应用数学赵景程S9数值分析方案.docx

1、2018 年秋季学期研究生课程考核读书报告、研究报告）考核科目:数值分析学生所在院 系）:理学院五阶的牛顿迭代改进法在科学和工程计算中，常常要用数值计算方法求解非线性方程f ( x )0 。牛顿法是求解此类方程的最经典方法，其迭代格式xn 1xnf (xn ) 。利用不同的求积公式来计算牛顿定理f (xn )x (t )dt (1)f ( x) f ( xn )fxn中的积分，分别得到了具有三阶收敛的修正牛顿法：xn 1 xn2 f ( xn )(2) ( xn 1 ) f f(xn )xn 1xnf (xn )(3)1f (xnx)2n 1xn 1xnf ( xn ) (11) (4)2f

2、( xn )f (xn 1)其中 xn 1 xnf ( xn ) 。本文将在上述三阶收敛的修正牛顿迭代法的基f (xn )础上。进一步得到了一类具有五阶收敛的牛顿迭代改进法。并给出他们的收敛性和误差分析。1.主要结果三阶修正牛顿迭代法(2) 、 (3) 、 (4) 的一般形式为：un 1g3 (xn ) ， (5)根据牛顿定理有：x (t) dt. (6)f ( x)f (un 1 )fun 1根据梯形公式有：2/10xn 1un 12 f (un 1 )( xn ) f , (7)f(un 1 )这是一个隐式格式。若用牛顿迭代法来计算(7) 式右边的第n+1 次迭代值，则得到：xn 1 un

3、 12 f (un1 ) (xn 1 ) f (un 1)ff ( xn ), (8)xn 1 xnf ( xn ) .2.收敛性分析定理 1设 f 为 Banach 空间 X 的某个凸区域 D 到同型空间 Y 的一个非线性算子，且在D 内的一阶至三阶导数存在，如果在D 内有一个单根 x D ，且由(5) 式所定义的 un 1 满足 un 1xAen3(en4)，其中 A为不等于零的常数，则迭代格式 (8)满足下列误差方程：en 1 C22 Aen 5(en 6 ) 其中 en xn x ， C jf ( j ) ( x ) , j1,2,3j ! f ( x )证明利用泰勒公式，有:f(xn

4、 )f ( x ) enC2en2C3en3(en4 ),(9)f ( xn )f (x )12C2 en3C3 en2( en3 ).(10)由 (9) 、 (10) 式得到：f ( xn )en C2 en2(2C222C3 )en3(en4 ), (11)f ( xn )因此，有 xxnf (xn )xC e2 (2C22C3)e3(e4 ), (12)n 1f (xn )2 n2nn对函数 f ( xn 1 ) ，利用泰勒公式并注意到(12)式，得：3/10f(xn 1)f ( x )(13)1 2C22en2(en3 )对函数 f (un 1) ， f (un 1) 分别利用泰勒公式

5、，得：f (un 1)f ( x)( un1x )(un 1x )2 , (14)f (un 1)f ( x)12C 2 (un 1x )(un 1x )2 .(15)再由 (13) 、(14)、 (15)式得2 f (un 1 )( un 1x )(un 1x )2 x )(ux )21C2 23( u1n12e(e )f ( xn 1) f (un 1 )1 C22en2(en3 )nnn(un 1 x ) C22en2 (un 1x )(en6 ),故迭代格式(8)有误差估计： en 1un 1x2 f (un 1) ( xn 1 )f (un 1 )fun 1x ( un 1x ) C

6、22en2 (un 1xn )(en6 ) C22 Aen5(en6 ).利用 (2) 、 (3) 、 (4) 式可以得到以下三种五阶收敛的牛顿迭代格式：un 1xn2 f ( xn )f ( xn 1 )f ( xn ), (16)xn 1un 12 f (un1 )f ( xn 1 )f (un 1 ),un 1xnf (xn ) (1 (xfnx1)2n,xn 1un 12 f (un 1 )(17) ( xn 1 )f (un 1 ),fun 1xnxn 1其中 xn 1xnf (xn ) .f (xn )f ( xn )( 1f12f( xn )( xn 1un 12 f (un1)

7、f ( xn 1 ) f (un 1 ),),)(18)4/10(ii六阶收敛的牛顿迭代修正格式两种修正的 6 阶牛顿迭代格式un 1xnun 1xn其中 xn 1f (xn ) f( xn )f( xn 1 )2 f ( xnxn 1 )23xnxn 12 f (xn ) f ( xn 1 )(2 f)f( xn ) f( xn )(19)(2xn 1un 12 f (un 1),f ( xn 1 )f (un 1 )f (xn ) f (xn )f ( xn 1 )4 f( xn )f( xn 1) 2 f(xn xn1)22f ( xn ) f ( xn 1)3f ( xnxn 1 )(

8、 f ( xn ),f ( xn 1)(20)2xn1un 12 f (un 1 ),f ( xn 1 )f(un 1)xnf (xn ) .f (xn )1.收敛性分析定理设f ( x) : IR 在开区间I 内具有直到四阶的导数，如果I 是f ( x)0 的单根，且x0 充分靠近，则由 (19) ， (20) 式所定义的迭代格式是 6 阶收敛的，其误差方程为：en 1 AC22en6(en7 ),其中 A 为不等于零的常数， enxna ， C jf ( j ) ( a)( j ! f, j 1,2,3(a)证明利用泰勒公式展开，得f ( xn )f ( a) enC 2en2C3en3C

9、4 en4(en5 ), (21)f ( xn )f ( a)12C2 en3C3 en24C4 en3(en4 ), (22)f ( xn )223(3C4 7C2C3 4C3 45en C2en2(C2C3 )en2 )en(en ) (23)f (n)5/10因此有xn 1xnf (xn )a C2en22(C22C3 )en3(3C4 7C 2C3 4C23 )en4(en5 ), (24)f ( n)f ( xn 1 )f (a)12C22 en24(C23C 2C3 )en3(en4 ). (25)(19) 、 (20) 中前两步迭代为 4 阶收敛的迭代格式，其误差方程可写为 un

10、 1aAen4( en5 ) ，A 为不为零的常数。对函数f (un 1, f (un 1 ) 分别利用泰勒公式，得：f (un 1 )f (a)( un 1a)(un 1a)2 , (26)f (un 1 )f (a)1 2C 2 (un 1a)(un 1a) 2 ,(27)(25) 、(26) 、(27)式得2 f (un 1 )(un 1 a)(un 1a)2f (xn 1 )f (un 1)1 C22en22(C23C2C3 )en3(en4 )( un 1a)(un 1a)2 1C22en22(C23C2 C3 )en3(en4 ) (28)(un 1a) C 22 en2 (un

11、1 a)(en7 ).故迭代格式 (19) 和 (20) 有误差估计：eun 1a2 f (un 1 )C2e2(un 1a)( e7 )AC2e6(e7 ), (29)n 1f (xn 1) f (un 1 )2 nn2 nn所以 (19)、 (20)式均为 6 阶收敛。(iii7 阶收敛的牛顿迭代修正格式两种 7 阶收敛的牛顿迭代修正格式：6/10zn xnf (xn )f (xn )ynznf ( zn )3 f ( xn ) . f ( zn ) (30)5 f (zn )f ( xn ) f ( xn )xn 1yn2 f ( yn ) (zn ) f ( yn )fznxn(1 1

12、 ( L f ( xn ) f ( xn ) )2f ( xn )ynznxn 1f (xn ) f (x n ).其中 Lf (xn )f( xn )2f ( zn )f ( xn )f ( xn )(zn2 f ( yn )ynf ( zn )f ( yn )(31)xn )1.收敛性分析定理1 设 f ( x) 是开区间 I上的实值函数且五阶可微，I 是 f (x)0的一个单根，则当 x0充分靠近时，由 (30) 式定义的迭代格式是 7阶收敛的，其误差方程为：en 1A22Cen7(en8 ) (32)其中 C为不等于零的常熟， A2f (2)(a) .2! f(a)证 设 en = x

13、nf ( j ) (a)( xn ) 在 a 处a ， Ajj ! f (a) , j1,2,3,对 f (xn ), f(xn )和fTaylor展开得到：f ( xn )f (a) en A2 en2A3en3A4 en4(en5 )(33)f (xn )f (a)12 A2en3A3en24A4en35 A5en4(en5 ) (34)从而有7/10f ( xn )en A2 en22( A22A3 )en3(4 A237 A2 A3 3A4 )en4(en5 ) (35)f ( xn )于是得到牛顿迭代法的误差公式为：en 1zna enf ( xn )A2en22( A22A3 )e

14、n3(4 A237 A2 A3 3A4 )en4(en5 ) (36)f ( xn )由 (36) 和 (34) 式经过计算得到：f (zn )f (a)1 2A22en24( A22A2 A3) en3(6 A2 A3 11A22 A3 8A24 )en4(en5 ) (37)由 (30)式中的 zn , yn 构成五阶收敛的迭代格式，其误差方程可以写为yn aCen5(en6 ), 分别对 f ( yn ) 和 f ( yn ) 利用 Taylor公式得到：f ( yn )f ( a)( yn a)( yna)2 ) (38)f ( yn )f (a)12A2 ( yna)( yna)2

15、) (39)由 (37) (39) 式得2 f ( yn )( yna)( yna) 2 )f ( zn )f ( yn )2 233(3A2A4 (11 2A34 451 A2 en2( A2A2 A3 )enA24A2 )en(en )2( yna)( yna)2 ).1A22 en22( A23A2 A3 )en3(3A2A3(11A22 A33A24 )en4(en5 )2( yna)A22en2 ( yna)(en8 ) (40)故迭代格式 (30) 的误差估计为：eyna2 f ( yn )A2e2 ( yna)(e8 )A2Ce7(e8 ) (41)n 1f ( z )f ( y

16、)2 nn2nnnn所以由 (41) 式知道 (30)式定义的迭代格式是7 阶收敛的。定理 2设 f ( x) 是开区间 D 上三阶可微的实值函数且有一单根 x ，则当 x0 充分靠近 x 时， (31) 式定义的迭代格式是7阶收敛的，其误差方程为：8/10en 13 AC3en7(en8 ) (42)2其中 A 为不等于零的常数， C3f (3)(x ) .3! f(x )证设 en = xnx ， dnzn x ,Ckf ( k) (x ), k2,3,.利用 Taylor 公式可以k ! f (x )得到f ( xn ) f ( x ) en C2en2C3en3C4en4(en5 )(

17、43)f ( xn )f (x )12C2 en3C3en2(en3 )(44)f ( xn )2 f (x ) C23C3en(en2 ) (45)f ( xn )en C2en22( C22C3 )en3(en4 )(46)f ( xn )f ( x )22n2C2(2C23C3) en (en ) (47)由 (46) 和 (47) 式得：L f ( xn )2C2en3(C22C3 )en2 ( en3 ) (48)由 (46) ， (48) 式得：dn znx 2(12 )C22C3 en3(en4 ) (49)利用 Taylor 公式可得 f ( zn )f ( xn ) f (x

18、n )( zn xn ), 而由 (44) 、 (45) 和 (49)式得：f ( zn ) f ( xn )f (xn )( znxn )f (x )13C3en2(en3) (50)由 (31) 式中zn , yn 构成五阶收敛的迭代格式，其误差方程可以写为ynxAe5n(en5 ) ，其中 A 为不为零的常数。对函数f ( yn ), f ( yn ) 分别用Tayloy公式，就得到了：9/10f ( yn )f ( x )( yn x )( ynx)2 ) (51)f ( yn )f ( x )1 2C2 ( ynx )( ynx ) 2 ) (52)最后由 (50) 、 (51) 和 (52) 式得到2 f ( yn )f ( z ) f ( yn)n(53)( ynx )( yn x ) 2 )3281323( yn x )2 C3en( ynx )(en )