高等数学级数9

1、1例例 题题习习 题题 课课教学要求教学要求第十一章第十一章 无穷级数无穷级数infinite series2一、教学要求一、教学要求1.1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念理解无穷级数收敛、发散以及和的概念, , 2. 掌握几何级数和掌握几何级数和 p级数的收敛性级数的收敛性.数的比值审敛法数的比值审敛法. 4.了解交错级数的莱布尼茨定理了解交错级数的莱布尼茨定理,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件. .3.了解正项级数的比较审敛法了解正项级数的比较审敛法, 掌握正项级掌握正项级错级数的截断误差错级数的截断误差.会估计交会估计交第十一章第十一章 无穷级

2、数无穷级数 习题课习题课3 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的了解函数项级数的收敛域及和函数的 7. 掌握幂级数收敛区间的求法掌握幂级数收敛区间的求法.8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基了解幂级数在其收敛区间内的一些基 5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念概念以及绝对收敛与收敛的关系以及绝对收敛与收敛的关系.概念概念.本性质本性质.第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课4 )1(),1ln(,cos,sin,xxxxex 9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要了解函数展开为泰勒级数的充分必要 条件条件.10. 会利用会利用的麦克劳林展开式

3、的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展将一些简单的函数间接展开成幂级数开成幂级数.11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用了解幂级数在近似计算上的简单应用.第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课5 并会将定义在并会将定义在12. 了解函数展开为傅里叶级数的狄里克了解函数展开为傅里叶级数的狄里克),( ),(ll 会将定义在会将定义在雷条件雷条件,展开为傅氏级数展开为傅氏级数,上的函数展开为正弦或余弦级数上的函数展开为正弦或余弦级数.上的函数上的函数和和), 0(l), 0( 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课6二、典型例题二、典型例题判判断断级级数数敛敛散散性性例例解解

4、nnnnu)1( nnnn)11(21 nnnn1;)1()1(11 nnnnnnnnnn)11(lim2 nnnn12)11(lim2 10 e 分母分母第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课7xxx1lim 10 e1lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件， 级数级数 分子分子1lim1 nnn0 1)11(lim2 nnnnnnnnnnu)1(1 nnnn)11(21 分母分母发散发散 11)1()1(nnnnnnn第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课8正正解解从而有从而有1 a当当级数级数10 a当当级数级数 1)0()1()2ln()2(n

5、nanan,110时时即即 a,11时时即即 annu limnnann1)2ln(lim n)2ln(lim1 nann)2ln(lim nnn, 1 nnulimna1收敛；收敛；发散发散;第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课9,1时时当当 a原原级级数数为为 nnnn)11()2ln(lim所以所以,原级数也原级数也 1)1()2ln(nnnan 1)11()2ln(nnnn 发散发散第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课10例例解解nnnln11lim 11nn而而 1ln)1(nnnn即原级数即原级数 11ln1ln)1(nnnnnnnnnnln1lim 1ln

6、1nnnnnnnlnlim 1 敛敛？是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn如果收敛如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛是条件收敛还是绝对收敛?n1发散发散,发散发散非绝对收敛非绝对收敛第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课11由由莱布尼茨定理莱布尼茨定理)0(ln)( xxxxfxxf11)( ,), 1(上上单单增增在在 单单减减即即xxln1 1ln)1(nnnn是交错级数是交错级数,0 )1( x敛敛？是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn(1)1)1ln()1(1 nunnnnln1 故故时时单单减减当当1 n)1( nnnunln1 第十一章第十一章

7、无穷级数无穷级数 习题课习题课12所以此交错级数所以此交错级数收敛，收敛，故原级数是故原级数是敛敛？是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn)0lnlim( nnnnnunnnln1limlim nnnnln11lim 0 (2)条件收敛条件收敛第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课13.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解 0)1)(1(nnxn20 x即即 0)1)(1()(nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分1 R, 111 x xxsd)(x1 011)1(nxnx 01)1(nnx第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课

8、收敛半径为收敛半径为收敛域为收敛域为设此级数的和函数为设此级数的和函数为s(x), 则有则有10(1)(1) dxnnnxx14 01)1(nnx)1(11 xxxx 21得得求导求导两边再对两边再对,x)21()( xxxs2)2(1x 20 x xxxs1d)(第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课15)!12(2)1(12111 nxnnnn将将级级数数例例解解 1121)!12()1(nnnnx 11211)!12(2)1(nnnnnx2sin2x 2sin2 1121)2()!12()1(2nnnxn)1( x分析分析的的和函数和函数展开展开xsin)1( x 1第十一章第

9、十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课的幂级数的幂级数.是是 的展开式的展开式,设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解.1621cos21sin2 x 21sin2 02)1()!2(2)1(21sin2nnnnxn),( 21cos221sin21cos2 x 02)21()!2()1(nnnxn 012)21()!12()1(nnnxn 012)1()!12(2)1(21cosnnnnxn 11211)!12(2)1(nnnnnx2)1(1sin2 x第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课17则则此此处处可可微微在在设设幂幂级级数数,1)1(1 xxannn).(2处处级级数数

10、在在 xB解解,1时时该级数当该级数当 x,1)1(1处处可可微微在在由由级级数数 xxannn故知故知, 1 xy令令可知可知例例 1988年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分.)2(1收敛收敛nnna 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课A. 条件收敛条件收敛B. 绝对收敛绝对收敛C. 发散发散D.收敛性不能确定收敛性不能确定nnnya 1幂幂级级数数绝对收敛绝对收敛.都都的的yy2|2| 对一切满足对一切满足阿贝尔定理阿贝尔定理, 1 xy对对, 1,2 yx时时当当nnnxa)1(,1 幂幂级级数数所所以以绝对收敛绝对收敛.18 1998年北方交大考题年北方交大考题,

11、7分分 .,11|11发散发散证明级数证明级数满足满足若数列若数列 nnnnnunuuu证证 由已知条件由已知条件,11|1nuunn 知知|1 nu因此因此,|limnnu 所以所以,. 0lim nnu由由级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件,.1发发散散级级数数 nnu例例, 0 |nu 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课19则则设设级级数数, 5, 2)1(11211 nnnnnaa 1).(nna级数级数9)(8)(7)(3)(DCBAC解解 nnnaaaaa3211 nnnnnaaaaa132111)1()1( 12531112nnnaaaaa例例 1991年研究生考

12、题年研究生考题,选择选择,3分分25 2528 1nna 1122nnannna 11)1(第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课20例例 证明在区间证明在区间 上有恒等式上有恒等式 , .412)cos()1(21221xnxnnn 并求级数并求级数 1211) 1(nnn分析分析 欲证之等式等价于欲证之等式等价于 12122)cos()1(124nnnxnx 122)cos()1(43nnnxn 这是要证明一个三角级数在指定区间内这是要证明一个三角级数在指定区间内收敛于一函数收敛于一函数.这是傅里叶级数的反问题这是傅里叶级数的反问题.证明证明这类题的一般方法是将所给函数在指定区间

13、这类题的一般方法是将所给函数在指定区间内展成傅里叶级数内展成傅里叶级数,看它是否等于给定的级数看它是否等于给定的级数.的和的和.第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课2, .x 将 在区间上展开成傅氏级数21202032d2 xxa2024)1(d)cos(2nxnxxann 得得 1222)cos(4)1(31nnnxnx x 121)1(nnn得得由于由于x2为偶为偶函数函数,)2 , 1(, 0 nbn证证故故的的和和求求 1211)1(nnn122 00第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课22例例 求三角级数求三角级数 之和之和. 0!cosnnnx解解 令令,i

14、xez 考虑级数考虑级数,!0znnenz 0!nnnz 0!cosnnnx 0!)(nnn 0!ninxnexixeixsincos 欧拉欧拉(Euler)公式公式及及 ze xecos xixesincosxixeesincos 按实部与虚部分别相等的关系按实部与虚部分别相等的关系,即得即得 0!cosnnnx x)cos(sincosxex 0!sinnnnxiixe第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课cos(sin )sin(sin )xix23例例21)1(nnknn 则级数则级数, 0 k设设常常数数)(解解21)1(nnknn 21)1(nknnnnn1)1(1 绝对

15、收敛绝对收敛条件收敛条件收敛C第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课A. 发散发散B. 绝对收敛绝对收敛C. 条件收敛条件收敛D. 收敛或发散与收敛或发散与k的取值有关的取值有关24 1990年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分).)( ,1sin12为为常常数数级级数数annnan B解解221sinnnna 收敛收敛且且 121nn收敛，收敛， 12sinnnna,11发发散散而而 nn因而因而 121sinnnnna由性质，由性质，发散发散.例例第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课A. 绝对收敛绝对收敛B. 发散发散C. 条件收敛条件收敛D. 收敛性与收敛性与

16、a的取值有关的取值有关25 1996年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分则则收收敛敛设设级级数数,)0( ,1 nnnaa).(2, 0,tan)1(21 nnnann级级数数绝绝对对收收敛敛.A条条件件收收敛敛.B发发散散.C有有关关敛敛散散性性与与 .D解解 因为因为nnn tanlim nnn tanlim A所以所以 nnann2tan)1( na22 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课例例26因为因为), 2 , 1(02 nan,1收敛收敛且级数且级数 nna从而从而,212收收敛敛级级数数 nna 故故.tan)1(21绝绝对对收收敛敛级级数数nnnann ,

17、1收收敛敛由由于于 nna.21nnaaaS 记记.limSSnn 则则.,有有界界数数列列所所以以nSnnaaaW242 nW数列数列且有界且有界,nnW lim存在存在,.12收敛收敛 nna因而因而又记又记单调增加单调增加nS2 ,S 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课27.)3(311的的收收敛敛域域求求幂幂级级数数nnnxn 解解,)3(31)(nnnxnxu 由由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11 |3|)1(3lim xnnn|3|31 x, 1|3|31 x令令).6 , 0( x即即)()(lim1xuxunnn 例例 1988年研究生考题年

18、研究生考题,计算计算,5分分第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课 得得28内内在在开开区区间间)6 , 0()3(311nnnxn 时时，当当0 x时时，当当6 x的的收收敛敛域域为为因因而而nnnxn)3(311 ).6 , 0nnn1)1(1 ,11 nn第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课处处收敛处处收敛.收敛收敛发散发散29例例 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.1121 nnnxn解解 (1)求收敛域求收敛域1lim nnnaaR,211 nn级数为级数为发散发散,21)1(11 nnn级数为级数为收敛收敛12)1(121lim nnnnn2 故级数的故级数

19、的收敛域收敛域).2 , 2 时时，当当2 x时，时，当当2 x第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课30(2)求和函数求和函数s(x) 设所求和函数为设所求和函数为s(x),21)(11 nnnxnxs有有 11nn逐项求导逐项求导21121x )( xxs 112nnx21x 21即即)2 , 2 x)(xsxx nnnxn 1211121 nnnxnnx 2第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课31由牛由牛莱公式得莱公式得)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x 21lnx2ln 因此因此,)2 , 0()0 , 221

20、ln1)( xxxxs当当x = 0时时,显然有显然有1121)( nnnxnxs)0( s总之总之,有有 1121nnnxn,21ln1 xx)2 , 0()0 , 2 x21 0 x 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课1,232 1996年研究生考题年研究生考题,计算计算,7分分.2)1(122的和的和求级数求级数 nnn解解 222)1(1nnn,11)(22nnxnxs 1 Rnnxnnxs 111121)(2nnn 211122nnxnn 2111121,0时时当当 x例例第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课可设可设收敛半径收敛半径33121121 nnxnx121121 nnxnx nxnx12x 11逐项求导逐项求导),1ln(x nxnx1211 n3 nnnxnxg 11)(设设 11)(nnxxg则则积分积分0)0( g得得)(xg)1ln(x 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题课习题课0( )(0)( )dxg xgg xx34知知由由)1ln()(xxg 2)(123xxxgxnnn 2)1ln(2xxx )(xs代代入入2)1ln(21)1ln(21)(2xxx