正余弦定理的综合运用PPT学习教案

1、会计学1正余弦定理的综合运用正余弦定理的综合运用知识目标：知识目标：1、三角形形状的判断依据；、三角形形状的判断依据； 2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。、利用正弦、余弦定理进行边角互换。能力目标：能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；、进一步熟悉正、余弦定理； 2、边角互化；、边角互化； 3、判断三角形的形状；、判断三角形的形状； 4、证明三角形中的三角恒等式。、证明三角形中的三角恒等式。第1页/共28页教学重点：教学重点：利用正弦、余弦定理进行边利用正弦、余弦定理进行边 角互换。角互换。教学难点：教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行、利用正弦、余弦定理进行 边角互换时的转化方向；边角互换

2、时的转化方向； 2、三角恒等式证明中结论与、三角恒等式证明中结论与 条件之间的内在联系。条件之间的内在联系。第2页/共28页CcBbAasinsinsin2aAbccbcos2222bBaccacos2222cCabbacos222复习：复习：（R是三角形外接圆半径是三角形外接圆半径）R2第3页/共28页.2sin,2sin,2sinRcCRbBRaA.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa第4页/共28页第5页/共28页第6页/共28页例例1如果如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的余

3、弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（的三个内角的正弦值，则（ ）（A）A1B1C1和和A2B2C2都是锐角三角形都是锐角三角形 （B）A1B1C1和和A2B2C2都是钝角三角形都是钝角三角形 （C）A1B1C1是钝角三角形，是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形是锐角三角形 （D）A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形是钝角三角形题型一题型一:判断三角形形状判断三角形形状第7页/共28页解：解：A1B1C1的三个内角的余弦值都大于的三个内角的余弦值都大于0，所以所以A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，若若A2B2C2也是锐角三角形，则也是锐角三角形，则

4、sinA2=cosA1=sin( A1)，则则A2= A1， 22同理同理 B2= B1，C2= C1， 22矛盾矛盾 所以所以A2B2C2不是锐角三角形，不是锐角三角形， 选选D。则则 A2+B2+C2= (A1+B1+C1)= ， 232第8页/共28页2.,coscos ,.ABCabcBcAABC在中判断的形状小结一：小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这

5、也要求方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围定角的范围第9页/共28页ABC 在在 中，若中，若 ，则，则 是是( )A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形C直角三角形直角三角形 D等边三角形等边三角形2cos2cos2cosCcBbAaABC D 练习一练习一2cossin22cossin22cossin2CCRBBRAAR略解：由正弦定理得：2cos2cos2sin22cos2cos2sin22cos2cos2sin2CCCBBBAAA2si

6、n2sin2sinCBA222222CBACBA是锐角，又第10页/共28页题型二：三角形中的化简求值题题型二：三角形中的化简求值题例例2：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的值。解解:（化（化角角为为边边）由由余弦定理余弦定理得：得：abcba2222bcosCccosBcacbca2222abcaacba22222222b2 a第11页/共28页解法二解法二:（化（化边边为为角角） 由由正弦定理正弦定理得：得：bcosCccosBBCRCBRcossin2cossin22sinsinaAAa例例2：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的

7、值。)sin(2CBR)sin(2AR射影定理：射影定理：a= bcosCccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA第12页/共28页解法一：解法一：,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入代入 得：得：,sinsin2sincoscosCABCBcabCB2coscos0cossin2BA即, 0cossin2BA,sin)sin(ACBCBA又0sincossin2ABA21cos0sinBA32BB为三角形的内角，故, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。求且BcabCB,2coscos 由由正弦定理正弦定理得：得：（化（化边边为为角角）例

8、例3：BCBCsincoscossin)sin(CB第13页/共28页,2cos222acbcaB解法二：解法二：由由余弦定理得余弦定理得abcbaC2cos222cabCB2coscos代入代入 得：得：acbca2222cabcbaab22222整理得整理得,222acbca2122cos222acacacbcaB32BB为三角形的内角，故, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。求且BcabCB,2coscos（化（化角角为为边边）例例3：第14页/共28页解：由余弦定理知：解：由余弦定理知：，212cos222bcacbA,60,1800AA,120)(180BBAC又,si

9、nsinBCbc且由正弦定理知, 321sin)120sin(BBBBBsinsin120coscos120sin321bc, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。和求且若BAbcabccbtan, 321,22221tanB解得（化（化边边为为角角）32121tan23BBCsinsin321第15页/共28页题型三题型三:证明恒等式证明恒等式coscosc bAb cA例3：在三角形ABC中，三个内角为A、B、C，对应边 为a、b、ccosB 求证：cosC方法一方法一:边化角边化角;方法二方法二:角化边角化边;第16页/共28页小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，

10、有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。第17页/共28页第18页/共28页题型四题型四、面积问题面积问题第19页/共28页变式变式4、已知、已知ABC的三边长的三边长 求求ABC的面积3,5,6abc变式变式3、已知、已知ABC的面积 求求C角的大小？角的大小？2224abcS变式变式1.ABC的

11、面积为的面积为 求求A32,32bc, 且变式变式2、在、在ABC中，中，求求ABC的面积及外接圆半径的面积及外接圆半径12,3,cos3abC,?sinsinsinabcABC 第20页/共28页例例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求构成钝角三角形，求a 的取值范围。的取值范围。变式：锐角三角形的三边长为变式：锐角三角形的三边长为2,x,3，求求x的取值范围。的取值范围。练习：练习：三条线段长度为三条线段长度为2,x,6(1)求构成直角三角形时，求构成直角三角形时，x的取值范围的取值范围(2)求构成锐角三角形时，求构成锐角三角形时，x的取值范围的取值范围(3)求构成钝角三角形时，求

12、构成钝角三角形时，x的取值范围的取值范围题型五题型五、范围问题范围问题第21页/共28页(07全国卷)在锐角三角形ABC中，三内角 A、B、C对应的边分别为a、b、c， a=2bsinA（1）求B的大小；（2）若a=3 3，c=5，求b（3）求cosA+sinC的取值例6范围。 1 30（） （2） 733（3）（， ）2第22页/共28页A解：（3）cosA+sinC =cosA+sin（-）6sin3 sin3AAA=cosA+sin（）613=cosA+cosA+22（）,BABA为锐角三角形的内角知222263第23页/共28页25A33613sin()A232333 sin()A23

13、2, 3)3cosA+sinC的取值范围是(2第24页/共28页1、（、（07年全国卷）年全国卷）(3,4), (0,0), ( ,0)(1)5,;(2)0,ABC cc 若三角形中顶点坐标为若求sinA的值若AB AC求c的值;(3)若A为钝角,求c的取值范围.方法一：正弦定理方法一：正弦定理（1）方法二：余弦定理方法二：余弦定理（2）方法一：向量数量积定义方法一：向量数量积定义方法二：勾股定理方法二：勾股定理（3）余弦定理余弦定理253c 2 53c 25sin5A 练习：第25页/共28页22 33ABCABC、（07全国卷）在中，边， 设内角B=x，周长为y。1（）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值。224sin4sin2 30)331 yxxx （）,（）4 3sin()3226yx（ ）6 3y 易求最大值为第26页/共28页小结：小结： 1 1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型： （1 1） 判断三角形的形状；判断三角形的形状； （2 2） 三角形中的求值题。三角形中的求值题。2、两种题型、两种题型思路的共同点思路的共同