第8章动态电路的时域分析

1、第第8 8章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析2. 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应；解一阶电路的三要素法公式全响应；解一阶电路的三要素法公式; ;l 重点重点4. 4. 二阶电路的响应二阶电路的响应 3.3.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。一阶电路的阶跃响应和冲激响应。1. 1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；过渡现象过渡现象S(t=0)uC (0-)=U0C+ uCi+uRRtt1O起始起始稳态稳态i=0 uc=U0过渡过渡过程过程最终最终稳态稳态i=0 uc=0U0uCiu/i过渡过程：过渡过

2、程：当动态电路的工作状态发生变化时，电路中原有的当动态电路的工作状态发生变化时，电路中原有的工作状态需要经过一个过程逐步达到另一个新的稳定工作状态工作状态需要经过一个过程逐步达到另一个新的稳定工作状态。换路：换路：电路结构或元件参数的改变，称之为换路电路结构或元件参数的改变，称之为换路过渡过程产生原因过渡过程产生原因外因是换路外因是换路内因是电路中含有动态元件内因是电路中含有动态元件电容或电感电容或电感动态电路动态电路：通常含有动态元件的电路称为动态电路：通常含有动态元件的电路称为动态电路n阶电路阶电路:如果电路中含有如果电路中含有n个独立的动态元件，描述它的是个独立的动态元件，描述它的是n阶

3、微分方程，该电路称为阶微分方程，该电路称为n阶电路。阶电路。一阶电路一阶电路:当电路中只含有一个独立的动态元件时，可用一阶当电路中只含有一个独立的动态元件时，可用一阶微分方程描述，称为一阶电路；微分方程描述，称为一阶电路；一一.换路定律换路定律对于线性电容对于线性电容 diCudiCdiCdiCtutCCtCCtCC000)(1)0()(1)(1)(1)( 0t当当 时时diCuuCCC00)(1)0()0(如果在换路瞬间电流如果在换路瞬间电流i为有限值，为有限值， )0()0(CCuu 在换路时，如果电容的电流为有限值，则换路后的瞬间在换路时，如果电容的电流为有限值，则换路后的瞬间电容的电荷

4、、电压等于换路前终了时刻的数值，是不跃变的。电容的电荷、电压等于换路前终了时刻的数值，是不跃变的。 对于线性电感对于线性电感 0t当当 时时如果在换路瞬间电压如果在换路瞬间电压u为有限值，为有限值， )0()0(LLii在换路时，如果电感的电压为有限值，则换路后的瞬间电感的在换路时，如果电感的电压为有限值，则换路后的瞬间电感的磁链、电流等于换路前终了时刻的数值，是不跃变的。磁链、电流等于换路前终了时刻的数值，是不跃变的。 duLuduLduLduLtitLCtLLtL000)(1)0()(1)(1)(1)(duLiiLLL00)(1)0()0( 动态电路在换路时存在过渡过程，换路前后的瞬间，电

5、动态电路在换路时存在过渡过程，换路前后的瞬间，电容两端的电压或电感中的电流不能发生跃变。容两端的电压或电感中的电流不能发生跃变。换路定律换路定律二二. . 初始条件的确定初始条件的确定1. 由换路定律确定由换路定律确定uC和和iL的初始值；的初始值；2. 2. 画画t=t=0+时刻的等效电路。时刻的等效电路。3.3.应用电阻电路的分析方法，列写应用电阻电路的分析方法，列写KCLKCL、KVLKVL方程求得方程求得)0()0(CCuu)0()0(LLii注意：电容用大小为注意：电容用大小为 方向不变的独立电压源替代，方向不变的独立电压源替代，电感用大小为电感用大小为 方向不变的独立电流源替代，方

6、向不变的独立电流源替代，激励均取激励均取t=t=0+时刻的值，时刻的值，)0(Cu)0(Li电路如图所示，开关闭合前电路已达到稳态，求开关闭电路如图所示，开关闭合前电路已达到稳态，求开关闭合后的瞬间电容的电压和各支路的电流的初始值。合后的瞬间电容的电压和各支路的电流的初始值。例例1解：解：t=0-时时由于电路处于稳态，电容相当于开路，因此电容电压 V12)0(cut=0+时，根据换路定律，电容电压不能跃变，则 V12)0()0(ccuu此时将电容用方向与uC相同，大小等于12V的电压源等值替代 041212)0(12)0(11RuicmA6212)0()0(22RuicmA6)0()0()0(

7、21iiic电路如图所示。开关闭合前电路已达到稳态，求换路电路如图所示。开关闭合前电路已达到稳态，求换路后（开关闭合后）的瞬间电感的电压和各支路的电流。后（开关闭合后）的瞬间电感的电压和各支路的电流。 例例2解：解：t=0-时时由于电路处于稳态，电感相当于短路，因此电感电流 A14610)0(Lit=0+时，根据换路定律，电感电流不能跃变，则 A1)0()0(LLii此时将电感用方向与iL相同，大小等于1A的电流源等值替代 0)0()0(2LLuiRV414)0()0(2LLiRuA67. 110)0(11RiA67. 0167. 1)0()0()0(1LSiii电路如图所示。在电路如图所示。

8、在t t0 0时开关时开关S闭合于闭合于1 1，电路处于稳定状态。，电路处于稳定状态。当当t=0t=0时开关合向时开关合向2 2，求初始值，求初始值例例3。，)0()0()0()0(21uuiiLC解：解：首先计算不跃变的初始值 )0(Li)0(Cu开关闭合于1，由于电路达到稳态，各电流、电压不再随时间变化，根据分流公式 A23366)0(LiV6)0(3)0(LCiu根据换路定律，有A2)0()0(LLiiV6)0()0(CCuu为计算其它物理量的初始值，画出t=0+时的计算电路图 A22610)0(CiA313210)0(2iV9)0(3)0(22iuV1910)0(10)0(2uuLA5

9、)0()0()0(21iiiC8.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 如果在换路之前，动态元件已经储存了能量，如果在换路之前，动态元件已经储存了能量，换路后，电路中的动态元件在无激励的情况下通过电路放电而换路后，电路中的动态元件在无激励的情况下通过电路放电而产生的响应称为零输入响应。产生的响应称为零输入响应。一一. . RC电路的零输入响应电路的零输入响应零输入响应零输入响应00UuC开关开关S闭合后，根据闭合后，根据KVL 0CCuRidtduCiCC其解形式为其解形式为ptCAetu)(0CCudtduRC其解代入微分方程，得到微分方程的特征方程其解代入微分方程，得到微分

10、方程的特征方程01RCpRCp1因此通解的形式为因此通解的形式为tRCCAetu1)(积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定0)0()0(Uuucc0(0 )CuAU则则 时，电容电压的零输入响应为时，电容电压的零输入响应为0tRCtCeRUdtduCti0)(电容电流电容电流0( )(0 )ttRCRCCCutU eueRC电路零输入响应变化规律及曲线电路零输入响应变化规律及曲线RCtCeUtu0)(RCtCeRUdtduCti0)(（1 1）时间常数）时间常数 大小反映了电路过渡过程的进展速度大小反映了电路过渡过程的进展速度 = R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小

11、过渡过程时间短过渡过程时间短（2 2） 的的物理意义物理意义时间常数时间常数U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.018 U0 0.007 U0 t0 2 3 4 5 tceUu 0 ）（1001111)(tueUeUdtddtduCttttttc12tt 次切距的长度次切距的长度能量能量 = R C 的求法的求法其中其中R为换路后将电容断路后的输入电阻为换路后将电容断路后的输入电阻电路的零输入响应的实质是电容放电过程，在电路的零输入响应的实质是电容放电过程，在此期间电阻消耗的总能量为此期间电阻消耗的总能量为2022022020020002121)(CUeCUdteRU

12、RdteRURdttiWtttR二二. . RL电路的零输入响应电路的零输入响应0LLuRi开关开关S闭合后，根据闭合后，根据KVL dtdiLuLL其解形式为其解形式为ptLAeti)(其解代入微分方程，得到微分方程的特征方程其解代入微分方程，得到微分方程的特征方程0 LpRLRp0LLRidtdiLtLRAe积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定01(0 )(0 )SLLUiiIR00IAiL00RRttLLLI eie则则 时，电感电流的零输入响应为时，电感电流的零输入响应为0t电感电压电感电压RL电路零输入响应变化规律及变化曲线电路零输入响应变化规律及变化曲线时间常数时间常数

13、RL tLRLeIti0teI0tLRLeRIdtdiLu0teRI0换路前电路处于稳态，换路前电路处于稳态，t =0=0时将开关打开，求换路时将开关打开，求换路后电感电流后电感电流 和电容电压和电容电压 例例1)(tuC)(tiL解：解：由换路前的稳态电路得 V5 .37)0(6)0(A25. 66250)0(LCLiui根据换路定律V5 .37)0()0(A25. 6)0()0(CCLLuuii换路后，开关打开，电路分为左右两个独立的一阶电路 左边回路是一阶RL电路的零输入响应A25. 625. 601205 . 0601tttLRLLeeeii右边回路是一阶RC电路的零输入响应V5 .3

14、75 .3709100010)63(32ttCRtCCeeeuu电路如图所示，开关闭合前电路已达到稳态，求电路如图所示，开关闭合前电路已达到稳态，求 时（换路后）的电流时（换路后）的电流 i。例例20t解：解：首先计算不跃变的初始值 A24. 015010060)0(LiV24)0(100)0(LCiu根据换路定律A24. 0)0()0(LLiiV24)0()0(CCuu换路后，由于开关S的闭合电压源支路短路，因此形成两个独立的一阶电路 sRL3101001 . 0A24. 0)0(1000ttLLeeiiRLRL电路RC电路sRC361021020100V24)0(500ttCCeeuuRC

15、A24. 0500tCCedtduCiA)(24. 0)(1000500ttCLeeiii当电路的初始状态（动态元件初始储能）为当电路的初始状态（动态元件初始储能）为零时，仅由外加激励产生的响应。零时，仅由外加激励产生的响应。列方程：列方程：8.3 8.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 一一. . RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应开关开关S闭合后，根据闭合后，根据KVL SCCUuRidtduCiCCSCCUudtduRC其解形式为其解形式为)()()(tututuCCC 00Cu为特解为特解Cu 其中：其中：SCCUutu)()(为通解为通解Cu RCtC

16、Aeu 则则)()()(tututuCCC RCtSAeU积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定(0 )(0 )0ccuu0)0(SCUAuSUA）（RCtSeU1则则 时，电容电压的零状态响应为时，电容电压的零状态响应为0t( )(1)( )(1)ttRCRCCSCu tUeueRCtSCeRUdtduCti)(电容电流电容电流暂态分量、自由分量暂态分量、自由分量稳态分量、强制分量稳态分量、强制分量能量能量电容在充电过程中电阻消耗的总能量为电容在充电过程中电阻消耗的总能量为 20220202212)(SRCtSRCtSRCUeRCRURdteRURdttiW电路充电效率只有电路充电

17、效率只有5050电源能量电源能量电场能量储存在电容中电场能量储存在电容中电阻所消耗电阻所消耗5050二二. . RL电路的零状态响应电路的零状态响应00Li开关开关S闭合后，根据闭合后，根据KVL SLLUuRidtdiLuLLLLSdiLRiUdt其解形式为其解形式为)()()(tititiLLL 为特解为特解Li其中：其中：RUitiSLL)()(为通解为通解Li tCuAe 则则)()()(tititiLLL tSUAeR积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定V0)0()0(LLii)()()(tititiLLL tSAeRUARUS0RUAS(1)( )(1)ttSLUeie

18、R电感电压电感电压tSLeUdtdiLtu)(则则 时，电感电流的零状态响应为时，电感电流的零状态响应为0t例例电路如图所示。开关闭合前电路已处于稳态，求电路如图所示。开关闭合前电路已处于稳态，求 时电流时电流il(t)及电压源发出的功率。及电压源发出的功率。0t换路后开关闭合,利用戴维南定理化简电路，22SLLUiRdtdiL解：解：由于开关闭合前电路已处于稳态，则 A00Li)1 ()1 (22tStLRStLRSSLeRUeRUeRURUitSLeUdtdiLu2tSLReRURui2）（tSRLeRUiii211）（tSSeRUiUp2112换路前储能元件为非零状态，换路后在换路前储能

19、元件为非零状态，换路后在激励作用下的响应称为全响应激励作用下的响应称为全响应SCCUutuRC dd其解为其解为 uC(t) = uC + uC换路后，电路的微分方程的形式为换路后，电路的微分方程的形式为 =RC全响应全响应稳态解稳态解 uC = US暂态解暂态解 tCeu A0)(0teUUUAeUutSStSC一阶一阶RC电路全响应为电路全响应为RCtSCeRUUdtduCti0)(uC (0+)= uC (0-)= U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值确定积分常数由初始值确定积分常数A其全解为其全解为)()()(tututuCCC RCtSAeU分析全响应的物理

20、过程分析全响应的物理过程充电过程US放电过程直接进入稳态tuc0U0(1) UsU0(2) UsU0(3) Us=U0S(t=0)iUS+uRC+uCRuc(0-)=U0+ +U0uC (0-)=U0C+ uCiS(t=0)+uRR零输入响应iS(t=0)US+uRC+ uCRuC (0-)=0零状态响应=iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0全响应+讨论全响应与零输入、零状态之间的关系讨论全响应与零输入、零状态之间的关系？teU 0 )1 ( tSeUtSSeUUU)(0teU 0 )1 ( tSeU例例1电路如图所示。换路前电路已达稳态，要求：电路如图所示。换路前电路已达稳

21、态，要求：（1）定性画出换路后的变化曲线；）定性画出换路后的变化曲线；（2）换路后经过多长时间电容电压为零。）换路后经过多长时间电容电压为零。换路后的稳态值作特解V5)( CCuu解：解：（1）换路前V50CuV500CCuu由换路定律（2）该电路的动态过程为一阶RC电路全响应 CRtCAeu15由初始值确定积分常数A A 5510ACRtCeu1105CRtke11050sCRtCRtkk6 . 14693. 01020000130693. 0693. 05 . 0ln12311teffftf)()0()()(稳态值初始值时间常数三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路中，任意电压、

22、电流响应的形式可表示为：一阶电路中，任意电压、电流响应的形式可表示为：( ) (0 )( )tCCcCuuuue ( ) (0 )( )tLLLLiiiie 例例2电路如图。换路前，电路已达稳态，求换路电路如图。换路前，电路已达稳态，求换路后各支路电流的变化规律。后各支路电流的变化规律。 A2 . 0203010)0(313RRUiS解解:t=0-时时 由换路定律得A2 . 0)0()0(33ii得到t=0+时计算电路，应用结点电压法V23013012 . 0301001）（nUA267. 0302100)0(111RUUiS）（A067. 03020)0(212RUi）（t=时，即电路达到稳

23、态，各电流的稳态值为 A238. 0123010)(323211RRRRRUiSA095. 05020238. 0)()(32312RRRiiA143. 0)()()(213iii时间常数，在同一个电路中，所有电压、电流的时间常数均相等 sRRRRLeq35115201/1123代入三要素法公式，得 A029. 0238. 0)()0()(351111tteeiiiiA028. 0095. 0352teiA057. 0143. 0353tei例例3电路如所示。换路前，电路已达稳态，已知，电路如所示。换路前，电路已达稳态，已知， 求换路后求换路后 的变化规律；并画出的变化规律；并画出变化曲线。变

24、化曲线。CuV0)0(Cu解：初始值 V000CCuu)(3)(22)()(111uuuuC)()(24)( 410111uuuV3)(V1)(1Cuu稳态值应用加压求流法求Req112uii4444421uui224444111uiiuuuui452248 . 0iuReqsCReq8 . 0)V1 ( 3) 3(0325. 125. 1ttCeeu一一.单位阶跃函数和延时单位阶跃函数单位阶跃函数和延时单位阶跃函数0100)(ttt00010)(tttttt0000)(ttAttttA二二. .阶跃函数的作用阶跃函数的作用1. 阶跃函数起到开关的作用阶跃函数起到开关的作用00Cu等效等效2.

25、利用阶跃函数可以起始一个函数利用阶跃函数可以起始一个函数 000)(0)()(tttftttttf)()(0tttf3. 阶跃函数和延时的阶跃函数可以表示脉冲信号阶跃函数和延时的阶跃函数可以表示脉冲信号 1) t ()(tttu三三. .阶跃响应阶跃响应（单位）阶跃响应是指电路在（单位）阶跃函数激励作（单位）阶跃响应是指电路在（单位）阶跃函数激励作用下的零状态响应；用下的零状态响应；延时（单位）阶跃响应是指电路在延时（单位）阶跃函延时（单位）阶跃响应是指电路在延时（单位）阶跃函数激励作用下的零状态响应数激励作用下的零状态响应。电路如图电路如图(a)所示，电源电压波形如图所示，电源电压波形如图(

26、b)所示。求电所示。求电感的电流感的电流 和电压和电压 ，并画出电流，并画出电流 变化曲线变化曲线 LiLuLi例例解：方法解：方法1：分段表示法。 ststsstuS2V021V210V1st10区间：激励us=1V作用下的零状态响应。按照三要素法 A000LLii 1A111RuisLsRRRRLRLeq6515152121V833. 06566ttLLeedtdiLu)A1 (6tLei电路如图电路如图(a)所示，电源电压波形如图所示，电源电压波形如图(b)所示。求电所示。求电感的电流感的电流 和电压和电压 ，并画出电流，并画出电流 变化曲线变化曲线 LiLuLi例例解：方法解：方法1：

27、分段表示法。 ststsstuS2V021V210V112sts 区间：激励us=2V作用下的全响应。按照三要素法 A1.85-2) 215. 0 (26161ttLeeiV54. 161tLLedtdiLu 0.15AA11161eiiLL 2A121RuisL电路如图电路如图(a)所示，电源电压波形如图所示，电源电压波形如图(b)所示。求电所示。求电感的电流感的电流 和电压和电压 ，并画出电流，并画出电流 变化曲线变化曲线 LiLuLi例例解：方法解：方法1：分段表示法。 ststsstuS2V021V210V1 0.43AA85. 1222612eiiLLA43. 062tLeiV36.

28、 062tLLedtdiLuts 2区间：初始值不为零，但无激励，为零输入响应 方法方法2：用阶跃函数表示的综合表达式法。 )2(2) 1()(tttus电路的单位阶跃响应为 tetst)1 (6再根据齐次定理和叠加定理得)2()1 (2) 1()1 ()()1 (62616teteteitttL)2(35) 1(65)(6562616tetetedtdiLutttLL一一.单位冲激函数和延时单位冲激函数单位冲激函数和延时单位冲激函数1)(000)(dttttt二二. .冲激函数的性质冲激函数的性质1. 冲激函数具有筛分性质冲激函数具有筛分性质 根据函数定义根据函数定义)0()()0()()0

29、()()(00fdttfdttfdtttf)(t2.单位冲激函数单位冲激函数 和单位阶跃函数和单位阶跃函数 的关系的关系 )(ttttdtt0100)( t根据单位冲激函数根据单位冲激函数 可得可得 ttdtt)( dttdt三三. .冲激响应冲激响应电路在单位冲激电源作用下的零状态响应称为单位冲激电路在单位冲激电源作用下的零状态响应称为单位冲激响应，响应， 用用h(t)表示表示。注：在注：在t=0时，单位冲激是一个幅值无限大且持续时间趋时，单位冲激是一个幅值无限大且持续时间趋于零的信号作用在动态电路中，此时换路定律不成立。于零的信号作用在动态电路中，此时换路定律不成立。 一阶电路的冲激响应求解方法一阶电路的冲激响应求解方法 1. 求出求出 由由 产生的初始值产生的初始值 或或 t 0Cu 0Li 0t2. 求出求出 后的响应即为由初始值产生的零输入响应后的响应即为由初始值产生的零输入响应 0tRC电路的单位冲激响应电路的单位冲激响应: :方法一方法一 在在t=0t=0时，列写时，列写KCLKCL方程方程)(tRudtduCCCdttdtRudtd