1.换序分析证明立体几何中的垂直关系

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明换序分析证明立体几何中的垂直关系立体几何中的基本问题一 立体几何中的垂直关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直和平面与平面垂直等三种;垂直关系是立体几何的核心,无论如何强调垂直关系在立体几何中的地位都不过分,因此,垂直关系是高考的重点;寻找证明垂直关系途径的有效方法是换序分析.母题结构:立体几何中的换序分析法.母题解析:直线与平面垂直和平面与平面垂直都要转化为直线与直线垂直,因此,直线与直线垂直是立体几何中的垂直关系的核心,换序分析法从直线与直线垂直开始:直线a直线bba(换序)bm,且bn

2、(m,n是与a共面的相交直线)mb,且nb(换序)直线与直线垂直转化为直线与平面垂直,如此下去,直到已知或基本结论. 1.直线与直线垂直 子题类型:(2012年陕西高考试题)()如图,证明命题“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ab,则ac”为真.()写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明).解析:()记cb=a,p为直线b上异于点a的任意一点,过p作po,垂足为o,则oc;由po,apoa;又aba平面paoac;()逆命题为:“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ac,则ab”.逆命题为真命题.点

3、评:本题的实质是立体几何中直线与直线垂直的核心:三垂线定理,三垂线定理是成语“形影不离”的最恰当的注释;证明线线垂直的一般程序是:换序分析,即要证ab,去证ba;线面转换,即要证ba,去证b过a的某一平面. 2.直线与平面垂直 子题类型:(1983年全国高考试题)如图,在三棱锥s-abc中,s在底面上的射影n位于底面的高cd上,m是侧棱sc上的一点,使截面mab与底面所成的角等于nsc,求证:sc垂直于截面mab.解析:由sc截面mabscab,且scmd;其中:scababscab平面scdabcd(己知),且absnsnabsn平面abc(己知),即成立;由ab平面scdmdc是截面mab

4、与底面所成的角mdc=nsccmd=cns=900scmd,即成立.综上,sc垂直于截面mab.点评:证明线面垂直的一般程序是:面线转换,即要证a平面,去证a平面内的两条相交直线m,n,转化为线线垂直的问题;换序分析,即要证am,去证ma;线面转换,即要证ma,去证m过a的某一平面. 3.平面与平面垂直 子题类型:(2008年江苏高考试题)如图,在四面体abcd中,cb=cd,adbd,点e,f分别是ab,bd的中点.求证:()直线ef面acd; ()平面efc面bcd.解析:()由e,f分别是ab,bd的中点efad,又ef平面acd,ad平面acd直线ef面acd;()因平面efc面bcd

5、ef面bcdefbd,且effc;其中:由efad,adbdefbd,即成立;由effcbdfc,而cb=cdcfbd,即成立.综上,平面efc面bcd.点评:证明面面垂直一般有两种思路:面线转换,即要证平面平面,去证平面内的某条直线a平面,转化为线面垂直的问题,这条思路的难点是要有较强的几何直观;面面转换,即要证平面平面,只需证平面平面,而平面平面是已知的,或易证的. 4.子题系列:1.(1993年全国高考试题)已知平面平面=直线a,同垂直于平面,又同平行于直线b.求证:()a;()b.2.(1980年全国高考试题)直升飞机上一点p在地平面m上的正射影是a.从p看地平面上一物体b(不同于a)

6、,直线pb垂直于飞机窗玻璃所在的平面n(如图).证明:平面n必与平面m相交,且交线l垂直于ab.3.(2010年北京高考试题)如图,正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直.efac,ab=,ce=ef=1.()求证:af平面bde;()求证:cf平面bdf.4.(2014年山东高考试题)如图,四棱锥p-abcd中,ap平面pcd,adbc,ab=bc=ad,e,f分别为线段ad,pc的中点.()求证:ap平面bef;()求证:be平面pac.5.(1981年全国高考试题)abcd-a1b1c1d1为一正四棱柱,过a、c、b1三点作一截面,求证:截面acb1对角面dbb1d1.6.(1

7、986年全国高考试题)如图,ab是圆o的直径,pa垂直于圆o所在的平面,c是圆周上不同于a、b的任一点.求证:平面pac垂直于平面pbc. 5.子题详解:1.解:()如图,设=ab,=ac,在内任取一点p并于内作直线pmab,pnac;由pmpmaapm;同理可得:apna;()于a上任取点q,过b与q作一平面交于直线a1,交于直线a2;由bba1;同理可得:ba2a1,a2同过q且平行于ba1,a2重合于aba;由ab.2.解:假如平面n与平面m平行,则pa也垂直于npa与pb重合b点与a点重合,但这与题设“不同于a”矛盾,所以平面n与平面m相交;由pa平面mpa交线l;由pb平面npb交线

8、l交线l平面pab交线lab.3.解:()设ac与bd交于点o,由ab=oa=oc=1ao=ef=1;又efac四边形aoef是平行四边形afoeaf平面bde;()由平面abcd平面acef,bdacbd平面acefbdcf;又ce=ef=1四边形ocef是菱形cfoe cf平面bdf.4.解:()设ac与be交于点o,由adbc,bc=adbc=ae四边形abce是平行四边形o是ac的中点,又f是pc的中点ofapap平面bef;()由ap平面pcdapcd,又becdapbe;由ab=bc平行四边形abce是菱形beacbe平面pac.5.解:在正四棱柱abcd-a1b1c1d1中,由bb1平面abc