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate

4、 calculation; second, in the application of inequality proof; third, in the application of differential equations; last, in the application of the determinant calculation.keywords: power series; differential equations; inequality目 录摘 要iabstractii第一章 前言1第二章 幂级数的基本知识2第一节 定义2第二节 和函数2第三节 幂级数收敛域4第四节 函数的幂

5、级数展开5一、函数的泰勒展开式5二、常见函数的麦克劳林展开式6第三章 幂级数的应用7第一节 在近似计算中的应用7第二节 在不等式证明中的应用7第三节 在微分方程中的应用9第四节 在行列式计算中的应用11致谢14参考文献15第一章 前言级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年就创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数

6、、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究.同时,他开始探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究.而今,级数的理论已经发展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进行数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用. 幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中,很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开

7、式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.第二章 幂级数的基本知识第一节 定义在函数级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数级数 ()=(y)(y)(y),称为幂级数，其中，都是常数，称为幂级数的系数.特别地，当y，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数 .第二节 和函数设的收敛半径为(),为和函数，则有以下定理成立：定理 若幂级数与的收敛半径分别是正数与, 则.证明 首先证明.,.已知级数收敛

8、.,有 ,已知极限 ,从而数列 有界,即 ,有于是, .根据比较判别法，级数绝对收敛，即. 其次证明,.,.已知级数收敛.,有 .已知极限，所以数列有界，即 有.于是, .根据比较判别法，级数绝对收敛，即. 综上所证,.定理 若幂级数的收敛半径, 则,它的和函数由到可积,且可逐项积分,即 .证明 ,使.已知幂级数内闭一致收敛.和函数由到可积, 且可逐项积分,即 .根据定理1,此幂级数的收敛半径也是.定理 若幂级数的收敛半径,则它的和函数在区间可导,且可逐项微分,即,有 ().证明 根据定理1,幂级数的收敛半径也是.,使.已知幂级数内闭一致收敛.和函数在可导,从而和函数在区间可导,且可逐项微分,

9、即,有().第三节 幂级数收敛域已知幂级数. 现在讨论幂级数的收敛问题，显然幂级数在处总是收敛的，我们有以下定理： 定理4 若幂级数在收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；幂级数在时发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证明 设幂级数收敛，从而数列收敛于零且有界.即存在某正数，使得.另一方面对任意一个满足不等式的，设，则 .由于级数收敛，故幂级数当时绝对收敛.现在证明定理的第二部分.设幂级数在是发散，如果存在某一个，它满足不等式，且使级数收敛，则由定理的第一部分知道，幂级数应在时绝对收敛.这与假设矛盾，所以对一切满足不等式的幂级数都发散.则可知道幂级数的收敛域是以原点为中心的区

10、间，若以表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径.事实上，它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，所以：当时，幂级数仅在处收敛；当时，幂级数在上收敛；当时，幂级数在内收敛；至于，幂级数可能收敛也可能发散.我们称为幂级数的收敛区间.第四节 函数的幂级数展开一、函数的泰勒展开式 定义 若函数在点存在阶导数,则有 这里为佩亚诺型余项,称为在点的泰勒公式.当时,式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义 若函数在点的某领域内为存在直至阶的连续导数,则 这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称为在点的泰勒公式.当时,(3)式变成,称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.二、常见函数的

11、麦克劳林展开式 1.; 2.; 3.; 4.; 5. 第三章 幂级数的应用第一节 在近似计算中的应用当的原函数不能用初等函数表示出来,计算的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时,要求被积函数能够展成收敛的幂级数,且积分区间必须在幂级数的收敛域内,然后利用幂级数的逐项积分性质来计算定积分的值.例3.1.1 计算定积分的近似值，要求误差不超过. 解： ,上式右端为一交错级数,有 ，故取前项作为定积分的值,并在计算时取五位小数,可得 .例3.1.2 计算积分的近似值，精确到.解: , ,因为第四项的绝对值 ,取前三项作为定积分的近似值，得

12、 .第二节 在不等式证明中的应用在一些不等式的证明中，用初等数学方法往往很难证明，但是利用幂级数展开式能巧妙地将问题化难为易.例3.2.1 证明当时，.证明: 由三角函数的幂级数展开式易知 ， ，要 ，即,则 ,所以,当时，不等式成立.又 , , ，所以,当时,不等式成立. 综上所证，当时,不等式成立.例3.2.2 证明不等式，.证明: . . ，由于 ，所以就可以得到 .第三节 在微分方程中的应用有些微分方程的解不能用初等函数或积分来表示,此时常常用幂级数求出它的解.如果所求方程 满足初始条件的特解,其中函数是、的多项式,那么可以设所求特解可展开为的幂级数: , 其中是待定的系数.把带入,

13、便得一个恒等式,比较所得恒等式两端的同次幂的系数,就可定出常数,以这些常数为系数的级数在其收敛区间内就是方程满足初始条件的特解.如果方程中的与可在内展成的幂级数,那么在内方程必有形如 的解.例3.3.1 求满足的特解. 解: ，设 将、代入原方程得即 .根据恒等式两端的同次幂的系数，得 ，所以，原式的解为： .例3.2.2 求方程的解.解：设微分方程的解是处处收敛的幂级数，即 .求微分方程的解，实质上就是求级数的未定系数，.逐项微分两次，即 ，.代入方程之中，有 ,即 , . ，.由递推公式有 , , ,所以，原方程的解为： ，其中、是任意常数.第四节 在行列式计算中的应用若一个行列式可看作的

14、函数（一般是x的n次多项式）,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.还可以利用幂级数的变换计算行列式,当利用幂级数的变换计算行列式时,往往要找到行列式序列的递推关系式,设出与行列式序列对应的幂级数,根据递推关系出现的具体情况,对假设出的幂级数进行恰当运算,最后求出幂级数,通过比较幂级数的系数可得到阶行列式的值.例3.4.1 求n阶行列式 . 解: 记,按泰勒公式在z处展开：, 易知 . 由得,时都成立.对行列式求导,有.于是在处的各阶导数为： ; ; ; ,把以上各导数代入式中,有 若,有 ,若,有 .例3.4.2 计算行列式.解: 当时,;当时,;当时,将按第一列展开，

15、即得 ,此行列式序列,是著名的斐波那契数列,开始两项为,以后各项均为前两项之和,即，.数列的构造规则可表示为差分方程 初始值条件为 ,.设 , 分别用，乘以式得： , 由可得： ,由可知： ,解方程，得，；所以有 ，, . 由和的系数可得： .致谢踉踉跄跄的折腾了两三个月,论文得以成形,基本上达到了预期的效果,但由于能力和时间的关系,总是觉得有很多不敬人意之处.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,同学和老师的热情帮助下逐一克服了.尤其是要深深地感谢我的论文指导老师-管毅老师,他给了我无私的指导和帮助,他严肃的科学态度,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,深深地感染着、激励着我,同时在思想上和生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向管老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.其次还要感谢我的室友和论文小组的同学们,在我论文的撰写和排版工作上,给了我很多的建议和帮助,正是由于有了你们的帮助,本文才得以那么快完成,在此一并表示由衷的感谢.最后由于本人学术水平有限,所以论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友加以批评指正.参考文献1刘玉琏.数学分析讲义m.第二版，北京: 高等教育出版社，2003.12.2沈京一，张晓晞.高等数学m .北京：科学出版社，2007