误差及分析数据的统计处理

1、同学们好！同学们好！ 第第3章章 分析化学中的误差与数据处理分析化学中的误差与数据处理3-1 3-1 定量分析中的误差定量分析中的误差 定量分析的目的：通过一系列分析步定量分析的目的：通过一系列分析步骤获得被测定组分的含量。实际测定骤获得被测定组分的含量。实际测定不能得到绝对准确的结果。不能得到绝对准确的结果。一、准确度和精密度一、准确度和精密度%100irxEixE 1. 准确确度 测测定结结果与与“真值真值”接近的程度，用，用误差误差表示。表示。 绝对误绝对误差 相对误差相对误差 %100irxE例例: 滴定的体积误差滴定的体积误差VEEr20.00 mL 0.02 mL 0.1%2.00

2、 mL 0.02 mL 1%滴定剂体积应为滴定剂体积应为2030mL称量误差称量误差mEEr0.2000 g 0.2 mg 0.1%0.0200 g 0.2 mg 1%称样质量应大于称样质量应大于0.2g例1 测定含铁样品测定含铁样品中中w(Fe), 比较结果的准确度。比较结果的准确度。A. 铁矿中，铁矿中，a62.38%,62.32%0.06%TxxTE a0.042%,0.044%0.002%TxxTEB. Li2CO3试样中试样中, ,A.B.arar100%0.06/62.380.1100% %0.002/0.0425%EETETE 2. 2. 精密度精密度 精密度精密度表示平行测定的

3、结果互相靠近的程度，表示平行测定的结果互相靠近的程度，一般用一般用偏差偏差表示。表示。 x1 x2 x3 x4 xn x（1）绝对偏差）绝对偏差：d i= xi x （2）平均偏差）平均偏差：d =( |d1|+|d2|+|di|)/n（3）相对平均偏差）相对平均偏差：d / x 100% （4）标准偏差）标准偏差：又称均方根偏差又称均方根偏差 S：样本标准偏差、：样本标准偏差、：总体标准偏差总体标准偏差 变异系数变异系数: Sr= s / x 100%偏差的表示方法：偏差的表示方法：3. 准确度与与精密度的关关系 1x2x3x4x (1)(1)精密度是保证准确度的先决条件精密度是保证准确度的

4、先决条件; ; (2) (2)精密度好精密度好, ,不一定准确度高不一定准确度高. .二、二、 误误差的产产生及减减免办办法误差的分类误差的分类： 系统误差（可测误差）系统误差（可测误差） 偶然误差（随机误差）偶然误差（随机误差） 过失误差。过失误差。1、系统误差、系统误差性质：性质： 具单向性、重现性，为可测误差具单向性、重现性，为可测误差. 方法误差：误差：溶解损损失、终终点误误差 用其他方法校正（对照实验：对照实验：标准方标准方 法、标准样品、标准加入法、标准样品、标准加入） 仪仪器误差：误差：刻度不准、砝码砝码磨损损 校准(绝对绝对、相对对) 操作误差：误差：颜颜色观观察 试剂试剂误差

5、：误差：不纯纯 空白实验实验2. .随机误差随机误差 ( (偶然误差偶然误差) )不可避免，不可避免，服从统计规律服从统计规律。3. .过失过失 如读错，记录错，计算错，溶液溅失，如读错，记录错，计算错，溶液溅失，沉淀穿滤沉淀穿滤等等粗心大意引起粗心大意引起, 可以避免。可以避免。讨论准确度与精密度的关系图讨论准确度与精密度的关系图三三 误差的传递误差的传递分析结果通常是经过一系列测量步骤之分析结果通常是经过一系列测量步骤之后获得的，每一步骤的测量误差都会反后获得的，每一步骤的测量误差都会反映到分析结果中去，都会影响到分析结映到分析结果中去，都会影响到分析结果的准确度。如何影响呢？果的准确度。

6、如何影响呢？误差传误差传递。递。22222CBARSSmSS 系统误统误差 偶然误误差加减减法R=A+mB C乘除法指数关数关系R=mAn对数关对数关系R=mlgACABmR CBAREmEEECEBEAERECBAR2222)()()()(CSBSASRSCBARAEnREARASnRSARAEmREAR434. 0ASmSAR434. 0误差传递公式误差传递公式例：设天平称量时的标准偏差 s = 0.10mg，求称量试样时的标准偏差sm 。解：mgssssmmmm14. 02,2222121例：用移液管移取用移液管移取NaOH溶液溶液25.00mL,以以0.1000mol/L的的HCl溶液

7、滴定之，用去溶液滴定之，用去30.00mL，已知用移液管移，已知用移液管移取溶液的标准差取溶液的标准差s1=0.02mL,每次读取滴定管读数的每次读取滴定管读数的标准差标准差s2=0.01mL，假设，假设HCl溶液的浓度是准确的，溶液的浓度是准确的，计算标定计算标定NaOH溶液的标准偏差？溶液的标准偏差？解：LmolVVCCNaOHHCLHCLNaOH/1200. 000.2500.301000. 022222121222VsVsCsNaOHC22440.020.0120.12 9.2 101.1 102530CNaOHsC极值误差极值误差在最不利的情况下，各步骤带来的误差互相累加在最不利的情

8、况下，各步骤带来的误差互相累加在一起，此时的误差称为极值误差。在一起，此时的误差称为极值误差。加减减法 R=A+mB C乘除法CABmR CBAREEmEECEBEAERECBAR 有效位数：有效位数： 从数值左方非零数字算起到最后一位可疑数字，从数值左方非零数字算起到最后一位可疑数字， 确定有效数字的位数确定有效数字的位数. . 可疑数字：可疑数字： 通常理解为，它可能有通常理解为，它可能有1 1单位的误差单位的误差 ( (不确定性不确定性) )一一.有效数字（有效数字（Significant Figures) : 实际测定的数值实际测定的数值,包含一位不定数字包含一位不定数字(可疑数字可疑

9、数字)3-2 有效数字有效数字例例1.0008；0.010001；45371 为五位为五位20.00，0.02000为四位为四位0.002；210-3 为一位为一位3.6103为二位为二位几个重要物理量的测量精度：几个重要物理量的测量精度：天平天平(1/10000)：Ea=0.0001g滴定管：滴定管： 0.01mL pH计：计： 0.01单位单位光度计：光度计： 0.001单位单位电位计：电位计： 0.0001V(E)有效数字的记录有效数字的记录：几项规定几项规定1. 1. 数字前的数字前的0 0不计不计, ,数字后的计入数字后的计入 : 0.02450: 0.02450(4(4位位) )2

10、. 2. 数字后的数字后的0 0含义不清楚时含义不清楚时, , 最好用指数形式最好用指数形式表示表示 : 1000 (1.0: 1000 (1.010103 3 ，1.001.0010103 3, , 1.000 1.000 10103 3 ) )3. 3. 自然数可看成具有无限多位数自然数可看成具有无限多位数( (如倍数关系、如倍数关系、分数关系分数关系) )；常数亦可看成具有无限多位数，；常数亦可看成具有无限多位数，如如,e 4. 数据的第一位数大于等于数据的第一位数大于等于8 的的, 可按多一位有效数可按多一位有效数字对待，如字对待，如 9.45104, 95.2%, 8.6 5. 对数

11、与指数的有效数字位数按尾数计，对数与指数的有效数字位数按尾数计， 如如 10-2.34 (2位位); pH=11.02, 则则H+=9.510-126. 误差只需保留误差只需保留12位；位；7. 化学平衡计算中化学平衡计算中, 结果一般为两位有效数字结果一般为两位有效数字(由于由于K值一般为两位有效数字值一般为两位有效数字)； 8. 常量分析法一般为常量分析法一般为4 位有效数字位有效数字(Er0.1%），微），微量分析为量分析为2 3位位. 例例同样是称量同样是称量10克，但写法不同克，但写法不同 分析天平分析天平 10.0000g Er%=0.0011/1000天平天平 10.000g E

12、r%=0.01托盘天平托盘天平 10.00g Er%=0.1台秤台秤 10.0g Er%=1买菜秤买菜秤 10g Er%=10滴定管滴定管 ：四位有效数字：四位有效数字 20.00mL 20.10mL容量瓶容量瓶 ：250.0mL 移液管：移液管：25.00mL1.当尾数修约数为当尾数修约数为5时，前数为偶则舍，为奇则进一时，前数为偶则舍，为奇则进一成双；若成双；若5后有不为后有不为0的数，则视为大于的数，则视为大于5，应进如：，应进如： 修约成四位：修约成四位：10.235010.24 18.085118.09 2.修约一次完成，不能分步：修约一次完成，不能分步：8.5498.5 【8.54

13、98.558.6是错的是错的】 二二.数字修约规则数字修约规则: 四舍六入五成双四舍六入五成双 三、有效数字的三、有效数字的运算规则运算规则 加减法加减法: : 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数大的数.(.(与小数点后位数最少的数一致与小数点后位数最少的数一致) ) 5 5 0.0. 1 1 50. 50.1 1 1.1. 4 4 7 7 1. 1.5 5 + + 0.0. 5 5 9 9 1 1 2 + 0.62 + 0.6 52.52. 1 1 6 1 26 1 2 52.252.2一般计算方法一般计算方法: 先计算，后修约先计算，后修约.

14、？乘除法乘除法:结结果的相对误对误差应与应与各因数数中相对误对误差最大的数数相适应应. (即与与有效数数字位数数最少的一致)例 0.012125.661.05780.328432 0.3280.328 0.8% 0.4% 0.009%0.8% 0.4% 0.009%NaOH3222CaCOHClCaClH OCOHCl() 过过量量 3330.1000 25.000.1000 24.10(CaCO )1210CaCOsMmw ? 30.1000 25.00 0.1000 24.10100.1120.2351 100.0191599 0.0192报告结果报告结果: : 与方法精度一致与方法精度一

15、致, , 由误差由误差 最大的一步确定最大的一步确定. .如：如： 称样称样0.0320g, 0.0320g, 则则w w(NaCl) = 99%(3(NaCl) = 99%(3位位);); 称样称样0. 3200g, 0. 3200g, 则则w w(NaCl) = 99.2%(4(NaCl) = 99.2%(4位位);); 3-3 随随机误误差的分布规规律例：利用吸光光度法测定一合金试样中铁的含量。例：利用吸光光度法测定一合金试样中铁的含量。 100 100次次： x1、 x2 、x3 、x4、x100 将将100100个测量值由小到大排列，个测量值由小到大排列， 按组距按组距0.030.0

16、3分成分成1010组，组， 频数分布图频数分布图 1.2651.295 1 0.01 1.2951.325 4 0.04 1.3251.355 7 0.07 1.3551.385 17 0.17 1.3851.415 24 0.24 1.4151.445 24 0.24 1.4451.475 15 0.15 1.4751.505 6 0.06 1.5051.535 1 0.01 1.5351.565 1 0.01 100 1 规律规律：测量数据既分散又集中测量数据既分散又集中 组数组数1.直方图直方图：组距：组距：x= 级差级差(组距组距)相相对对频频率率相对频率直方图相对频率直方图2. 正态

17、态分布曲线线 N ( , ) 22()21( )2xyf xe y: 概率密度概率密度 x: 测量值测量值 : 总体平均值总体平均值x-: 随机误差随机误差 : 总体标准总体标准偏偏差差 特点特点:极大值在极大值在 x = 处处.拐点在拐点在 x = 处处.于于x = 对称对称.4. x 轴为渐近线轴为渐近线.随机误差的规律随机误差的规律定性：定性：1.1.小误差出现的概率大小误差出现的概率大, , 大误差出现的大误差出现的概率小概率小, , 特大误差概率极小特大误差概率极小; ;2.2.正、负误差出现的概率相等正、负误差出现的概率相等. .定量：定量：某段曲线下的面积则为概率某段曲线下的面积

18、则为概率.标准正态分布曲线标准正态分布曲线221( )2uf xuxue 横横坐坐标标改改用用 表表示示221:( )2uyue 即即标准正态分布曲线标准正态分布曲线 N (0,1)00.10.20.30.4-4-3-2-10123468.3%95.5%99.7%u -3 -2 - 0 2 3 x- -3 -2 - + +2 +3 x y曲线线下面积积2201 1,0.3412uduueuss 当当时时| u |s2s0.6740.25000.5001.0000.34130.6831.6450.45000.9001.9600.47500.9502.0000.47730.9552.5760.49

19、870.9903.0000.49870.9970.5001.0002201 1,0.3412uduueuss 当当时时y正态分布概率积分表正态分布概率积分表2201 1,0.3412uduueuss 当当时时随随机误误差的区间概区间概率随机误差随机误差u出现的区间出现的区间(以以 为单位为单位)测量值出现的区间测量值出现的区间概概 率率 p(-1,+1)(-1, +1)68.3%(-1.96,+1.96)(-1.96, +1.96)95.0%(-2,+2)(-2, +2)95.5%(-2.58,+2.58)(-2.58, +2.58)99.0%(-3,+3)(-3, +3)99.7%例例1：已

20、知某试样中已知某试样中Co%的标准值为的标准值为=1.75%，= 0.10%，若无系统误差存在，若无系统误差存在，试求：分析结果落在试求：分析结果落在1.75 0.15%范围内范围内的概率的概率解解|X-| |X-1.75%| 0.15%|u|= = = =1.5 0.10% 0.10%查表查表(P57表表3-2）得概率为）得概率为 20.4332=86.6%（双边）（双边）例例2：上例求分析结果大于上例求分析结果大于2.00%的概率的概率? (大于大于2.00% 属于单边检验问题）属于单边检验问题）解解 |x-| |2.00%-1.75%| 0.25%|u|= = = = 2.5 0.10%

21、 0.10%查表得阴影部分的概率为查表得阴影部分的概率为0.4938，整个正，整个正态分布曲线右侧的概率为态分布曲线右侧的概率为1/2，即，即0.5000. 故阴故阴影部分以外的概率为影部分以外的概率为0.5000-0.4938=0.62% 即分析结果大于即分析结果大于2.00%的概率仅为的概率仅为0.62%3. t分布曲线：少量数据的统计处理 实际测量数据不多，总体标准偏差实际测量数据不多，总体标准偏差不知道，用不知道，用s代替代替，不符合正态分布，有误差，用不符合正态分布，有误差，用t分布处理。分布处理。已知已知用用 代替代替对于正态分布，对于正态分布，u值一定，值一定，响应概率就一定；响

22、应概率就一定；对于对于t分布，分布， t 一定，一定，f不同，面积不同概率不同不同，面积不同概率不同f：自由度 f = n-1t,f 分布值值表 t f显显 著 水 平 =1-P0.50 *0.10 *0.050.0111.006.3112.7163.6620.822.924.309.9330.772.353.185.8440.742.132.784.6050.732.022.574.0360.721.942.453.7170.711.902.373.5080.711.862.313.36200.691.732.092.850.671.641.962.58 置信度（置信度（P）：）：分析结果在

23、某一范围内出现的几率称为置信分析结果在某一范围内出现的几率称为置信度。度。显著水平（显著性水准）：（显著水平（显著性水准）：（=1P）4. 置信度与平均值的置信区间置信度与平均值的置信区间前面讲过随机误差的区间概率前面讲过随机误差的区间概率 置信度（置信度（P）：）：分析结果在某一范围内出现的几率称为置信分析结果在某一范围内出现的几率称为置信度。度。显著性水准（显著性水准（=1P）置信区间：置信区间：在一定置信度情况下，以测定结果为中心的包在一定置信度情况下，以测定结果为中心的包括真值在内的可靠范围，该范围就括真值在内的可靠范围，该范围就置信区间置信区间。 = x u置信度置信度P P 置信区

24、间置信区间（ = x u） 68.3% = x 195.0% = x 1.9695.5% = x 299.0% = x 2.5899.7% = x 3当用平均值来估计总体平均值时，前当用平均值来估计总体平均值时，前式可改写为（式可改写为（n 无限时无限时）：）：当用平均值来估计总体平均值时，前当用平均值来估计总体平均值时，前式可改写为（式可改写为（n 有限时有限时）：）：x例例 测测w(Fe): n = 4, = 35.21%, s = 0.06% 求求: (1) 置信度为置信度为95%时时平均值平均值 的置信区间的置信区间; (2) 置信度为置信度为99%时时平均值平均值的置信区间的置信区间

25、. (1- ):(,)ffssxtxtnn 置置信信度度为为时时的的置置信信区区间间为为平均值的置信区间为平均值的置信区间为需要求出需要求出tf解解:0.05,3(1) 10.95,0.05,3.1895%:0.06%0.06% (35.21%3.18,35.21%3.18)44 (3 5.11%,35. 1=3 %) t 得得的的置置信信区区间间0.01,3(2) 10.99,0.01,5.8499(35.03% , 35.):39%t 得得的的置置信信区区间间结果表明置信度高则置信区间大结果表明置信度高则置信区间大.P=95%P=95%时平均值的置信区间：时平均值的置信区间：P=99%P=

26、99%时平均值的置信区间：时平均值的置信区间：P62 例例10 n不变时：置信度增加，不变时：置信度增加，t 变大，置信区间变大；变大，置信区间变大； 2. 置信度不变时置信度不变时: n 增加，增加， t 变小，置信区间变小；变小，置信区间变小； 真值（总体平均值）在置信区间出现的几率真值（总体平均值）在置信区间出现的几率 ；一定置信度下，以平均值为中心，真值一定置信度下，以平均值为中心，真值（总体（总体 平均值）平均值）出现的范围；出现的范围；练习题练习题： 1、在重量分析中，沉淀的溶解损失引起的测定误差、在重量分析中，沉淀的溶解损失引起的测定误差为：为： A. 系统误差系统误差 B. 偶

27、然误差偶然误差 C. 过失误差过失误差 D. 仪器误差仪器误差 答案：答案：A 2、下列方法中不能用于校正系统误差的是、下列方法中不能用于校正系统误差的是 A.对仪器进行校正对仪器进行校正 B. 做对照实验做对照实验 C.作空白实验作空白实验 D. 增加平行测定次数增加平行测定次数 答案：答案：D3、下列最能说明偶然误差小的是、下列最能说明偶然误差小的是 A. 高精密度 B. 标标准偏差大 C. 仔细细校正过过所有法码码和容量仪仪器 D. 与与已知含量的试样试样多次分析结结果平均值值一致 答案：A 4、下列叙叙述中错误错误的是 A. 单单次测测量结结果的偏差之和等于零 B. 标标准偏差是用于衡

28、量测测定结结果的分散程度 C. 系统误统误差呈正态态分布 D. 偶然误误差呈正态态分布 答案：C5、在分析测定中，论述偶然误差正确的是、在分析测定中，论述偶然误差正确的是 A. 大小误误差出现现的几率相等 B. 正误误差出现现的几率大于负误负误差 C. 负误负误差出现现的几率大于正误误差 D. 正负误负误差出现现的几率相等 答案：D6、在置信度为为95%时时，若若平均值值的置信区间为区间为35.2 1 0.10 （%），其意义义是 A. 在所测测定的数数据中有95%的数数据在此区间内区间内 B. 若再进进行测测定系列数数据，将将有95%落入此区间内区间内 C. 总总体平均值值落入此区间区间的概

29、概率为为95% D. 在此区间内区间内包括总总体平均值值的概概率为为95% 答案：DC不对对，因为为是客观观存在的，没没有随随机性，不能说它说它落在某一区间区间的概概率为为多少。 总体总体样本样本数据数据抽样抽样观测观测统计处理统计处理样本容量样本容量n: 样本所含的个体数样本所含的个体数. 随机误差的规律随机误差的规律定性：定性：1.1.小误差出现的概率大小误差出现的概率大, , 大误差出现的大误差出现的概率小概率小, , 特大误差概率极小特大误差概率极小; ;2.2.正、负误差出现的概率相等正、负误差出现的概率相等. .定量：定量：某段曲线下的面积则为概率某段曲线下的面积则为概率.当用平均

30、值来估计总体平均值时，前当用平均值来估计总体平均值时，前式可改写为（式可改写为（n 有限时有限时）：）：1、4d 法法首先求出除可疑值以外的其余数值的平均值首先求出除可疑值以外的其余数值的平均值x和平均偏差和平均偏差d，然后将可疑值与平均值比较，如绝对差值大于或等于然后将可疑值与平均值比较，如绝对差值大于或等于4 d ，则，则可疑值舍去，否则保留。可疑值舍去，否则保留。方法依据：方法依据： = 0.7979 0.8 ， 3 4 几率几率99.7%时，误差不大于时，误差不大于 3 。方法特点方法特点：简单，不必查表，但误差较大简单，不必查表，但误差较大，用于处理一些要求用于处理一些要求不高的数据

31、。不高的数据。可疑值可疑值- - x x 4d 4d 舍去舍去 3-4 分析结果的数据处理分析结果的数据处理一、可疑值的取舍一、可疑值的取舍 P P6666例例15152、格鲁布斯（、格鲁布斯（Grubbs）法）法首先把测定数据从小到大排序：首先把测定数据从小到大排序：x1,x2,x3,x n-1, xn,其中其中x1或或xn可能是可疑值可能是可疑值若若x1可疑，则可疑，则T T计算计算 = =X- X1s若若xn可疑，则可疑，则T计算计算 =Xn- Xs然后把然后把T计算计算与与T表表比较（一般选比较（一般选95%置信度），如果置信度），如果T计算计算 T表表，则则x1或或xn应应弃去，否则

32、应保留。弃去，否则应保留。P67 例16 3、Q检验法：适用检验法：适用310次测定次测定(1) 排序排序：将数据按从小到大的顺序排列将数据按从小到大的顺序排列x1 ,x2, xn；(2) 求极距求极距：xnx1；(3) 求出可疑值与其临近数据之间的差：求出可疑值与其临近数据之间的差：xnxn-1或或x2x1(4) 求Q： Q =(xnxn-1)/(xnx1) 或或 Q = (x2x1)/ (xnx1)(5) 根据测定次数根据测定次数n和要求的置信度（）查出和要求的置信度（）查出Q0.90(6) 将将Q与与Q0.90相比，若相比，若QQ0.90 舍弃可疑值舍弃可疑值Q t表表 此测定存在系统误

33、差此测定存在系统误差. P P6363例例11112、 两组测两组测量结结果比较较第一步第一步: F 检验检验比较两组的精密度比较两组的精密度22(1)sFs 大大计算计算小小（2 2）查表查表F F表表 比较比较F F计算计算和和F F表表 F F计算计算 F F表表 说明两组的精密度无显著性差异。说明两组的精密度无显著性差异。 进一步进行进一步进行t t检验检验 n1 1 x1 1 S1 1 n2 2 x2 2 S2 2 n1 1 x1 1 S1 1 n2 2 x2 2 S2 2 n1 1 x1 1 S1 1 n2 2 x2 2 S2 2显著水平为显著水平为0.05的的F 分布值表分布值表

34、自由度分 子 f大大 ( 较大较大s )234567f小小 219.0019.1619.2519.3019.3319.3619.5039.559.289.129.018.948.888.5346.946.596.396.266.166.095.6355.795.415.195.054.954.884.3665.144.764.534.394.284.213.6774.744.354.123.973.873.793.2384.464.073.843.693.583.502.9394.263.863.633.483.373.292.713.002.602.372.212.102.011.00分母第

35、二步：第二步：t t 检验检验比较比较 与与 1x1212:(2),ttnn 计计( (3 3) )如如则则 12121222112212(2)(1)(1):2ppxxn ntsnnnsnssnn 计算计算合并标准差合并标准差第一步检验表明第一步检验表明S S1 1 与与S S2 2无显著性差异时：无显著性差异时：, ,(1) (1) 计算与两个平均值的计算与两个平均值的t t值值2x两个平均值之间存两个平均值之间存 在显著性差异。在显著性差异。例例6 用两种方法测定用两种方法测定w(Na2CO3)121212=5 =4 =42.34% =42.44%, =0.10% =0 12 1.%nnx

36、xss方方法法方方法法2 2两种方法是否存在显著性差异？两种方法是否存在显著性差异？解：解：需要进行两个平均值的比较需要进行两个平均值的比较1. F 检验检验 (给定给定 = 0.05)22=0.122/0.102=1.44sFs 大大计计算算小小F计计F0.05(3,4)=6.59， S1 和和S2 无显著差异；无显著差异；12120.05121.36(7)2.37pxxn nttsnn 计计算算2. t 检验检验 (给定给定 = 0.05)两种方法不存在显著性差异两种方法不存在显著性差异。P P6565例例1212、1313、14143-6 3-6 回归分析法回归分析法No.标样浓度g /

37、 L吸收值15.000.045210.00.093320.00.140430.00.175540.00.2366试样0.200标准工作曲线y = 0.0056x + 0.0161R2 = 0.9840.0000.1000.2000.3000.4000.010.020.030.040.050.0浓 度（ u g / mL)A问题问题1 1、每个测量值都有误差，标准曲线应怎样作才合理？、每个测量值都有误差，标准曲线应怎样作才合理？2 2、应怎样估计线性的好坏？、应怎样估计线性的好坏？一组自变量一组自变量x值：值：x1，x2，xn对应因变量对应因变量y值：值：y1，y2，yn根据最小二乘法，可以获得

38、一元线性回归方程：根据最小二乘法，可以获得一元线性回归方程：y = a + b x线性回归线性回归 ：标准曲线应怎样作才合理？标准曲线应怎样作才合理？最小二乘法最小二乘法 method of least squares设对设对y 作作n 次独立的观测，得到一系列观测值。次独立的观测，得到一系列观测值。 根据最小二乘法的原理，最佳根据最小二乘法的原理，最佳的回归线应是各观测值的回归线应是各观测值yi 与相与相对应的落在回归线上的值之差对应的落在回归线上的值之差的平方和（的平方和（Q）为最小。）为最小。 Qyabxiiin()21yiyxQyabxiiin()21niiiibxayxbQ10)(2Qayabxiiin 201()niiniiininiiixxyyxxbxbynxbya12111)()(，ynyxnxiiniin1111,令令解得解得其中其中相关系数相关系数 Correlation coefficient2、应怎样估计线性的好坏？、应怎样估计线性的好坏？判断一元回归线是否有意义，可用相关系数来检验。判断一元回归线是否有意义，可用相关系数来检验。 相关系数的定义为：相关系数的定义为： Rbxxyyxxyyxxyyiiniiniiiniiinin()()()()()()212112211相关系数的意义（1） 当所有的当所有的 yi 值都在回归线上时，值都在回