优质随机过程期末知识点李裕奇

1、1、一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率=6的Possion过程来订约，他们分别1/2,1/3, 1/6的概率订阅一年，二年或三年，每个人的选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到 1元手续费，令X(t)表示她在0,t内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均值函数和方差函数壬骂-+1 i Hi 2. /-* 工J例 1 设 X ( t )独立同服从区间A cost 亠 B sin_ 1 ,1上的均匀分布,二 t , t _0, AB相互Y ( t ) Y ( t ),t0 X ( s ) ds ,t _0 的均值函数和协方差函数例2 设W (t), t

2、_ 0 是参数为令 X (t )tW(s)ds,t_0，求0函数与相关函数1的 Wiener 过程， X ( t ), t _ 0 的均值例二解ttmX (t) =E (W(s)ds= JEW(s)ds = 0 .s tRx(s,t)二 0 0Ry(u,v)dudvs0min(u ,v)dudv2 supdUpmin(u ,v)dv2 st- o du min(u,v)dv2 s u 2 s t二 丁 du vdv 匚 i iudv(s：t)000 u(3t -s),4140步转移概率矩阵为丄412丄403丄44丿由s与t的对称性Rxs, t =63t -S ,3s-1 ,例4：求随机相位正弦

3、波 X（t） = acos（，t ） -： : t： ：, OU （0,2二）的均值函数、方差函数和自相关函数。1解：由假设心的概率密度为：f v - 2二i 00 心:2 二其他于是x(t) =EX(t)2?r=E |acos 4acos ，t vRx(tt2)=EX(tJX(t2)2二 Ea cos( 心)cos(，t2)2 2 二=a 0 cos 匕+T)cos( t2+日)，盘 d02 cos：.-.22.土丄牙C0S (t2 -tj =二X(t)二 Rx(t,t)X(t)二 RX（t,t）二号设:X对任意的0,1这就是著名的uoOzk - -1Pik,2,川/是-T -: 0,1齐次

4、马氏链，则有:,2,U Pkj Vj =1,2, I | Ichapma n-K方程kolmogorov方程,简称 C例1:设Xn,n_0；是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链,初始分布Pi 0二PXo斗=申=0,1,2试求：1 P：X0,X1,X4 =1； 2 P：X2 =1,X1,X0|X0?;3 PX2 =1,X4 =1,X0；1-55丄16 1解：由C-K方程可得二步转移概率矩阵为：P（2）=P2 =51612316i49T6扌一D HX0,X1,Xn = PO）Po2）F；lx-|xA = _956 PX2 =1瓦=1,X5=O|Xo=O = Po1（2）F1（2）P1o5 丄516

5、 24128（3） pX2 =1人=1人=O = PX2=1R1（2）Po= Po（o）P）1 + P1（o）P1 + P2（o）巳1（2） P1 Ro丄（旦.丄 _L）丄丄 IT3 v16216丿 24192例4:某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集了 24个小时的数（共作97次观察），用1表示正常状态，用 o表示不正常状态， 所得的数据序列如下：111oo1oo1111111oo1111o111111oo111111111ooo11 o11o1111o11o11o1o1111o111o1111o111111oo11o11 1111oo111设

6、Xn为第n（n=1,2,97）个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链求（1） 一步转移概率矩阵；（2）已知计算机在某一时段（15分钟）的状态为0,问在此条件下，从此时段起，该计算机能连 续正常工作45分钟（3个时段）的条件概率.解：（1）设Xn为第n（n=1,2,97）个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，状态空间匸0,1,96次状态转移情况是：00: 8 次；0 1: 18 次；1 0: 18 次；1 1 : 52 次；因此一步转移概率可用频率近似地表示为：Ro 汗 X2 0|Xn=08看务,昭二P Xn0|X1rXn+W产点2塢P1 =P（Xn 十=1|Xn =小1852

7、2=_708 18即：p= 26261852.7070 j（2）某一时段的状态为0,定义其为初始状态,即X=0, 所求概率为：P Xi 7X2 7X3 =1|Xo =0=P Xi =1| Xo =0 P X2 =1| Xo =0,Xi =1炸（X3 =1| X。=0,Xi =1,X2 =1 AP01P1R118 52 5226 70 70-0.382设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1,3晴天转雨天的概率为12,任一天晴或雨是互 为逆事件.以0表示晴天状态，以1表示雨天状态, Xn表示第n天状态（0或1）.试写出马氏链Xn, n _1的一步转移概率矩阵.又已知5月1日为晴 天，问5月3日为

8、晴天,5月5日为雨天的概率各等 于多少？由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为13,晴天转雨天的概率为12,故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为PXn =j Xn 1=i二n .413, 2/3, *1/2,1/2,i =1, j =0i =1, j =1i = 0, j = 0i = 0, j =100 12 P1 1311223又由于P200 5,12_1 |t7/1817/12 111/18 一故5月1日为晴天,5月3日为晴天的概率为 P）0（2）512 = 0.4167,又由于040 0.4005P1 0.39970.6003 J0.5995故5月1日为晴天,5月5日为雨天的概率为F01 二 0.5995.甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜 的概率为p,乙胜的概率为q.(p q r = 1)设每局 比赛后,胜者得1分,负者得-1分,平局不记分.当 两人中有一个人得到2分时比赛结束.以Xn, n _1 表示比赛至第n局时甲获得分数，则Xn, n_1为 齐次马尔可夫链.(1) 写出状态空间；(2) 求2步转移概率；(3) 问在甲获得1分的情况下,最多再赛2局可以 结束的概率.(1) S-2,-1,0,1,21-2-2 11 qP(1)= 01-10 12r