大物习题机械波

1、第5章机械波5.1基本要求1 理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系 .2理解机械波产生的条件掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法.理解波函数的物理意义.理解波的能量传播特征及能流、 能流密 度概念.3 了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差 分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件4 理解驻波及其形成。5了解机械波的多普勒效应及其产生的原因5.2基本概念1 .机械波机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振 动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。2. 波线与波面 沿

2、波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位 相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。3. 波长在波传播方向上，相位差为2的两个邻点之间的距离称为波长，它 是波的空间周期性的反映。4. 周期T与频率 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为 波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相 同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。5. 波速u 单位时间里振动状态(或波形)在介质中传播的距离。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。6. 平面简谐波的波动方程在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波

3、函数为AZ X 2、y Acos( t m x )_x或 y Acos (t m )u其中，“-”表示波沿x轴正方向传播；“ +”表示波沿x轴负方向传播。波函数是x和t的函数。给定X,表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时 刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离 开自己平衡位置的位移。7波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相11 2等。任意体积元的 dWP=dWk dW dVA2 2 sin2( t x )2 28 平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均 能量密度，用W表示。单位时间内，通过垂直于波传播方

4、向单位面积的平均能量， 叫做波的能流密度，用I表示。1 T12 2WUTS 1 2 2其中 wwdtA ， Iwu A uT 02TS29 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过 障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射(绕射)。10.波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差21r2r12 n-，2k nk 0,1,2,.时，合振幅达到极大AmaxAA2，称为干涉相长2k 1nk 1,2,3 振幅为极小，AAA2，称为干涉相消。1

5、1驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。2 n驻波方程： y 2Acos一 xcos t。12. 半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相 当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。13. 多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频 率与波源的振动频率不同的现象。5.3基本规律1 惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后 的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的图5-1波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的 波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决 了波的传播问

6、题。下面通过球面波的传播来说 明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻 的波面是半径为R的球面Si,按惠更斯原理， S上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以Si面上各点为中心，以r u t为半径作半 球面，这些半球面就是这些新的子波的波前， 它们的包络面S2就是(t+ t)时刻的波面。2 多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率R和u VrRS。u mvs波源的频率s不相同的现象称为多普勒效应 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为u:机械波在介质中的传播速度Vs :波源相对于介质的速度Vr :观察者相对于介质的速度为观察者接近波源时，Vr前取“+”号，远离时，

7、则取“-”号；波源朝向观察者运动时，Vs前取“-”号，远离时，则取“ +”号。5.4学习指导1重点解析下面将讨论本章的习题分类及解题方法：(1) 已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式基本步骤如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。（b）在波线上建立坐标后，任取一点P,距原点为x，计算出p点的振动比已知点 的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t ，将原振动表达式中t加

8、上或减去t,即得该波的表达式。也可计算出 P点振动相位比已知点超前或 落后，设超前或落后相位为 x，则将原振动表达式中的相位加上或减去 x。注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原 点。（3）已知波形曲线，建立波动表达式从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某 点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振 动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。例1已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播， 已知波的周期T 3s.求（1）该波的波函数；（2）点P处质元的振动方程。分析：首先要选一个参

9、考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量 A、。然后由图中；L：ii信息求出波长或波速，再根据波的传播方向， 写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可 求P处质元的振动方程。解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅A 4 10 2m ， T 3s ， 则圆频率2Trad s图5-2波沿x轴正向传播，显然V00，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则-,于是原点处质元的振动方程为32厶y 4 10 cos(- t )m为求波函数，要求出波长或波速u。2 2先设波函数为y 4 102 cos( t x )m3 3由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4

10、m处，y 4 10 2m ,代入波函数4 1024 10 2 cos( 0.4 -)所以波函数为y 4 Wo吟53x得 1.2m)m3(2) P点x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是y 4 10 2 cos(- t )m3 3(4) 波的干涉和驻波波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱， 这可通过二者 相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点， 而 写出反射波是关键。例2两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为节点位置S化则有：x汕?)你20,1,2,3L )24yi4.00 10 cos( x324y14.00 10 cos( x3

11、8 t)8 t)求(1)两波的频率、波长、波速(2)两波节叠加后的节点位置(3)叠加后振幅最大的那些点的位置2解：(1)与标准的波动方程y Acos( t m x)比较可得:频率 4Hz、波长1.50m、波速 u6.00m so33则有：x k (k 0,1,2,3L )4(5) 多普勒效应求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况， 以便应用不同公 式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于 一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。2难点释疑疑难点1.如何理解驻波，“半波损失”。两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时， 就

12、叠 加形成驻波。其表达式为：2 n2 n2 n,y Acos( t x) Acos( t x) 2Acos xcos t波节位置：x(2 k 1) (k 0,1,2,L)4波腹位置：x (k 0,1,2,L )2相邻两波节或波腹之间的距离为，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧-范2 2围内媒质的振动相位差为n。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时， 在反射点处，反射波与入射波叠加 形成波节。相对于入射波，反射波相位突变n,相当于出现了半个波长的波程差。疑难点2.波

13、动过程任一体积元的机械能不守恒图5-4理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中， 质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机 械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动， 但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变 为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很 多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原 因：具有形变因而产生势能。从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大5.5习题解答5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在 负的最大位移处，则它的能量(A) 动

14、能为零，势能最大(B) 动能为零，势能为零(C) 动能最大，势能最大(D) 动能最大，势能为零解析：正确答案(B)介质中某质元的动能表达式dWk - dVA2 2sin2( t x)，质元的弹性势21 2能dWp - dVA2 2 si n2( t x )，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随x,t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时, 动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。5.2 一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3 t x+ ) (SI) t = 0 时的波形曲线如图所示，则O点的振幅为0.1m(A)(B)波长为3m(C)a、b

15、两点间相位差为/2波速为9m/s(D)解析：正确答案(C)0.1m，波长2m，角频率3 rad s 1，所以波速u - 3ms123m s 1。波动方程的一般表达式是2)，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是y Acos( t xa、b两点间距离差是-,对应的相位差是42 n 2 n, n ,rrad rad。4 25.3某平面简谐波在t = 0.25s 时波形如图所示,则该波的波函数为(A) y0.5cos4(t8)cm2y(cm)(B) y0.5cos4(t8)2cm0.5一u=8cm/st=0.25s/ 一 / ,(C) y0.5cos4(tx)2cmOV/x(cm)(D) y0.5

16、cos4(t8)2cm习题5.3图解析：正确答案(A)波动方程的一般表达式是y Acos (t -)，由图可知，uA=0.5cm , u 0.08m s 1,所以 x 前系数取负值。t=0.25s 时，y 0, Vo 0 ,此时的相位是一2已知条件代入方程可得：2x所以，波的波函数为y 0.5cos4 (t ) cm8 25.4 一余弦波沿x轴负方向传播，已知x=-1m处振动方程为y Acos( t )，若波速为u,则波动方程为xx 1(A) yAcost一(B)y Acos tuu(C) yAcostx 1(D)八x 1y Acos tuu解析：正确答案(C)沿x轴负方向传播的波动方程的一般

17、表达式是y Acos (t -)，本题中ux=-1m处的相位是t，相位差与波程差之间的关系是2n r r，可u知任意x处的相位比 x=-1m的相位多一(X 1)，所以任意 x处的相位是uX 1 t(x 1) (t )。uu5.5频率为100Hz,传播速度为300m s 1的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为n,则此两点相距解析：正确答案(A)相位差与波程差之间的关系是32 nr，本题中100Hz，u 300 m s 1 ,m 1.5m。u 300 门 m 3m。 r 1002 n5.6两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波，则相邻波节间各质点的振动(A) 振幅相同,相位相同(B)

18、 振幅不全相等，相位相同(C) 振幅相同,相位不同(D) 振幅不全相等,相位不同 解析：正确答案(B)驻波方程为y 2Acos2nxcos t，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅不同, 但相位相同。5.7在波长为入的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为3(A);(B) -(C) (D)424解析：正确答案(B)驻波方程为y 2Acos2xcos t，波腹处质点就满足条件是：cos-2nx 1，kx (k 0,1,2丄)相邻波腹间的距离是波长的一半，为 -。5.8 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者听到的声音的频率是(设空气中声速为 340m s 1 ) (A

19、)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。解析：正确答案(D)本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。所以观察者听到的声音的频率可用公式：R丄如S 340 25 750Hz 695Hz。选(D)u3405.9 t=0 时刻波形曲线如左图所示，此时 a点运动方向 ，b点运动方向 ，坐标为x的质点振动曲线如右图所示时，则 a时刻运动方向 ，b时刻运动方向。习题5.9图解析：-y, + y, + y,-y本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。求解本题要弄清波动图和 振动图的不同的物理意义。左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a点运动方

20、向是沿y轴负向，b点运动方向是沿y轴正向。右图是振动曲线，由曲线和 传播方向可知，a点运动方向是沿y轴正向，b点运动方向是沿y轴负向。5.10 一横波波函数为y 0.5cos (200t 10x) -m,则频率 =，波长 =,初相 0= 。解析：100HZ,0.2m,-22波动方程的一般表达式是y Acos( t m一 x )，对比将已知波的表达式，可知 频率=100HZ,波长 =0.2m,初相0=25.11波相干的条件是 解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。25.12频率为500Hz的波，其波速为 350ms1，相位差为- 的两点间距离3为。解析：0.23m相位差与波

21、程差之间的关系是本题中500Hz， u 350 m s350m 0.7m。5000.7 27m m。2 n3305.13沿x轴正向传播的波，波速为2m s 1，原点振动方程为y0.6cos( t)，试(1) 此波的波长。(4m)波函数。 同一质元在1s末和2s末这两个时刻的相位差（n rad）xA 1m, xB 1.5m处两质元在同一时刻的相位差 解析：（1）由原点的振动方程知，振动周期T=2s .所以此波的波长是uT 2 2m 4m（2）由原点的振动方程可得波函数y0.6cost仝u0.6cost 舟(SI)2（3）同一质兀在两个时刻的相位差为t(rad )（4）波线上两点在同一时刻的相位差

22、为ux 20.5(rad)(rad)4B点比A点滞后。5.14 一横波波函数为y 0.5cos 4 tx2 ，求：（1）振幅、波长、频率和初相位（2）x=2m处质点在t=2s时振动的位移传播方向上时间间隔为1s的两质点的相位差解析：（1）将给定的方程化为y 0.5cos（4 t 2 x ）2与标准形式的波动方程y Acos（ t 一 x ）比较，可得4振幅A=0.5m,波长 1m，角频率 4 rad s 1，频率Hz 2Hz，2 2初相位 rad（2）把x=2m t=2s代入波函数，可得振动的位移2y 0.5cos 420.5m。2距离是两个波长。对应的相位差是24 rad5.15 波源位于坐

23、标原点向x轴正方向发射一横波，周期 T=1s,波长 =10m 振幅A=0.5m,当t=0s时刻波源振动位移恰好为正方向最大值， 求：(1)波函数;(2) ti=0.25s时，x=2.5m处质点位移；(3)t2=0.5s时，x=2.5m处质点的振动 速度。2解析：波函数动方程一般形式是y Acosf t x )，要求波函数只要求振幅、波长、角频率和初相位(1)振幅A=0.5m 波长 =10m角频率2_亍2 rad s 1，当t=0s时刻波源振动位移恰好为正方向最大值，可知此时对应的的相位是0，即是初相位。波函数是y0.5cos(2 t x)(2)t1=0.25s时，x=2.5m代入波函数，即可得

24、质点位移(3)t2=0.5s 时,y 0.5cos(2 t x) 0.5cos(25x=2.5m处质点的振动速度025 52.5)m 0.5m5.16如图所示为_yt0.5x0 ,t2 sin(2 t?x)平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz,且此时质点P的运动方向向下，求(1) 该波的波动方程。(2) 在距原点为100m&质点 的振动方程的表达式。解析：由P点的运动方向，可判定该波向左传播。对坐标原点处质元，t=0时的位置，有y。Acos ， v00，所以2rad3原点的振动方程为y0 Acos(500 t )(SI)3波动方程为y0 Acos(500 t五x 3)(

25、S|)(2)在距原点为100m处质点的振动方程是 y Acos(500 t )(SI) 35.17如图所示为平面简谐波在t T时的波形曲线，求该波的波动方程解析：设x=0处质元的振动方程是y Acos( t )2TT由图可知：A=0.1m,u 165 (rad s1) , t 时，y0 Acos( )0，44速度方向为+y方向，T 3_423T24原点处质元的振动方程是y 0.1cos(165 t )(SI)该波的波动方程为y 0.1cos(165 t -x )(SI)5.18 一平面简谐波以u=0.8m-1的速度沿x轴负方向传播。已知距坐标原点x=0.4m处质点的振动曲线如图所示。试求：(1

26、) x=0.4m处质点的振动方程(2) 该平面简谐波的波动方程(3) 画出t=0时刻的波形图i0.05 r/mx =0.4 m0/ 0.5/ L0f/s-0.05习题5.18图解析:(1)振动方程的表达式xAcos( t )，由图可知振幅 A=0.05mT=1S,角频率2 rad s1，t=0sT时，位移是正的最大可知初相位所以振动方程是 y 0.05cos(2 t)m(2)沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程的表达式2y Acos( t x其中A=0.05m角频率22 rad s1，波长u T 0.8 1m0.8m，所以波动方程可写成y 0.05cos(2 t由x=0.4m处质点的振动方程

27、可知，当t=0s,8x5x=0.4m处质点的的相位是0, t=0s,)mx=0.4m代入波动方程可得相位表达式20 80.450.640.64波动方程是y 0.05cos(2 t 8(3) t=0代入波动方程可得y 0.05cos(8x 0.64 )mx 0.64 )m。图略5.19 一平面波在介质中以u沿x轴正方向传播，已知A点振动方程y Acos t，A、B两质点相距为d，Xa0)解析：沿ox轴传播的波与从x 22r 2（2） h x代入干涉加强的条件，有X、2, 2r 2也）h习题5.25图BAB面上的P点反射来的波在x处相遇，两波的波程k 1,2,L2-k 1,2,3,K ,2h5.2

28、6如图，一角频率为，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播。设在t=0时该波在原点0处引起的振动使介质质点由平衡位置向 y轴的负方向运动。M是垂直于x轴的波密介质反射面。已知00 7 ，P0 1 （为该波波长），设44反射波不衰减，求：（1）入射波与反射波的表达式；（2）P点的振动方程。1L .W2一0尸习题5.26图2解析：平面简谐波的波动方程的表达式y Acos（ t 一 x），对于入射波，x 前系数取负号，反射波取正号。题目已知条件是：t=0时该波在原点0处引起的振动使介质质点由平衡位置向y轴的负方向运动，由旋转矢量法可知相位是 一，22即是初相位， $。入射波表达式是 y Acos（ t

29、 一 x ）。入射波在O点的相位是t -t 3，由于M是垂直于x轴的波密介质2 2反射面，波是从波密媒质反射回波疏媒质，在反射点反射时有相位n的突变。 反射波的相位是t 3t 22设反射波的表达式是y Acos（ t 一 x ），则t时刻，反射波在0点的相位7-_2XL7- 42XL是比较以上反射波 O点的相位的两个表达式，可得152，所以反射波的表达式是yAcos( t2）（2） P点的振动是入射波与反射波在P点引起振动的合成入射波在P点引起振动表达式是yiAcos( t2）Acos( t5）Acos( t反射波在P点引起振动表达式是y2Acos( t)Acos( tAcos( t )所以 y y1 y22Acos( t )5.27 驻波波函数为 y 0.02cos 20xcos750t(m)，求(1) 形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少？(2) 相邻两波节间的距离多大？t 2.0 10 3s时，x 5.0 10 2m处质点振动的速度多大?解析：(1)