(精编资料推荐)定积分的性质与计算方法.doc

1、定积分的性质与计算方法摘要 : 定积分是微积分学中的一个重要组成部分, 其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法, 并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。关键词 : 定积分 性质 计算方法定积分的定义设函数 f(x)在区间 a,b上连续，将区间 a,b 分成 n 个子区间 x 0,x 1,(x 1,x 2 , (x2,x 3 , (xn-1 ,x n ，其中 x0 =a，xn=b。可知各区间的长度依次是： x1=x1-x 0, x2=x2-x 1, xn=xn-x n-1 。在每个子区间 (x i-1,x i 中任取一点

2、i（ 1,2,.,nn) xi 。设 =maxx1, x2 , xn （即 是），作和式f (i 1最大的区间长度），则当 0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间 a,b的定积分，记为 :b( ) 。f x dxa其中： a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，区间 a, b 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式， 叫做积分号。对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x) 在a,b 上满足怎样的条件，f ( x) 在 a,b 上一定可积？下面给出两个充分条件 ：定理 1： 设 f ( x) 在区间 a,b上连续，则

3、f ( x) 在a,b 上可积。定理 2： 设 f ( x) 在区间 a,b上有界，且只有有限个间断点，则f ( x) 在a,b上可积。1例：利用定义计算定积分x2 dx.0解：因为被积函数f ( x)x2 在积分区间 0,1上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间0,1 的分法及点i 的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间 0,1分成 n 等份，分点为 xii ， i 1,2, , n 1 ; 这样，n1每个小区间 xi1, xi 的长度xi1 , i1,2, n; 取xi， i1,2, , n 。于是，得n合式nn2nx i 2f (x ix ix ii 1i 1i1ni11n(2i

4、 2i 1nnn 3i111n 3 .6n ( n1 )(2n1 )1( 11)(21)6nn当 0 即 n 时，取上式右端的极限 . 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1x2dxlim00定积分的性质n2 xi lim1 (11 )(21 )1i 1x6nn31、2、, a b3、常数可以提到积分号前 .4、代数和的积分等于积分的代数和.5、定积分的可加性：如果积分区间a,b 被 c 分为两个子区间a,c 与 c,b 则有又由于性质2 ，若 f(x) 在区间 D 上可积，区间D 中任意 c（可以不在区间a,b 上）满足条件 .6、如果在区间 a,b 上 f ( x)1，则2bb1dxdx

5、b aaa7、如果在区间 a,b 上， f(x)则0,8、积分中值定理：设f(x) 在 a,b 上连续，则至少存在一点t 在（ a， b) 内使9、设 M及 m分别是函数 f (x) 在区间 a,b 上的最大值及最小值，则bmb( a)f (x)dx M(b a)a微积分基本公式定理 1：如果函数 f ( x) 在区间 a,b上连续，则积分上限的函数( x)xf (t)dta在 a,b 上可导，并且它的导数(x)d xf (t)dt f (x),(a x b)dx a这个定理指出了一个重要结论： 连续函数 f ( x) 去变上限 x 的定积分然后求导，其结果还原为 f ( x) 本身 . 联想

6、到原函数的定义， 就可以从定理1 推知(x) 是连续函数 f ( x) 的一个原函数 .定理 2：如果函数 f ( x) 在区间 a,b上连续，则函数( x)xf (t)dta就是 f ( x) 在a,b上的一个原函数 .这个定理的重要意义是： 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的， 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 .定理 3: 如果函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 a,b 上的一个原函数，则3bf (x)dxF (b)F (a)a这也是牛顿（ Newton）- 莱布尼茨（ Leibniz ）公式，它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间

7、的联系. 它表明：一个连续函数在区间a,b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增量 . 这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续.例：计算上述用定义求的定积分1x2 dx .0解：由于 x3是 x2 的一个原函数，所以按牛顿 -莱布尼茨公式，有31 2x3 1130311x dx00303333定积分的计算方法一、几何意义法利用定积分的几何意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出.2 x2例：求定积分1dx 的值 .2 42x21解 ：1dx24224 x2dx， 而22表 示 圆224 xd xx2y24 在第一、二象限的上半圆的面积 .因为 S

8、 半圆=22x2，又在 x 轴上方，所以1dx.24注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出.二、换元法定理：假设函数f ( x) 在区间 a,b上连续，函数 x(t) 满足条件：1、()a,()b;42、 (t ) 在 ,（或, ）上具有连续导数，且其值域 R a, b ，则有bf (t) (t)dtf ( x)dxa4x2dx .例：计算02x1解：设 2x1t ，则 xt21, dxtdt , 且2当 x0 时， t1；当 x4 时， t 3 .于是4x23 t212dx202x11ttdt1323) dt( t211t 333t231127912223333注意：在

9、应用时必须注意变换x(t ) 应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.三、性质法 ( 奇偶性 )1、若 f ( x) 在 a, a 上连续且为偶函数，则aaf ( x)dx2f ( x)dxa02、若 f ( x) 在 a, a 上连续且为奇函数，则af ( x) dx0a例：求定积分4 tan xdx .4解：由被积函数 tan x 是奇函数，所以在对称区间的积分值为零.5即 4 tan xdx =0.4四、分部积分法设 u=u(x), vv( x) 均在区间 a,b 上可导，且 u，vR（a,b), 则有分部积分公式1例：计算2 arcsin xdx .0111x2 arcsin xdxx arcsin x2dx解：20001x21131 x22.11222 60结论1、计算b