平面向量公式

1、创作編号丄创作肴：凤呜大王*设心(x, y), b=(x y*)o 1、囱量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=ACoa+b=(x+x y+y*)oa+0=0+a=ao向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律:(a+b)+c=a+(b+c)o2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b, b=-a, a+b=O. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减a=(x,y) b=(xyr)则 ab=(xx；yy)4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作Xa,且丨Xa I = I X I I a | o当入0时，Xa与a同方向：当入V0时

2、，Xa与a反方向；当入=0时，Za=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数入，都有心=0。注：按立义知，如果壮=0,那么入=0或a=Oe实数X叫做向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸 长或压缩。当I入I 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X0)或反方向(X0)上伸长 为原来的丨X丨倍；当丨X I 0)或反方向(X n迫义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a-b.若a、b不共线， 则 a*b=|a|*|b|*cosa, b)：若 a、b 共线，则 a*b=+- I a I I b | o向量的数量积的坐标表示：ab=xx，+yyc向量的数量积的运算律a

3、*b=b*a (交换律)；(入a)b=h(ab)(关于数乘法的结合律)：(a+b)c=ac+bc (分配律)；向童的数量积的性质aa=|a|的平方。a丄b =a*b=0c|a-b|a|-|b|o向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)gi(bc)：例如：(a*b)A2=aA2bA2o2、向量的数量积不满足消去律，即：由a-b=a-c (aiO),推不出b=c。3、|ab的a|b|4、由 lal=lbl ,推不岀 a=b 或 a=-b4、向疑的向量积泄义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作axb。若a、b不 共线，则axb的模是：| axb

4、| =|a|*b|sm a, b)： axb的方向是：垂直于a和b,且a、 b和axb按这个次序构成右手系。若a、b共线，则axb=O向量的向量积性质：I axb I是以a和b为边的平行四边形面积。axa=0oa I b=axb=O。向量的向量积运算律axb=-bxa：(Xa) xb=k (axb) =ax (Xb)；(a+b) xc=axc+bxc.注：向量没有除法，“向M AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式1、I I a | - I b I I a+b . I a I + | b I ； 当且仅当a、b反向时，左边取等号： 当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、I | a |

5、 - I b I I a-b I | a I + ! b | o 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点迫比分点公式(向MP1P=X向量PP2)设Pl、P2是直线上的两点，P是1上不同于Pl、P2的任意一点。则存在一个实数X, 使向呈:PIPn向量PP2,入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 Pl (xl,yl), P2(x2,y2), P(x,y),则有OP=(OP1+XOP2)(1+X)：(立比分点向量公式)x=(x 1 +Xx2)/(1 +入)，尸(yl+Xy2)/(l+X)o (定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的左比分点公式三点共线定理若OCnOA+yOB，且X+P=l，则A、B、C三点共线三角形重心判断式在AABC中，若GA +GB +GC=O,则G为AABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若時0,则a/b的重要条件是存在唯一实数入，使a=Xboa/b的重要条件是xy-xy