基于Matlab的复摆混沌行为研究毕业论文

1、基于 matlab 的复摆混沌行为研究 摘 要 自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线 性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌运动是非 线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的 发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学 术界的关注。 matlab 是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演 算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用 解析式表达，只能采用数值解法，而 matlab 在这方面便可展示其强大的潜能。 本论文利用了 matlab

2、 软件研究经典的混沌现象的特征，并且对混沌的特点以 及形成过程进行模拟分析研究；并用 matlab 模拟了复摆运动行为及混沌现象，对 不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐 由倍周期分岔走向混沌。 关键词：混沌，matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子 the complex behavior of chaotic pendulum based on matlab abstract there are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. chaos app

3、ears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as th

4、e third after the revolution in physics, chaos has always been of academic attention. matlab is a suitable for scientific computing, engineering design, numerical analysis of the various fields of computing, calculation and simulation analysis of high- quality mathematical software.chaos theory stud

5、y nonlinear system which is difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and matlab will demonstrate its strong potential in this respect. in this thesis, a matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation proc

6、ess of simulation studies; and use matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, as you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from period-dou -bling bifurcation to ch

7、aos. key words: chaos, matlab,compound pendulum,bifurcation,strange attractor 目 录 前 言.1 1.2.4 m 文件及程序调试.2 1.4 本章小结.5 第二章 混沌行为与特性.5 2.1 混沌理论.5 2.1.1 简单的数学游戏 .6 2.1.2 “蝴蝶效应” .7 2.2 用 matlab 演示混沌的基本性质.8 2.2.1 用 matlab 产生标准的混沌信号 .8 2.2.2 倍周期分岔通向混沌之路 .9 2.2.3 初值敏感性 .12 2.3 本章小结.13 第三章 用 matlab 模拟复摆振动中的混沌

8、行为.13 3.1 复摆运动模型与振动方程.14 3.2 复摆运动状态的模拟研究.15 3.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动 .15 3.2.2 无驱动力有阻尼的复摆运动 .17 3.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动 .19 3.3 本章小结.25 结 论.27 参考文献.28 致 谢.29 前 言 自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线 性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌现象是指 确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。混沌运动是非线性动力学系统所 特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对 论和

9、量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。 复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振 动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在驱动力矩及 阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周 期分岔逐渐进入到混沌运动状态。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机 模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研 究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。 matlab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统 动态仿真等功能于一体的数学软件，具有很高

10、的编程效率，在线性代数、矩阵分 析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到广泛应用。混沌理 论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而 matlab 在这 方面便可展示其强大的潜能。 本论文第一章对 matlab 进行了简单介绍，并且详细介绍了 matlab 的基本功 能及在物理中的简单应用，第二章从简单的数学游戏和“蝴蝶效应”入手，说明 了混沌运动主要特征及性质，并且用 matlab 来演示其特性。第三章从复摆的运动 方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过 程。 3、用 matlab 的 ode 命令求解常微分方程，matlab

11、解常微分方程组的能力 很强而且很方便，对于我们在普通物理学中遇到的大多数动力学方程都可以用命 ode45 求解3。 matlab 只能解一阶的常微分方程组，高阶的常微分方程需要转化成一阶方程 组才能求解。对于二阶常微分方程，首先需要化成显式形式( , , , )0f x x x t ，然后令，则二阶常微分方程化为两个一阶常微分( , , )xf x x t(1)yx(2)yx 方程组成的方程组，从而使问题得到解决。 (1-1) (1) (2) (2) ( (1), (2), ) dy y dt dy f yyt dt 下一节我们将举例说明如何用命令 ode45 求解常微分方程。 1.2.4 m

12、 文件及程序调试 由 matlab 语句构成的程序文件称为 m 文件，它以 m 作为文件的扩展名。m 文件可分为两种：一种是主程序文件(script file)，是由用户为解决特定的问题而 编制的；另一种是子程序文件(function file)，它必须由其它 m 文件来调用，函数 文件往往具有一定的通用性，并且可以进行递归调用。 1、主程序文件的格式特征如下： (1)用 clear，close all 等语句开始，清除工作空间原有的变量和图形，以避免 其它以执行程序残留数据对本程序的影响； (2)如果文件中有全局变量，即在子程序中与主程序的变量，应在程序的起始 部分注明； (3)整个程序应按

13、 matlab 标示符的要求起文件名，并加上后缀 m。 2、子程序文件的格式特征如下： (1)由 function 起头，后跟的函数名必须与文件名相同； (2)由输入输出变量，可进行变量传递； (3)除非用 global 声明，程序中的变量均为局部变量，运行后不保存在工作空 间中。 3、质点在万有引力作用下的运动 以万有引力的固定不动的施力质点所在位置为坐标原点, 建立直角坐标 0 mo 系，质点的运动微分方程为，分量方程为：oxy 0 3 gmm mrr r (1-4) 00 2222 2222 ()() gmgmxy xy xyxy xyxy ， 这两个方程都是二阶常微分方程，定义解矢量为

14、，令 y (1-5)(1)(2)(3)(4)yxyxyyyy， 可将方程组(1-4)化为： (1-6) 0 3 222 0 3 222 (1)(1)(2) (2) (1)(3) (3)(3)(4) (4) (1)(3) gmydydy y dtdt yy gmydydy y dtdt yy ， ， (1)编写微分方程组函数文件 yxlcfun.m： function ydot=yxlcfun(t,y,flag,p) %函数首行,p 为参量 gm0 ydot=y(2); p*y(1)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; y(4); p*y(3)/sqrt(y(1).2+y(3).2).

15、3; %建立微分方程组 (2)解微分方程的主程序 yxlc.m： p=-1; %取 gm0=1 y0=-10 0.2 6 0.2;-25 0.5 5 0;-25 0.8 6 0; %三组不同初始条件 plot(0,0, *r) %画出 o 点 for i=1:3 %分别以不同初始条件解 3 次方程 t,y=ode45(yxlcfun,0:0.1:300,y0(i,:), ,p); hold on axis(-25 25 -20 20); %指定坐标范围 comet(y(:,1),y(:,3) %绘出质点运动轨迹(x,y) end %结束循环 解出的结果如图 1-7 所示： 图 1-7 万有引力

16、场中质点运动轨迹 由上面例子，我们初步了解了 matlab 解常微分方程的一般过程，首先是建立 微分方程函数文件，文件的格式如下： fuction ydot=filename(t,y,p1,p2) %t,y 是积分区间和解矩阵 p1,p2 是参数 ydot=关于 t,y 的表达式; %ydot 表示 dy/dt 下面介绍 ode45 命令的用法，ode45 的一般调用格式为： t,y=ode45(fun,tspan,y0,options,p1,p2,) 其中含义如下表： 表 1-6 ode45 命令含义 fun求解的微分方程函数名 tspan单调递增（减）的积分区间t0:tstep:tfina

17、l y0初始条件矢量 options用 odeset 建立的优化选项，一般用默认值， 为空矢量“ ” p1,p2传递给 fun 函数的参数 t,yt 是输出的时间列矢量，矩阵 y 的每一个列 矢量是解的一个分量 各个项在命令中的位置和顺序不能颠倒，否则程序就会出错。 1.4 本章小结 本章首先对 matlab 进行了简单介绍，介绍了 matlab 的发展及应用前景， 然 后详细介绍了基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功能，并且简单介绍了 m 文件的编写及 matlab 的程序调试。 由于 matlab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、 系统动态仿真等功能于一体的数学软

18、件，所以为了加深对 matlab 的基本功能的理 解，在本章第三节我们列举了几个简单的应用。 例 1 等量异号点电荷的电势分布，应用了 matlab 三维网格作图命令 mesh(x,y,z)和基本函数数值运算功能。 例 2 光栅衍射，应用了 matlab 的基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功 能。 例 3 质点在万有引力作用下的运动，应用了 matlab 的基本运算功能，基本绘 图功能，在一个窗口下绘制多条图形，并且利用 matlab 的 ode45 命令求解常微分 方程，最后总结了 matlab 的 ode45 命令解常微分方程的一般过程。 第二章 混沌行为与特性 2.1 混沌理论 在现

19、代物理的研究中，混沌理论的建立可能称得上是最重要的成就之一。混 沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备 受学术界的关注。经典物理的确定论和近代量子物理的随机论，虽然都非常成功 地解决了许多自然现象，但是这两种理论之间似乎存在着对立的矛盾，只适宜于 不同的领域。在宏观领域似乎只应用经典物理理论，而在微观领域中更多是使用 量子力学、统计物理的随机性理论。 按照确定性理论，物体运动以后在任何时间状态只是一个点，而按照随机性 理论，物体的状态不是点，而是由点组成的点云，点云的密度就表示物体出现这 种状态的概率大小。随着物理理论的深人研究，人们发现在传统的确定性理论领 域

20、中，一定的条件下也可以出现一定的随机性现象。这种随机性又不同于传统的 随机性理论研究的随机性问题，因为它又有一定的确定性。这种现象的发现和解 决从而诞生了混沌理论。 在经典物理中，物体的状态变化规律都是用非线性方程来描述的，只要给出 一定初始条件，就可以解出这个非线性方程的解，事实上，如果对这些非线性方 程进一步研究，就会发现，初始条件的变化，可以使这些本来是确定性的解出现 随机性。 2.1.1 简单的数学游戏 (1)令，如果是利用二进制，按 modell（去掉整数，只留小数的操 1 2 nn xx 作）进行迭代21，我们来看看其结果如何。 取= 0. 1000100100111001 0 x

21、 =0.000100100111001 1 x =0.00100100111001 2 x =0.0100100111001 3 x =0 16 x 也就是说，其结果最终趋向于零，或者说是趋向于一个点，一般我们把这个 点叫“汇” 。而如果取=0.1000100100111001100010010011100110 0 x 001如此循环下去，我们就会发现，其结果应该有 16 种稳定的点，我们叫 “稳定极限环” 。 和虽然在数学上可以说是非常接近，只存在微小的不同，但是其计算 0 x 0 x 的结果却完全不同。这就说明，微小的初始条件的变化，可能引起不同的结果， 这就是初始条件的敏感性。 (2)

22、令。 1 (1) nnn xxx 0,1 n x 如果取=2，=0.2，则=0.32，=0.4352，=0.4912092，=0.49 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 999996，=0.5，也就是其结果最终趋向于点=0. 50。 n xx 如果取=3.3，=0.4，则=0.792,=0.48016405，=0.823701 0 x 1 x 8 x 9 x 565。 如果继续迭代下去，其结果仍然是在和上循环，这就是说，其迭代的 8 x 9 x 结果可能是两个，我们就叫“分岔” ，像这样有两个结果的就叫“二周期” 。 如果取=3.53，=0.2，则=0. 5648，=0.50752171

23、3，=0.8 0 x 1 x 13 x 14 x 8230286，= 0.366578214, =0.819661059。如果继续迭代下去，就是进行这 15 x 16 x 四数字的循环，像这样的结果就叫“四周期” 。 如果取=3. 9，那么我们就会发现其结果是无周期的，或者说是有无数的点， 也就是进人完全随机状态，我们就叫“混沌” （chaos） 。 2.1.2 “蝴蝶效应” 美国的著名气象学家 edward lorenz 从旋转的木桶实验21，总结出包括 12 个 方程的方程组，建立了一个仿真的气象模型，他认为尽管气象变化万千，但总是 遵循经典的物理定律，只要知道一定的初始条件，那么利用这些

24、方程总是可以把 结果算出来的。这就是说按照传统的确定性理论，他就可以确定将来的气象变化 的规律和任何时间的气象状态。这里需要说明的是，一般传统的科学家都认为， 任何量的测量和获得都不可能是完全精确的，都有一定的近似，所以在进行计算 的时候一般都采用一定的近似。因为他们认为，极小的影响和变化、差别是可以 忽略不计的，事物运动之中都具有一定的收敛性，极小的差别不会引起大的影响。 lorenz 在利用计算机进行计算的时候，一次，为了省时，他就把上次计算打 印结果当作初始值输人了，然而，当他一小时以后回来的时候突然发现其结果却 偏差极大。开始他以为是计算机出了问题，后来经过仔细的研究，发现是由于初 始

25、值的微小差别导致其结果的极大偏差。因为那时候的计算机还很简单，存储只 是 6 位，但是打印出来的只是 3 位，例如输入 0. 532001，只能打印出来 0.532， 当时他认为这是极小差别，不会引起大的变化。但他的方程对这些微小的不同却 是极其敏感的，他把这种现象叫作“蝴蝶效应” 。意思就是：巴西的蝴蝶抖动一 下翅膀，就可能在德克萨斯引起一场风暴。 蝴蝶效应说明了初始条件的重要性，也说明了科学的严谨。任何随意的忽略， 都可能导致严重的后果。也正由此导致后来“混沌”理论的诞生。 2.2 用 matlab 演示混沌的基本性质 在自然界中，绝大部分运动都是混沌运动，规则运动只在局部的范围和较短 的

26、时间内存在。从简单的数学游戏入手，我们了解了混沌运动的产生，通过对 “蝴蝶效应”的介绍，我们了解了混沌运动的主要特征及性质。在各种软件中， matlab 是非常适合混沌的演示和仿真实验的。本节将对如何使用 matlab 来演示混 沌运动特征及性质进行研究。 2.2.1 用 matlab 产生标准的混沌信号 1963 年，美国气象学家洛伦兹在大气科学杂志上发表了著名的论文确 定性的非周期流 ，文中指出：三阶非线性自治系统中可能会出现混沌解12。洛 伦兹提出了一个简化的天气预报模型，这就是著名的洛伦兹方程组： (2-1) () () xa yx ybz xy zxycz 这个简化模型是一个完全确定

27、的方程组。然而，当方程组的三个参数取某些 值时(比较常用的是=10,=28, =8/3)，方程组出现了混沌解。这是在耗散系统abc 中，一个确定的方程能导出混沌解的第一个实例，它标志着混沌学的涎生。 在 matlab 中，可以用如下程序 lorenz.m 产生洛沦兹信号，在对混沌信号的演 示和处理中，洛沦兹信号是最常用到的标准混沌信号。混沌系统存在混沌吸引子， 洛沦兹吸引子就是著名的蝶形图。如图 2-1 所示。 (1)洛伦兹函数程序： function dy=lorenz(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=10*(-y(1)+y(2); dy(2)=28*y(1)-y(2)-

28、y(1)*y(3); dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3; (2)给定参数作图程序： t,y=ode45(lorenz,0 30,12,2,9); plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3) view(20,42); 图 2-1 洛沦兹信号的吸引子 2.2.2 倍周期分岔通向混沌之路 倍周期分岔是许多非线性动力学过程中常见的现象，也是进人混沌的一种重 要方式12。可以用描述虫日模型的 logistic 方程来演示一个动力学系统是如何通 过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的。 logistic 差分方程为，初值的取值范围为(0,1)，的取 1 (1) nnn xxx 0

29、x 值范围为1,4。由 logistic 方程描述的系统的最终状态取决于值，在由 1 变 化到 4 的过程中，该系统通过不断的倍周期分岔从规则运动进人混沌。可以用下 面的程序来演示这一过程： x(1)=0.9; %迭代初值 hold on; %将计算结果显示在同一幅图上 for lamda=2:0.002:3.8 %的取值范围和步长 for i=1:10000 x(i+1)=lamda*x(i)*(1-x(i); %logistic 方程 if (i+1)9800 %舍弃不稳定的初始值 plot(lamda,x(i+1); end end end 程序的运行结果如图 2-2： 由图 2-2 可

30、以看出在3 以后，系统开始进入周期状态，开始周期为 2，随着 值的变大，不断发生倍周期分岔。并且，倍周期分岔发生的越来越快，周期越 来越大，最终进入了周期无限长的混沌状态。 图 2-2 倍周期分岔 我们可以接着用下面的程序来演示取不同值时，logistic 方程所确定系统状 态的演化过程。 lamda=3. 3; %设定入值 x(1)=0.9; %迭代初值 for i=1:50 %设定迭代次数 x( i+l )=lamda*x(i)*(1-x(i) ) ; end plot(x) %显示计算结果 (a) (b) (c) 图 2-3 取不同值时，系统的演化过程 系统状态的演化过程如图 2-3(a

31、),(b),(c)三幅图对应的值分别为 2.8,3.3 和 3.8。在值为 2.8 时，系统经过开始的振荡后收敛于一定值。而当值为 3.3 时， 系统经过开始的不稳定阶段后，趋于稳定的振荡，在两个定位之间来回跳越，进 人了周期为 2 的轨道。在为 3.8 时，系统已进人混沌状态，不再有稳定的周期。 我们还可以取更多的值，以演示该系统周期变为 4、8、16的倍周期过程。 2.2.3 初值敏感性 描述混沌动力系统的微分方程、差分方程或迭代方程都是确定性方程，没有 概率性的因素。从数学上讲，确定性方程对于确定的初始值，由动力系统就可以 推知系统的长期行为甚至追溯过去。但是，在混沌动力系统中，如果精确

32、地从同 一点出发，得到的仍是同一条确定的轨道。然而，只要初始条件有无论多么微小 的改变，其后的运动轨迹就会失之毫厘，差之千里。因此，混沌系统具有极强的 初值敏感性。从现象上看，这种过程好像是随机的。这种“假随机性”与方程中 有反映外界干扰的随机项或随机系数而引起的随机性不同，是确定性系统内部所 固有的内在随机性。混沌信号的最重要、最显著的个特点就是初值敏感性。 图 2-4 两条取不同初值的洛沦兹信号轨迹 我们可以用程序 lorenz.m 所产生的洛沦兹信号来演示初值敏感性。将程序 lorenz.m 中的初始值 x 先后设为10和10.01，y 和 z 不变，这两组初始值只有 x 有极小的差值。

33、由于要演示初值敏感性，还需要将由两组初始值计算出来的任一 轴上的两条轨迹放在一起显示。源程序如下： t,y=ode45(lorenz,0 15,10,2,9); plot(t,y(:,1),-k); hold on t,y1=ode45(lorenz,0 15,10.01,2,9); plot(t,y1(:,1),:k); 由图 2-4 可以看出，两条曲线在开始一段看上去还是重合的，但是到了 8 点 以后，两条几乎由同一点出发的曲线开始逐步分离了，这就是混沌信号初值敏感 性的体现。 2.3 本章小结 本章从简单的数学游戏入手，给我们说明了混沌运动的产生，并结合对“蝴 蝶效应”的介绍，使我们了解

34、了混沌运动的主要特征及性质。在各种软件中， matlab 是非常适合混沌的演示和仿真实验的。本章用 matlab 来演示研究混沌运动 特征及性质。 本章给出了用 matlab 进行混沌演示的一些基本程序，包括产生标准的混沌 信号及其吸引子，演示非线性系统进入混沌的途径，以及混沌的初值敏感性。许 多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的，系统如果 处于混沌运动状态，那么它以后的运动状态将敏感依赖初值，并且具有不可预测 性10。通过这些演示，可以使我们对混沌有了比较直观的认识。 第三章 用 matlab 模拟复摆振动中的混沌行为 复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中

35、通常只考虑其简谐振 动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在驱动力矩及 阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周 期分岔逐渐进入到混沌运动状态7。 混沌运动是确定性非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随 机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命， 混沌的研究一直备受学术界的关注。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算 机模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的 研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。 3.1 复摆运动模型与振动方程 对如图 1 所示的

36、圆形复摆，设其质量为；对转轴的转动惯量为；质心moi 到转轴的距离为。如果复摆振动时受到的阻尼力矩是；周期性驱动coh d dt 力矩为。cosft 图 3-1复摆结构 复摆运动遵守刚体转动定律： (3-1) 2 2 d mjj dt 复摆的运动方程可以写为： (3-2) 2 2 sincos dd imghft dtdt 对(3-2)式作无量纲化处理，(3-2)式两边除以，整理可得： 2 0 i (3-3) 2 2222 00000 11 sincos ddmghf t dtidtii 取复摆的固有频率，进一步整理化简可得： 0 mgh i (3-4) 2 2 2sincos dd f dd

37、 其中，称为无量纲阻尼系数；称为无量纲驱动力振幅； 0 2i 2 0 f f i 称为无量纲驱动频率；称为无量纲时间。 0 0t 对于这样的非线性方程，一般是无法求出其解析解的，我们都是利用 matlab 求其数值解，然后再利用其数值解作相图和振动曲线，从相图上研究其运动规律。 通过对和参数的调节，我们分别模拟研究复摆的无驱动无阻尼振动、阻尼振f 动、有外力驱动时的周期运动和混沌运动。 3.2 复摆运动状态的模拟研究 3.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动 无驱动力、无阻尼相当于，的情况，此时复摆是一个保守系统11，00f 复摆处于理想振动状态，由式(3-4)可得： (3-5) 2 2 sin0

38、 d d (1) 小角度复摆运动，即简谐运动 若很小，在此情况下我们容易得到式(3-5)的解，它归结为简谐sin 振动情形，为便于从相图上来分析其运动特征，对式(3-5)积分，可得： (3-6) 2 2 2 d e d 其中，积分常数为，由初始条件决定，对应于系统的无量纲总能量。2ee 由(3-6)式可作出复摆的角速度与角位移的关系图像，即复摆作简谐振动 d d 的相图为一个圆。通过 matlab 数值计算可得复摆的振动曲线及其在和构成 d d 的相空间的运动轨迹，如图 3-2 所示。可以看出，数值结果与解析结果完全相同， 其相图是一闭合曲线，进一步表明复摆运动的周期性。图中的圆称为相轨道（相

39、 图） ，圆上一点确定了复摆的一个运动状态，圆形闭合回线反映系统状态周而复 始的演化过程。 图 3-2 复摆作简谐振动时的振动曲线和相轨迹 (2)任意角度复摆运动 将式乘以作积分，可得：d (3-7) 2 1 cos 2 d e d 整理可得： (3-8)2(cos ) d e d 利用 matlab 画出复摆在不同初始值下对应运动状态变化情况的相图。 当=-1，=0 时=0 对应于相图中的不动点(0,0)，在系统离开平衡点时，e 恢复力总是指向(0,0)点，所以这是复摆的稳定平衡点；在较小时，轨线为圆形e 闭合回线，表明复摆作简谐振动19； 当增大时，轨线将偏离圆形，系统运动表现出非线性特征

40、，能量越高，回e 线越扁；当=1 时复摆实际振幅已达到，这相当于单摆的竖直倒立位置，是e 一个不稳定的平衡点16,18； 当1 时轨线不再闭合，表明单摆在竖直面上顺时针或逆时针旋转。e 图 3-3 无驱动力无阻尼任意摆角复摆相图 3.2.2 无驱动力有阻尼的复摆运动 (1)小角度阻尼复摆 无阻尼的复摆运动只是一种理想情况，实际的复摆系统总是或多或少地存在 阻尼11，阻尼的存在将使保守系统封闭的相图遭到破坏。模拟时取无量纲阻尼系 数=0.05，无量纲驱动力振幅=0，结果显示在图 3-4 中。f 由图 3-4 可以看出，由于阻尼的存在，能量耗散，复摆的振幅越来越小，直 到停止在复摆的平衡位置。这种

41、正阻尼的振荡的相图为一根内旋的螺线(见图 3-4)， 曲线不再闭合，随着振幅逐渐减小，速度越来越慢，直至停摆。无论初始的位置 如何，复摆最终都会趋向螺旋线的中心，相图上螺线的中心为阻尼复摆运动的吸 引点，称为吸引子19。由于中心点是不动点，所以又称不动点吸引子或者定常吸 引子。 图 3-4 复摆作阻尼振动时的振动曲线和相轨迹 (2)任意角度阻尼复摆运动 由(3-4)式得到无驱动力有阻尼时复摆的运动方程为： (3-9) 2 2 2sin0 dd dd 由于式(3-9)比式(3-5)式多出这一耗散项，复摆无论从什么状态出发，2 d d 都要经阻尼振荡，最后静止下来，反映在相图3-5 上，可以看出，

42、小振幅下的阻 尼振荡轨线将不再是闭合回线，而是对数螺线，终结于不动点(0,0)，也是图 3-5 闭合回线的中心点，称为不动点吸引子。大振幅下，在相空间中从某点出发的轨 线不再象图 3-3 那样左右对称，而是倾斜地流向相应区域中心的吸引子，每个吸 引子都有自己的吸引域，图中相邻的吸引域相差角度为，吸引域的中心就是2 复摆运动的稳定平衡点，也是复摆运动势能最低点，这说明阻尼复摆经过无限长 时间的运动后，最终会停在势能的最低点。 当角速度=0 时，有两类平衡点，一类是(,0)，,是 d d k2kn1, 2n 稳定状态；另一类是(,0)，,是不稳定状态。如果初始值k21kn1, 2n 和较小，复摆不

43、能到达(,0)位置时，这时它只在平衡位置(0,0)附近左右 0 d d 0 摆动，最后静止于(0,0)。如果初始角速度较大，复摆可以绕过(,0)位置， 0 d d 达不到位置(,0)时，则在(,0)的位置上进行左右摆，最后静止(,0)。如果322 给出的初始角速度更大，它可以绕支点转上几圈，再变为左右摆动，最后静止于( ,0)，但决不可能一直绕支点转圈子，永不成为左右摆动。n4,6n 理论分析认为，当初始条件(,)刚好可以使复摆到达(,0)位置，应静 0 d d 0 止到这个位置上。但实际上过这一点很难实现，因为平衡点是不稳定的。若开始 时，复摆位于(,0)处，可能顺时针下落在(0,0)附近，

44、复摆最后静止于(0,0)，也可 能逆时针下落，在位置(,0)处左右摆动，最后静止于(,0)，其他情况可进行22 类似讨论13。 通过以上分析可知，无论初始条件如何，相轨线都会倾斜地流向相应区域中 心的吸引子，这说明阻尼复摆经过无限长时间的运动后，最终会停在势能的最低 点，而不会出现混沌运动现象。 图 3-5 无驱动力有阻尼任意摆角复摆相图 3.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动 复摆在角位移较小的情况下可作为理想的线性谐振子来处理，但如果考察其 在驱动力作用下任意角位移下的运动，并考虑阻力，则其运动方程中将出现非线 性项。本节研究表明复摆的强迫振动在一定条件下一步一步地由倍周期分岔走向

45、 混沌，并分析了其混沌解的特征，得到了几种情况下的混沌吸引子17。 如果考虑受驱复摆方程的弱非线性项，即摆角不大时取的级数的前两项，sin ，这时式(3-4)可以近似化为： 3 1 sin 6 (3-10) 2 3 2 cos dd abcf dd 其中是无量纲角位移，为无量纲时间，为无量纲驱动力，为无量纲f 驱动力矩的角频率。由式(3-10)可知，该复摆是一种特殊形式的杜芬振子，非线 性方程是杜芬(duffing)方程17： (3-11) 2 3 2 cos d xdx xxft dtdt 为了简便起见，不失一般性，我们研究一个由受驱弱非线性复摆演化得到的 杜芬方程形式，取=-1，=1，则式

46、(3-11)可化为：xt (3-12) 2 3 2 2cos dd f dd 对于(3-12)式这样的非线性微分方程没有解析解，只能利用计算机求其数值 解。我们利用 matlab 软件中的 ode45 命令来对非线性方程(4-1)求解，然后作图。 从非线性方程(3-12)来看，三个独立参量，和若任意取值，如果同时绘制f 出各种组合的相图，它们将在相平面上相交缠绕，而无法分辨。可固定两个参量 的值，使另外一个参量变化，来观察相轨迹的规律。 当复摆受一周期性驱动力作用时，随着驱动力幅度的变化，复摆的运动情况 也将变得非常复杂。取无量纲阻尼系数，无量纲驱动力频率，模拟0.41 结果显示，在较小时，相

47、空间的轨线接近圆形，且正负半周比较对称，如图 3-f 6(a)所示，此时复摆仍然是稳定的单倍周期运动，即振动周期与驱动力的周期相 同。随着增大，相空间的轨迹变得越来越扁且左右不对称，一端明显突出，但f 仍然是单周期运动，如图 3-6(b)所示。 图 3-6 受迫阻尼复摆单周期相图 继续慢慢增大，运动更加复杂，当增加到 0.55 时，系统发生第一次倍周ff 期分岔，复摆由一倍周期运动进入二倍周期运动，即在驱动力的两个周期内运动 才恢复原状，如此周而复始地运动下去，如图 3-7 所示。在=0.575 时，再次发f 生倍周期分岔，二周期运动进入四倍周期运动，见图 3-8，复摆运动每隔 4 个驱 动周

48、期重复一次，相轨迹在二维环面上转 4 圈后闭合。由此可见，如果驱动力的 振动周期用表示，随着驱动幅度的增加，复摆运动出现倍周期分岔现象，由t ，相空间的环面由 1 环分岔到 2 环，2 环再分岔到 4 环。124ttt 图 3-7 单周期振动曲线及相图(,)120.80.53f 图 3-8 二倍周期振动曲线及相图(,)120.80.55f 图 3-9 四倍周期振动曲线及相图(,)120.80.575f 随着外驱动力的增加，分岔数迅速增加。当的值增加到 0.585 时，如图ff 4-10 所示，复摆仍进入一种准周期运动状态，分岔的数目已经无法判断。这种倍 周期分岔现象是非线性问题所特有的。 图

49、3-10 准周期振动相图及相图(,)120.80.585f 当增至 1.128 时，振动情况非常复杂，如图 4-11，此即为复摆混沌运动的f 奇怪吸引子，此时复摆的相轨迹局部不稳定，但全局稳定，复摆逐渐脱离周期运 动，其运动不再是纯粹的振动，而是开始出现了小幅转动，相空间的轨线在特定 的区域无规则地绕来绕去，开始出现混沌运动的趋势。 图 3-11 混沌振动曲线及相图 (,)120.81.128f 由图 4-11 可以看到相图有两个稳定平衡位置，复摆围绕一个稳定平衡位置振 动若干次以后，转而围绕另外一个稳定平衡位置振动若干次，然后又跳回原平衡 位置振动若干次，这样来回振动，虽然每次轨迹都不重合，

50、但最终被吸引到相图 中的某一点附近运动。 如果继续增加驱动力，我们会发现复摆系统又逐渐恢复到简单运动，如图f 4-12，系统开始进入单周期运动，如图 4-13，系统完全进入单周期运动。 图 3-12 混沌系统单周期振动曲线及相图 (,)120.81.28f 图 3-13 混沌系统单周期振动曲线及相图 (,)120.81.3f 如果进一步增加驱动力，当驱动力很大时，系统又会出现混沌运动状态，ff 如图 3-14 所示，由它的运动曲线可以清楚地看出，此时复摆已不是完全在平衡位 置附近的周期振动，而是一会儿做振动，一会儿做转动，此时的相轨迹在某一位 置缠绕多圈后又转入到另一处缠绕，轨线不再封闭。混沌

51、运动与周期运动交替出 现，周期中包含混沌运动。 关于复摆系统整体周期运动，我们可以这样理解，当驱动力很大时，其它因 素只在小范围内起作用，相对于整体可以忽略，所以复摆就做与驱动力周期相同 的周期性运动，即复摆做受迫运动，如图 3-4。 图 3-14 混沌周期振动曲线及相图 (,)120.810000f 另外当驱动力增加到 1.128 时，系统对初始条件非常敏感， 图 3-15 所示f 的位移曲线是时初始值为，和初始值为，1.128f 0 1x 0 /1 t dx dt 0 1x 的情况，初始值有微小的变化，可以看到，振动曲线不规则，而且 0 /1.01 t dx dt 没有一定的周期，在初始阶

52、段，初始值稍微不同的两段曲线几乎完全重合，但经 过最初几个回合的振动，两者便呈现出了极大的差异，时而靠近，时而远离，其 行为不可预测，呈现随机性，即在长时间运动后一个确定的运动变成无法预言的 “随机”行为，此种现象被称为“蝴蝶效应” 。这种“貌似无规”的混沌运动实 际是确定性系统中内在的随机行为，它反映了某种内在的结构特征。 图 3-15 初值稍微改变的振动曲线 (,)120.81.128f 另外我们还研究了，和取不同值时复摆的相轨迹。当，1f1 ，（相轨迹如图 3-16）和,，（相轨迹如图 3-0.221f 10.16.2f 17）时，复摆也作混沌运动。奇怪吸引子的存在表明混沌轨道运动的具体

53、位置虽 然具有对初值的敏感依赖性，但轨道的大体位置是在吸引子上。 图 3-16 奇怪吸引子(，）10.221f 图 3-17 奇怪吸引子(，）10.16.2f 3.3 本章小结 本文从复摆的运动方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运 动转化为混沌运动的过程。 非线性动力学中提出的混沌概念是经典物理学领域中出现的前沿课题，本文 拟利用复摆这一常见模型显示其从周期运动变为混沌运动的全过程。 复摆运动在角位移较小的情况下通常只是作为谐振子来处理，它属于线性系 统，这是一个理想模型。如果考察其在任意角位移下的运动，则其运动方程中将 出现非线性项。利用计算机进行迭代求解，取不同的参数并观察各个参数对复摆 振动曲线和相空间轨迹的影响，便可以显示复摆系统蕴含着的“内在随机性” ， 在外来扰动力作用下，逐步表现、发展、扩大，并在一定条件下一步一步地走向 “混沌” 。 结 论 本论文利用了 matlab 软件研究混沌运动的主要特征及性质，并对复摆的运动 行为及混沌现象进行计算机模拟，分别对各个系统模型求解并作图分析，从中可 以看出混沌的特点以及形成过程；通过对复摆振动中的混