Kxtjxc高一数学典型例题分析：数列的求和

1、大风起布云飞扬i越出时生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢, 间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。专题研究：数列的求和例题解析【例1】求下列数列的前n项和sn:1(1)121 31 242(n(3)1,32 3311 + , 1 +23412135142236n)，1+132n 1112n 1一 一 1解(1)sn =1-124138(n=(1 + 2 + 3+1 n)+(2n(n+1)n(n211万(1 了)1 (2)s n = 3 :3=(1 +3232113333 +2341, + .2n-1 )31 (135一(18(3)先对通项

2、求和132n)132132n)2(13211an = 1 n 24sn = (2 + 2+ + 2广132n 12232 n2132n)132(1 +12n 111一 + 一 + +2 412n-1 )11=2n (1 + - + -+, +2 4112 n-1 )=2n2 +2n 1例2 求和:1 - 211 - 512-52 313 - 715t81 + 3 41 .5 91 . 8 - 111n(n 1)1(2n 1)(2n 3)1(3n1)(3n2)n(n + 1)11、1：sn (1 2) (23)(-n11 n 1n(2)(2n 1)(2n +1 sn = 1412n 13)131

3、1 1仁4 2n2n 11512n32n1f12n1= 413 2n 1 n(4n 5)2n1一3(2n 1)( 2n 3)(3)(3n 1)(3n +2)1 3(3n11sn =-(-3215)11()(5 8)1 (813n 2)1) 11，1(3n 113n 2)1 1=_(一3 2 n13n 2)6n 4大风起今云飞扬1【例3】 求下面数列的前n项和：,1.1.1 一一1 + 1, - + 4， + 7,，rr + (3n- 2), a aa1分析 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以1为公比的等a比数列，另一个数组成以 3n-2为通项的等差数列，分别求和后再合并.解 设数列的通项

4、为 用，前n项和为sn11)+1 + 4+7 + (3n - 2) a则 an = r + (3n 2) asn = (1 1 4 a a当a = 1时,1 sn = n(3n 2) n2当aw 1时,sn1n a1(1 3n 2)n23n2 n2na 1n n 1a a(3n 1)n2说明 等比数列的求和问题，分 q=1与qw1两种情况讨论.357【例4】设ak=12+22+ k2(kn*),则数列 ,aa2a3的前n项之和是6n3na. b.n 1n 16(n 1) d 6(n 1) nn 2，的通项为bn.357解设数列, a1a2a3一2221又 an = 1 +2 + n = - n

5、(n+1)(2n + 1) n6、八，bn=6(一n(n +1) n数列bn的前n项和sn=b1 + b2+ + bn大风起今云飞扬=6(1111111 门=6(16n【例5】解法一 区间a, b上分母为3的所有分数是3a 4 3a 53ba+1,a+2,，b-1,3333a1当为首项，以1为公差的等差数列.333a323a 1，33b 133a 23臾它是以3求在区间a, b(b a, a, bc n)上分母是3的不可约分数之和.12 + 22+32+ n21项数为 3b3a+ 1,其和 s = - (3b- 3a+ 1)(a+b)其中，可约分数是 a, a+ 1, a+ 2,，b1其和 s

6、= (b a+ 1)(a+b)故不可约分数之和为1s-s=2(a+b)(3b 3a+ 1)-(b-a+1)=b2-a2解法二.s= 3a+1 十 3a+2 十 3a+4 十 3a+ 5 十 3b 2 十 3b 1-3 +3+3+ 3+3+3124521s=(a+ -) + (a+ -)+(a+ -) + (a+ -) + -+ (b- -)+(b-)33333312452而又有s=(b -) + (b- -)+(b-) + (b- -) + -+ (a+ -) +333331(a+ -) 3两式相加：2s=(a+b)+(a+b)+ + (a+b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数.即

7、 3(b a)+ 1 (b a+ 1)=2(b a)2s=2(b-a)(a+b)s=b2 a2【例6】求下列数列的前n项和sn：(1)a, 2a2, 3a3,，nan,，(aw。、1)；(2)1 , 4, 9,，n2,;(3)1 , 3x, 5x2,，(2n1)xn-1,，(x1)123n(4),二，-,，一n ,2482n解 sn=a+2a2+3a3 + + nanaw 0asn=a2 + 2a3+3a4+ + (n- 1)an+nan+1snasn=a + a2+a3+ + annan+1aw 1 (1 a)snsna(1 an)a(1 an) n 1na1 an 1na2(1 a) 1

8、a(2)sn=1 + 4+9+ n2(a+ 1)3-a3=3a2+3a+ 1，23-13=3x 12 +3x 1 + 133 23=3 x 22+ 3x2 + 143 33=3x32+3x3+1n3 (n- 1)3=3(n- 1)2 + 3(n 1)+ 1(n+ 1)3 n3=3n2 + 3n+ 1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n+1)313=3(12+22+ n2) + 3(1+2+ + n) +n= 3(12 + 22 + 32 + n2)+ 3吗 1) +n1,3=31(n + 1)3t-3n(n 1)n3n(n 1) n12sn1212222222332324n2nn2n 11

9、3 ,2 ,=一 n + 3n + 3n 312=-n(2n + 3n+ 1)1=-n(n+ 1)(2n + 1) 6(3)=sn=1+ 3x+5x2+7x3+ (2n1)xn-1xsn=x+ 3x2+ 5x3+ (2n 3)xn-1 + (2n 1)xn两式相减，得(1 x)sn=1 + 2x(1 + x+ x2+ + xn-2) (2n 1)xnn 2x(xn11)=1 - (2n 1)x hx 1_n+1_n(2n 1)x(2n 1)x(1 x)-1 xn+1n(2n 1)x(2n 1)x(1 x)(1 x)2两式相减，得12sn1212(112212n )口2nn2n 1n=2-2 n

10、 1说明 求形如anbn的数列的前n项和，若其中an成等差数列，bn成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化大风起今云飞扬1归思想.al-【例7】 设等差数列a n的前n项和为sn,且sn =(七)2,nc n*,若 bn=(-1)n - sn,求数列bn的前 n 项和 tn.分析 求bn的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求an的前n项和sn, 而由已知只需求an的通项an即可.解法一 : a。是等差数列，sn=(亘)2a. 1 一.当 n = 1时，a1 =(-)解彳导 a1 = 1ac 1当 n = 2时，a1+a2 =(-)斛信 a2 = 3或a2

11、 = 1当 n = 3时,a1 + a2 + a3 =(工1)2 ,由 a2 = 3,解得 a3 = 5或a3 =3,由为=1,解得a3=1.一 a 1 c.又 sn = (-2) ) 0, a2 = 1, a3 = 3, a3 = 1(舍)即 a1=1, a2=3, a3=5,d=2an=1 + 2(n 1)=2n 1sn=1+3+5+ (2n-1)=n2bn=(-1)n，sn=(-1)n，n2tn= - 2 + 2232 + 42+ ( 1)n. n2当n为偶数时，即 n=2k, k c n*tn=(- 12+22) + (-32+ 42)+ -(2k-1)2+ (2k)2=3+7+ (4k-1)_ 3 +(4k 1) k=2=(2k+ 1)k_ n(n 1)=2当n为奇数时，即 n=2k- 1, kc n*大风起令云飞扬tn= 12 + 2232 + 42(2k-1)2=_ 12+22 32 + 42(2k 1)2 + (2k)2(2k)2=(2k+ 1)k(2k)2= -k(2k-1)n(n 1)=2n n(n 1)-tn = ( 1) 2n g n *求an也可利用等差数列的前n项和公式sn解法二取 n=1,则 a1=(?)2 . a