线性代数课件：5.1-5.3 二次型

1、上页上页下页下页返回返回5.1 5.1 实二次型实二次型5.2 5.2 二次型的标准形二次型的标准形5.3 5.3 用配方法将二次型化为标准形用配方法将二次型化为标准形5.4 5.4 二次型的规范形和惯性定理二次型的规范形和惯性定理5.5 5.5 二次型的正定性二次型的正定性第五章第五章 二次型二次型上页上页下页下页返回返回5.1 5.1 实实二次型二次型上页上页下页下页返回返回一、二次型的概念一、二次型的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有

2、定定义义nxxxn, 121; , 称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型. , 称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型上页上页下页下页返回返回例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为二次型都为二次型. 323121321,xxxxxxxxxf 23222132144,xxxxxxf 上页上页下页下页返回返回1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是n

3、nxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法上页上页下页下页返回返回2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,上页上页下页下页返回返回., 为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT ,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax11

4、121112222212记记 312322213214542,xxxxxxxxf 112323202,040205xx xxxx如如上页上页下页下页返回返回三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA; 的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做

5、对称矩阵Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA上页上页下页下页返回返回nnA 定理定理1 1 给定一个给定一个元实二次型，就可以得到元实二次型，就可以得到阶实对称矩阵阶实对称矩阵， 惟一的一个所表示的惟一的一个所表示的 A是这个是这个 .T Tx Axn二次型所对应的矩阵，这个二次型可以写成二次型所对应的矩阵，这个二次型可以写成反之，给了一个反之，给了一个阶对称矩阵阶对称矩阵B， 就可以得到就可以得到 nxxx,21的惟一的一个二次型的惟一的一个二次型 BxxT， 这个这个 二次型的矩阵恰好就是二次型的矩阵恰好就是 .B上页上页下页下页返回返回解解,a,a,a3213

6、32211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例上页上页下页下页返回返回例例2 写出写出 3595597697215617A确定的二次型确定的二次型解：解： (,)f xxxx1234(,)xxxxxxxx 12123434716512 7967955953xxxxx xx xx xx xx xx x22221234121314232434729321210141810上页上页下页下页返回返回例例3 将二次型将二次型 (,)f xxx123xxxx xx xx x22

7、2123121323写成矩阵形式，并求二次型的秩写成矩阵形式，并求二次型的秩解解 二次型的矩阵形式为二次型的矩阵形式为(,)f xxx123(,)xxxxxx112323111221112211122上页上页下页下页返回返回因为因为 A 111222111121111210332211200011122所以所以 2AR因此，二次型因此，二次型 ),(321xxxf的秩为的秩为2 上页上页下页下页返回返回 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线

8、性变换，将二次型化为新的二次型可逆的线性变换，将二次型化为新的二次型),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx AxxfT 有有将其代入将其代入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 上页上页下页下页返回返回命题命题1设二次型设二次型 ),(21nxxxf的矩阵是的矩阵是 A则经过非退化线性变换则经过非退化线性变换 x=Cy 得到的新二次得到的新二次 型的矩阵是型的矩阵是 .T TC AC定义定义2 设设 A与与 B都是都是n 阶矩阵，如果存在一阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵个可逆矩阵 C，使得，使得 ACCBT，则称，则称A与与B 合同合同 合同矩阵

9、具有下列性质合同矩阵具有下列性质:反身性；对称性；传递性反身性；对称性；传递性.上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二次型的标准形二次型的标准形一、二次型的标准形一、二次型的标准形 二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形上页上页下页下页返回返回只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型nnfd xd xd x2221122称为二次型的标准形称为二次型的标准形一、二次型的标准形一、二次型的标准形其对应的矩阵为对角矩阵其对应的矩阵为对角矩阵nddd21 上页上页下页下页返回返回2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变

10、换换要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换是否存在某个可逆线性变换使其化为标准形？是否存在某个可逆线性变换使其化为标准形？上页上页下页下页返回返回有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxa

11、axxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 上页上页下页下页返回返回二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 熟练掌握！熟

12、练掌握！具体步骤：具体步骤：上页上页下页下页返回返回化成标准形，并写出相应的正交变换化成标准形，并写出相应的正交变换.二次型二次型 (,)f xxx123的矩阵为的矩阵为 124242421AA的特征多项式为的特征多项式为AE 1242 4242 1例例1 用正交变换将二次型用正交变换将二次型 (,)f xxx123xxxx xx xx x2221231213234484解：解：() () 254上页上页下页下页返回返回 A的特征值是的特征值是 15（重根），（重根）， 24对于对于 150 0AE x5求得它的一个基础解系为：求得它的一个基础解系为： 120 1021 2, , 将将 1 2

13、先正交化先正交化11 1201222111, 0144122255105 上页上页下页下页返回返回再单位化再单位化111e 1552550222e 4 5152 515153 对于对于 24 40AE x求得它的一个基础解系为求得它的一个基础解系为212 3 再单位化再单位化231323333e 上页上页下页下页返回返回所以正交矩阵为所以正交矩阵为 254 5351512 52 5351525033P且 APP1500050004所以正交变换为所以正交变换为11232123313254 5351512 52 535152533xyyyxyyyxyy得二次型的标准形得二次型的标准形 f 2221

14、23455.yyy上页上页下页下页返回返回例例2 已知二次型已知二次型 123(,)f xxx222123121323222xaxxbx xx xx x经过正交经过正交 变换变换 123xxx123yyyP化成了标准形化成了标准形 22234fyy，求，求 ba,的值和正交矩阵的值和正交矩阵 .P上页上页下页下页返回返回5.3 5.3 用配方法将二次型化为标准形用配方法将二次型化为标准形用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变若不限于用正交变换，可以有若不限于用正交变换，可以有很多个可逆的线性变换把二次型化成标准形，很多个可逆的线

15、性变换把二次型化成标准形，下面介绍拉格朗日配方法。下面介绍拉格朗日配方法。上页上页下页下页返回返回1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija

16、),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.上页上页下页下页返回返回解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项上页上页下页下页返回返回 322322232144

17、xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx上页上页下页下页返回返回32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用可逆变换矩阵为所用可逆变换矩阵为 .01,100210111 CC上页上页下页下页返回返回,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxx

18、xf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即上页上页下页下页返回返回再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即上页上页下页下页返回返回所用可逆变换矩阵为所用可逆变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C上页上页下页下页返回返回将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要