(精编资料推荐)第三章K元线性回归模型.doc

1、第三章K 元线性回归模型一、填空题1.对于模型 Yi01 X i 12 X i 2k X ikui ， i=1,2, ,n，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为_2.对于总体线性回归模型Yi01 X i 12 X i 23 X i3 ui ，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量n 应满足或至少 _ 。3.多元线性计量经济学模型的矩阵形式，对应的样本线性回归模型的矩阵形式，模型的最小二乘参数估计量及其方差估计量。4.总平方和可以分解为 回归平方和和残差平方和，可决系数为。5.多元回归方程中每个解释变量的系数（偏回归系数） ，指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变

2、化 个单位。6.线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的；就参数而言，指的是回归模型中参数的。通常线性回归模型指的是。二、问答题1 什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？2 极大似然法（ maximum likehood ）的原理是什么？3 什么是拟合优度（R2）检验？有什么作用？指对样本回归直线与样本观测值之间的拟合程度的检验。4 可决系数 R2 低的可能的原因是什么？5 多元回归的判断系数R2 具有什么性质？运用R2 时应注意什么问题？6 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？7 说明区间估计的含义

3、。三、实践题1下表给出三变量模型的回归结果：方差来源平方和（ SS）自由度（ d.f.）均方差 (MSS)回归平方和 (ESS)65965321988.33残差平方和 (RSS)77117总平方和 (TSS)66042144717.481要求：（ 1）样本容量是多少？（ 2）求 RSS？（ 3） ESS 和 RSS 的自由度各是多少？2（4）求 R2和 R ？（5）检验假设：X 1 和 X 2 对 Y 无影响。你用什么假设检验？为什么？（6）根据以上信息，你能否确定X 1 和 X 2 各自对 Y 的贡献吗？2下面给出依据15 个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。Y

4、 367.693 ， X 1402.760， X 28.0 ，yi266042.269284855.096 ，2280.0 ，yi x1i74778.346x1ix 2iyi x2i4250.9 ，x1i x2i4796.0要求：（ 1）估计三个多元回归系数； （ 2）估计它们的标准差；并求出2R2与 R ？（3）估计 1 、 2 95% 的置信区间；（ 4）在5% 下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双尾检验）；（5）给出方差分析表。（ 1）3考虑以下方程（括号内为估计标准差）： n 19 ， R 20.873?8.562 0.364Pt0.004Pt12.560U tWi(0.080)

5、(0.072)(0.658)其中： W t 年的每位雇员的工资和薪水；P t 年的物价水平； U t 年的失业率。要求：（ 1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；（ 2）讨论 Pt 1 在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；Pt 1 是否应从方程中删除？为什么？4克莱因和戈德伯格曾用1921-1941 年与 1945-1950 年（ 1942-1944年战争期间略去）美国国内消费 C 和工资收入 W 、非工资 非农业收入 P、农业收入 A 的共 27 年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：Ct 8.1331.059 Wt0.452 Pt0.121 At， R20.

6、95,F107.37( 8 .9(02.)17( 0). 45( 12.)02式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问题。（显著性水平5% ，已知 F0.05 (3,23)3.03,t 0.025 (23) 2.069 ）5某地区通过一个样本容量为722 的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为edu 10.360.094sibs 0.131medu0.210 fedu ， R2=0.214式中， edu 为劳动力受教育年数， sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与 fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问（ 1）sibs 是否具有预期

7、的影响？为什么？若medu 与 fedu 保持不变， 为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（ 2）请对 medu 的系数给予适当的解释。（ 3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12 年，另一个的父母受教育的年数为16 年，则两人受教育的年数预期相差多少？6以企业研发支出（ R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（ X1 ）与利润占销售额的比重（X2 ）为解释变量，一个有32 个企业的样本估计结果如下：Y 0.4720.32 log( X1)0.05X 2R2(1.37)(0.22)(0.046) ,0.099其中括号中为系数估

8、计值的标准差。（ 1）解释 log(X1) 的系数。 如果 X1 增加 10%，估计 Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（ 2）针对 R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1 而变化的假设。分别在5%和 10%的显著性水平上进行这个检验。（ 3）利润占销售额的比重 X2 对 R&D 强度 Y 是否在统计上有显著的影响？（ 3）对 X2 ，参数估计值的 t 统计值为 0.05/0.46=1.087 ，它比在 10% 的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y 在统计上没有显著的影响。7下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4 个模型的估计量和相关

9、统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40 个城市的数据。模型如下：housin g01density2value3 income4 popchang5 unemp6 localtax7 statetax式中 housing 实际颁发的建筑许可证数量，density 每平方英里的人口密度，value自由房屋的均值（单位：百美元）， income 平均家庭的收入（单位：千美元），popchang 19801992 年的人口增长百分比， unemp 失业率， localtax 人均交纳的地方税， statetax 人均缴纳的州税变量模型 A模型 B模型 C模

10、型 DC813 (0.74)-392 (0.81)-1279 (0.34)-973 (0.44)Density0.075 (0.43)0.062 (0.32)0.042 (0.47)3Value-0.855 (0.13)-0.873 (0.11)-0.994 (0.06)-0.778 (0.07)Income110.41 (0.14)133.03 (0.04)125.71 (0.05)116.60 (0.06)Popchang26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.001)24.86 (0.08)Unemp-76.55 (0.48)Localtax-0.061 (0.

11、95)Statetax-1.006 (0.40)-1.004 (0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.312Se1.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（ 1）检验模型A 中的每一个回归系数在10%水平下是否为零 （括号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？（ 2）在模型A 中，在 10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7) 。说明被择假设，计算检验统计值， 说明其

12、在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。（ 3）哪个模型是 “最优的 ”？解释你的选择标准。（ 4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的 ”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。参考答案一、填空题1. n30 或至少 n3（k+1 ）；2. n30或至少 n24；3.Y Xu ，YXb e ，1X Y ，b ( X X )Var (b)u215. ；( X X )ii ; 4.回归平方和； 残差平方和； 回归平方和与残差平方和之比。6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。二、问答题1. 答：回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量

13、的个数不同； 二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。2. 答：极大似然法（ML ）是不同于OLS 法的另一种模型参数估计方法。ML 方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函数，然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。 其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总体参数的估计量。3. 答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合”。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围绕在

14、回归直线周围的正或负的残差。通过对残差的分析， 有助于衡量回归直线与样4R2，也称判本观察值的拟合程度。反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数定系数。另一个是对回归模型的 F 统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高 R2，而是要得到可靠的参数估计， 以便利用估计结果进行统计推断。 注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。4. 答：可能由于： X 不是 Y 的良好解释变量；模型形式设定有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型R2 值较高，而利用截面数据估计的模型R2 值较低。5. 答： R2 的取值取决在0 1 之间。若 Y 的全部变异都得到了解释，则R2 =1，若解释变量没

15、有如何解释能力，有R2=0。在模型中不包含常数项的情况下，R2 的值可能超出 0 1范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低R2，在大多数情况下，R2 会增大。在实际工作中，我们可以借助于R2 的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。需要注意的是，对于不同因变量的回归模型，比较R2 的大小没有任何意义。用同一变量的不同数学表达式作为因变量， R2 也是不可比的。时间序列数据建模中如果考虑了滞后的行为反应，导致样本区间发生变动， R2 也不可比。6. 答：回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项 ui

16、 服从均值为0 方差为2的正态分布假定。 在证明最小二乘估计量的无偏性中， 利用了解释变量与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。7. 答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。三、实践题2. 解：(1) b1yi x1ix22iyi x2ix1i x2ix2x2x1ix2ixx2i1i2i1i74778.3462804250.94796.084855.0962804796.0 25506200.72667578105yx2ix2y xxx2ii1ii 1i1ib2x2xxxxx22i1i2i1i2i1i4

17、250.984855.09674778.346 4796.084855.096 2804796.0220735802.7363757810b0 Y b1 X1b2 X 2367.6930.7266402.7602.73638.053.15722e2y2byxb2yix2i(2)ii1i1iu3153n66042.2690.726674778.3462.73634250.9126.3821s(b0 )1A212.768Var (b0 )15X 2x2X 2x22 XXx1ix2i其中： A2i1ix2x2x xxx2i2i1i2i1i1i同理，可得： se(b1 )0.0486 ，se(b2 )

18、0.8454拟合优度为： R 2b1yi x1ib2yi x 2i0.9988yi2R 21(1 R2 ) n10.9986nk d. f . 12,5% ，查表得 P( t2.179) 0.950.7266b12.179 ，得到0.6207 b10.83252.1790.048662.1792.7363b22.179，得到 0.8942 b24.57840.8454b1 的 95%的置信区间：0.6207b10.8325b2 的 95% 的置信区间：0.8942b24.5784 H 0 : i0(i1, 2, 3)，H 1: i05% ， d. f . 153 12，查表得临界值为：2.17

19、9 t2.179则：tb53.157204.0963 2.179,则拒绝原假设：012.976800tb10.726602.179, 拒绝原假设：0.048614.9509t b2.736302.179, 拒绝原假设：3.236720.84541200（ 5）方差分析表方差来源平方和自由度均方差回归平方和65963.018232981.509残差平方和79.2507126.6042总平方和66042.269F32981.5095%, d. f . 2,12 ， F 临界值为 3.894994.0203 ，6.6042F 值是显著的，所以拒绝零假设。5. 解：（ 1）预期 sibs 对劳动者受教

20、育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值 -0.094 表明，在其他条件不变的情况下，每增加1 个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094 年，因此，要减少1 年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6 个。（ 2） medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131 年的教育机会。（ 3）首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131 12+0.210 12=14.45210.36+0.131 16+0.210 16=15.8167因此，两人的受教育年限的差别为15.81