2024年湖北十堰郧阳中学自主招生数学试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年郧阳中学学科特长生招生考试数学试题注意事项1.本卷共有6页，24小题，满分150分，考试时限120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码.3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷､草稿纸上答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷､答题卡和草稿纸一并上交.一､选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分）1．高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（

）A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变2．动物保护专家为了研究骆驼在沙漠中的生存状态，做出了骆驼体温随时间的变化趋势图（图1），小明同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量有可能表示的是（

）A．骆驼在时刻的体温与0时体温的差的绝对值B．骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差C．骆驼在时刻的体温与当日平均体温的绝对差D．骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差3．在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是（

）A． B． C． D．4．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列中符合要求的是（

）A．3 B．2 C．1 D．06．已知，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．8．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（

）A．，， B．，， C．，， D．3，4，59．已知实数m､n､p满足，，，则的值等于（

）A．6 B．7 C．8 D．910．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为.下列说法中正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为4 D．周长的最大值为二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分）11．小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成页.12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=.度.13．如图，正方形，是上一点，，于，则的长为.14．已知的三边为a､b､c，且满足，则的形状为.15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解范围是.三､解答题（本题共9小题，共计75分）16．计算：.17．已知关于的一元二次方程.(1)求证：方程总有实数根；(2)若方程有一个根为负数，求的取值范围.18．化简：19．郧阳中学提出了“丰富阳光体育活动，增强学生身体素质”的口号，高一学生小李同学为了解郧阳中学学生参与体育锻炼的情况，从我校随机抽取了50名学生，获得了他们每周参与体育锻炼的时间（单位：时），并对数据进行整理､描述和分析.下面给出了部分信息.（1）学生每周参与体育锻炼时间的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：（2）每周参与体育锻炼时间（单位：时）在这一组的是：充分利用已有条件（1）（2），回答下列问题：(1)中位数为__________；(2)估计我校学生平均每人每周参与体育锻炼的时间为多少小时？(3)已知我校共有4500名学生，小李同学每周参与体育锻炼时间为5小时，估计我校每周参与体育锻炼时间比小李长的学生有多少人？20．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点.(1)若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出实数的取值范围.21．如图，在中，，以上一定点为圆心，为半径作圆，与分别交于点D，E，连接，若，，求.22．如图，AB是的直径，点C是过点A的的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交于点E，连接CE.连接BD并延长交AC于点F，若，，求AF的长.

23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在的左侧）.(1)求点的坐标及抛物线的对称轴；(2)已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围.24．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”.例如：点，点，由，可得点与互为“距点”.(1)在点，，中，原点的“距点”是_____（填字母）；(2)已知点，点，过点作平行于轴的直线.①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____；②若直线上存在点的“距点”，求的取值范围.(3)已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据平均数、方差的定义即可解答．【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，∴该班人的测试成绩的平均分为分，该班人的方差，即方差变小．故选：B．2．D【分析】根据图1，分析0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差可判断.【详解】由图1可知，从0时到4时，温差随着时间的增大而增大，在4时达到最大，最大温差是；再到8时，这段时间的最高体温是，最低体温是，温差不变；从8时开始，最高体温变大，最低体温不变是，温差变大，到16时达到最大，最大温差是；从16时开始，体温下降，但这段时间内的最高体温和最低体温不变，温差仍是；所以图2中的变量有可能表示的是骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差.故选：D.3．B【分析】直线和都是一次函数，通过讨论随着的增大而增大或随着的增大而减小，直线与轴的交点在轴的上方还是下方讨论排除选项得解.【详解】①当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而增大，选项中不存在；②当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，选项中不存在；③当时，即时，和都是一次函数，是随着的增大而增大，是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，过原点，选项B符合题意；综上可知，选项B正确.故选：B.4．D【分析】先由三个不等式组成三个命题，再分别对每一个命题运用不等式的性质判断其正确性，可得选项.【详解】由题意知，一共有三种命题组合方式，①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么.对于命题①，如果，，那么.因为，，所以，，可得，所以命题①为真命题.对于命题②，如果，，那么.因为，所以，又，所以，所以，则，所以命题②为真命题.对于命题③，如果，，那么.因为，所以，所以，所以命题③为真命题.所以组成真命题的个数为3.故选：D.5．D【分析】根据题意，结合二次函数的性质找到最大值和最小值差刚好等于9的值，即可求出.【详解】由题可知，函数开口向上，对称轴为，对称轴在区间内，故函数最小值为，又函数沿直线翻折，且最大值与最小值之差不大于，即，仅符合条件.故选：D6．A【分析】先利用平方差公式求出的值，再结合已知条件即可求出.【详解】由题意得，，又，，.故选：A.7．D【分析】由中点坐标公式可得.【详解】因为绕点旋转得到，所以点A、关于点对称，设，则由中点坐标公式得，解得，即点的坐标为.故选：D8．B【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案.【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形，三个角分别为，不符合题意，故A错误；选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示则，，所以，所以，所以，则，符合题意，故B正确；选项C：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误；选项D：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误.故选：B9．D【分析】将已知三式相加并整理可得，据此可得答案.【详解】将已知三式相加可得，则，从而，据此可得.则.故选：D10．C【分析】求出直线的方程，由点是抛物线上第一象限内一动点，设出的坐标，由过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，及直线的方程为得到的坐标，求出，利用二次函数的图像求出的最大值，由及轴，轴得到，由得到的最大值，从而得到选项C的正误；由勾股定理得，从而得到，即可得到，由勾股定理得，即，进而求出的最大值，从而得到选项A和B的正误；求出的周长为，故当最大时的周长也最大，从而得解，故判断出选项D的正误.【详解】设直线的方程为，，，，，直线的方程为，点是抛物线上第一象限内一动点，设，过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，直线的方程为，，，，当时，有最大值，且最大值为，，，，轴，轴，，，，，，的最大值为，故选项C正确；由勾股定理得，则，，由勾股定理得，即，则的最大值均为，故选项A和B错误；的周长为，当最大时，的周长也最大，且最大值为，故选项D错误.故选：C.11．10【分析】设原计划每天完成x页，由题意，列出方程，化简计算，即可得答案.【详解】设原计划每天完成x页，由题意得，整理得，解得或（舍）.所以小张原计划每天完成10页.故答案为：1012．540【分析】由三角形，四边形内角和结合图形可得答案.【详解】如图，，，又注意到，，则，从而.故答案为：13．##【分析】证明，由相似比求解.【详解】因为，所以，则，又，所以，所以，所以，又，，，.故答案为：.14．等腰三角形【分析】利用通分以及分解因式整理化简等式，可得答案.【详解】由，移项可得，通分可得，即，由为的边长，则，可得，去括号可得，移项可得，因式分解可得，即，解得或，所以为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.15．，或【详解】因为抛物线与直线交于，两点，所以有且，由，所以点，两点也在抛物线的图象上，由，所以点，两点在直线的图象上，如图所示：由，所以由图象可知：当，或时，抛物线在直线上方，所以不等式的解的范围是，或，故答案为：，或16．##【分析】根据运算法则直接计算即可.【详解】故答案为：17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用一元二次方程的性质求解判别式证明即可.（2）先求出一元二次方程的根，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可.【详解】（1）由题意得，则方程总有实数根.（2）对于，则，解得或，因为方程有一个根为负数，所以，解得.则的取值范围为.18．【分析】利用多项式的运算性质求解即可.【详解】由题意得.19．(1)(2)(3)【分析】（1）将第三组数据由小到大排列，结合频数直方图判断第25、26两个数据即可得解；（2）除第三组外，每组用矩形底边中点横坐标代替，结合平均数公式计算可得；（3）根据样本中锻炼时间比小李长的频率计算可得.【详解】（1）由频数直方图可知，第一组的频数为2，第二组的频数为12，第三组的频数为13，因为，所以将50名学生每周参加体育锻炼的时间由小到大排列，第25、26两个数据在第三组内，将第三组数据由小到大排列：.所以中位数为.故答案为：（2）第三组数据之和为，除第三组外，每组数据用矩形底边中点横坐标代替，则其他组的数据之和为，所以每周锻炼时间的平均数为，故该校学生平均每人每周参与体育锻炼的时间为小时.（3）第三组锻炼时长超过5小时的有2人，第四、五、六组的频数之和为，所以，锻炼时间比小李长的频率为，所以，锻炼时间比小李长的学生大约有人.20．(1)(2)【分析】(1)本题主要利用待定系数法求解一次函数解析式与反比例函数解析式，直接代入点坐标就可求出相应解析式.(2)令函数，结合题意，建立不等式求解即可.【详解】（1）因为一次函数过点和点，代入得方程组：，解得，所以一次函数解析式为：.因为反比例函数过点，代入得：，所以反比例函数解析式为：.（2）由（1）可知反比例函数为，一次函数过点，得()，设函数，由题意可知，，有恒成立，即成立，当时，一次函数在区间上单调递增，反比例函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以时，函数有最小值，即，所以，解得，所以实数的取值范围为.21．【分析】根据直径所对圆周角为直角，证明线线平行，再由内错角相等得出，解直角三角形即可得解.【详解】由题意，为圆的直径，所以，又，所以，所以，因为，，，所以，又，所以,所以,又，所以，所以,所以.22．【分析】根据圆的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，结合锐角三角函数定义、相似三角形的判定定理、同角的余角相等进行求解即可.【详解】过点作于点．在中，，，，，，，，．．．，．∴，．23．(1)，；(2)或或【分析】（1）令，解方程求出点的坐标，再由对称轴公式求解；（2）根据抛物线开口方向，顶点与点位置关系，分类讨论，结合图象列出不等式求解即可.【详解】（1），令，即，解得或，故,抛物线的对称轴为.（2）由可知，顶点坐标为，令，解得或，不妨设直线与的交点为.①当时，在顶点上方，在对称轴右侧，如图，所以抛物线与线段有公共点时，，解得.②当时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，且位于点P或点P下方，点位于对称轴的左侧，如图，此时，即，则，此时抛物线与线段有公共点，③当时，顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，如图，因为抛物线与线段有公共点，则，解得，综上，的取值范围为或或.24．(1)；(2)①；②；(3).【分析】（1）直接根据“距点”的定义判断各点即可；（2）①设