理论力学(04)

1、12静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系第四章第四章 空间力系空间力系 实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力系的特殊情况 即空间汇交力系和空间力偶系，然后研究空间力系的一般情况 空间任意力系。3静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系1.1.力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影直接投影法直接投影法4静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角q、b、g 。则由空间力在轴上

2、的投影定义，可直接将力F投影在正交坐标系Oxyz三轴上gbq cos , cos , cosFFFFFFzyx5静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系间接投影法间接投影法6静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即gcossincosFFFxygsinsinsinFFFxyygcos FFz这里要强调指出，空间力在空间力在轴上的投影是代数量，而在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量平面上的投影则是矢量。7静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系与平面力类似，空间力的解析表达式为kj

3、iFzyxFFF正向的单位矢量分别为坐标轴OzOyOx、 、kjiFFFFFFzyx),cos( ,),cos( , ),cos(kFjFiF222zyxFFFF如果已知力F在x、 y、z轴上的投影，则可求得力F的大小和方向余弦为8例题 4-1静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系kN 6 .19222zyxFFFF,322. 0 cosFFyb7 .76q，220. 0 cosFFxq1 .71b,919. 0 cosFFzg 23g9kN ) 543(kjiFkN 5,kN 4,kN 3zyxFFFkN 25222zyxFFFF 707. 0255cos566. 0254cos424.

4、 0253coskF,jF,iF,1354518055.559 .64gbqkF,jF,iF,例题 4-2静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系10 例题 4-3静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系11例题 4-4静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系12qqcos , sinnnFFFFxyz例题 4-4静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系bqbbqb coscos cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyx13kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnqbqbqFFFzyx例题 4-4静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系14静

5、力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系合力在x、y、z轴的投影为niziznzzzniyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFFFFFFF1211211212. 空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即niin121RFFFFF)(11RkjiFFziniyixiniiFFF15静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系RziRzRyiRyRxiRxFFFFFFFFFFFF),cos(),cos()cos(RRkFjFi ,FR方向余弦合力矢F FR的大小和方向余弦为 222222R)()()( ziy

6、ixizyxFFFFFFF大小16kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFFF1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015510kNFz3412kN例题 4-2静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系17kN 31kN 6305222RF316,cos ,3130,cos , 315,cosRRRkFjFiF8 .78, ,6 .14, ,7 .83,RRRkFjFiFkN 6kN 2kN 1kN 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10,kN 5kN 2kN 0kN

7、2kN 1zyxFFF例题 4-2静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系18静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力，因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力该合力等于零等于零，即0121RniinFFFFF由FR的大小222222R)()()( ziyixizyxFFFFFFF可得平衡方程niziniyinixiFFF1110 , 0 , 019q45456030例题 4-6静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系206030, 0 xF030 cos60 co

8、sBCABFF, 0yFkN, 20 PFBCkN 6 .343PFAB030 sin60 sinPFFBCABq45456030例题 4-6静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系21,0zF0coscos60cosqqCECDACBCFFFF60 sinBCBCFF 2 .50 sinCDCDFF2 .50 sinCECEFF2 .5056arctan arctan ACADq例题 4-6静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系4545qq6022, 0 xF045 sin45 sinCDCEFF, 0yF045 cos45 cos60sinCECDBCFFFkN 9 .1545 co

9、s2 .50 sin260 sinBCCECDFFFkN 4 .1060cos2 .50 cos2 BCCDACFFFkN 6 .34ABFkN 4 .10ACFkN9 .15CECDFF4545qq60例题 4-6静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系23例题 4-7静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系24例题 4-7静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 25例题 4-7静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系26例题 4-7静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系27静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系4-2 4-2 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩1

10、. 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢 对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。28xOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFr静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 如图所示,以 r 表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为FrFM)(O即：力对点的矩等于矩心到该力力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。作用点的矢径与该力的矢量积。显然，上式

11、的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随意挪动。OABOAhF2)(FrFM29静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系由矢径和力的解析表达式kjiFkjirzyxFFFzyx可得力矩矢的解析形式kjiFrFM)()()( )(xyzxyzOyFxFxFzFzFyF上式在x、y、z轴上的投影分别为xyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFMxOikhjMO(F)zA(x,y,

12、z)yBFr30静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系2. 力对轴的矩力对轴的矩 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。31静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系OFAxyzFzFxyh 现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 z 平行，不能使圆盘绕 z 轴转动,故它对 z 轴的矩为零；只有垂直 z 轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。这样，空间力F 对 z 轴的矩为BAOxyxyOzAhFMM2)

13、()(FF32OFAxyzFxyhABB静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 力对轴的矩等于力在垂直于该力对轴的矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。轴的交点的矩。这样，空间力对轴空间力对轴的矩就转化成了平面问题中力对点的矩就转化成了平面问题中力对点的矩的矩。因而它是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，如图所示。空间力对轴的矩与平面力对点的矩类似，也可以用解析式表示如下xyyOxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFz33静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系xyzyFxFM)(F 上式正是平面问题中力对点的矩的

14、解析表达式。于是，平面问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且通过矩心的轴的矩。同理可得其余二式。合在一起有xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFF以上即是计算力对轴之矩的解析表达式。343. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩的解析表达式)()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMMxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFkjiFM)()()()(xyzxyzOyFxFxFzF

15、zFyF可得35静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。的关系。 )()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往较为方便。36例题 4-8静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系37例题 4-8静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系38 例题 4-9静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系39 例题 4-9静力学静力学第四

16、章第四章 空间力系空间力系40。 例题 4-9静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系41例题 4-9静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系42OF FdrBAABrBrA静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系4-3 4-3 空间力偶空间力偶 由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢量和来表示。1. 1. 力偶矩用矢量表示，力偶矩矢力偶矩用矢量表示，力偶矩矢FrFrFMFMFF,MBAOOO)()()(由于因而 ,F

17、FFrFrrFF,MABBAO )()(43 由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩心无关。因此空间力偶是一个自由矢量自由矢量，以M（F F,F F)或M表示。力偶的转向为右手螺旋法则右手螺旋法则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。力偶矩大小，作用面方位和转向。静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系F FACdMBABCAFdM244静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系2. 空间力偶的等效定理空间力偶的等效定理 作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，

18、则两个力偶等效。个力偶等效。证明证明：先证明空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上，然后再由平面力偶的等效性即可证得。45静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系3. 空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件 任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。46静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系niin121MMMMM即其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的合力的大小和方向的计算完全相同。合力偶矢的大小222222)()()(ziyixizyxMMMMM

19、MM方向余弦为 ),cos( , ),cos( , ),cos(MMMMMMzyxkMjMiM47静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系平衡方程是显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢为零为零，即0)()()(222222ziyixizyxMMMMMMM 0 , 0 , 0ziyixiMMM48，例题 4-10静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系49A例题 4-10静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系50F1F2F31F3F2F例题 4-11静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系51例题 4-11静力学静力学第四章第四章 空

20、间力系空间力系M1M2M352M1M2M3例题 4-11静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系53静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系4-4 4-4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩1.空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。力线平移定理。54静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系刚体上作用空间任意力系F1，F2，Fn.。用力线平移定理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间力偶系等效代替。5

21、5静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系), 2 , 1( )( ,niiOiiiFMMFF并有关系然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR和一力偶MO 。该力的大小和方向称为原力系的主矢，主矢，作用线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩主矩。主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系的合力偶相同。56静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系)( ,111RniiOniiOiniiFMMMFFF从上可得主矢与简化中心从上可得主矢与简化中心O的选择无关，主矩与简化中的选择无关，主矩与简化中心心O的选择有关。的选择有关。关于主矢与主矩的大小和方向的计算同前面讲的空间

22、汇交力系和力偶系相同。57静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系1. 空间任意力系的简化结果表明分析空间任意力系的简化结果表明分析0 , 0 (1)ROMF力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO 。此时主矩与简化中心此时主矩与简化中心O的位置无关的位置无关。0 , 0 (2)ROMF力系可合成为一个合力合力，合力的作用线过简化中心O，大小和方向与主矢相同。0 , 0 (3)ROMF此时分三种情况讨论。OMF R )a (可进一步简化成一合力58静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系合力的大小和方向与主矢相等，RR FF作用线距简化中心O的距离R FMOd OM

23、OFR（a)RFOOd(c)RFRF RFOOd(b)59静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系OMF / )b(R原力系简化成力螺旋力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。60静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系OMF R ) c (这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。0 , 0 (4)ROMF这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡61静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程1 . 空间任意力系的平衡方程空间任

24、意力系的平衡方程空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。即和对任意点的主矩都为零。即0 , 0 ROMF平衡方程是niziniyinixiFFF1110 , 0 , 0 0)( , 0)( , 0)(iziyixMMMFFF与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。62静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系 例如对空间平行力系，不失一般性，假定取z 轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个衡为零，即niizniyinixiMFF1110)(

25、 , 0 , 0F 0)( , 0)( , 0iyixziMMFFF因而空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程只有下面的3个xyzOF1F2F3Fn由空间任意力系的平衡方程还可导出其它特殊类型的力系的平衡方程。63静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1364 静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1365静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1366 静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-15 67静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1468 静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1469静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系例题 4-1470