3.3.3动态几何

1、 商水一中商水一中 数学教研组数学教研组 图形中的点、线的运动，构成了数学中图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题的一个新问题动态几何。它通常分为三动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。种类型：动点问题、动线问题、动形问题。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本的条件，给出一个或多个变形的面积为基本的条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件下为定量时，进行相关的几变量在一定条件下为定量时，进行相关的几何计算、证明或判断。何计算、证明或判断。

2、， 在解这类题时，要充分发挥空间想象的能在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被力，往往不要被“动动”所迷惑，在运动中寻求所迷惑，在运动中寻求一般与特殊位置关系；在一般与特殊位置关系；在“动动”中求中求“静静”，化化“动动”为为“静静”，抓住它运动中的某一瞬间，抓住它运动中的某一瞬间，通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学函数模型或不等式模型

3、，结合分类讨论等数学思想进行解答。思想进行解答。 ， 动点与坐标几何题相结合动点与坐标几何题相结合动点与分类讨论相结合动点与分类讨论相结合一、动点型一、动点型_0,90, 2061的最小值是则上一动点，是边的中点，是边中，如图，在河南中考题例EDECABEBCDACBBCACABCADCBEADBCEF类似的试题有：类似的试题有： 的最小值是则的中点，分别是边动点，点上的一个是对角线，点和分别长的两条对角线如图，菱形荆门PNPMBCABNMACPABCD,86081AMNDPBCN 周长是的，则的最小值为的中点，若分别是上一个动点，是底边点，中，如图，在等腰黄石ABCPNPMBCABNMACP

4、ABCABC2,120082032324A.2 C.4B.D.ANMBPC 此时其最小值一定等于的值最小，使上找一点中点，在是上，在点，如图，已知梯形呼和浩特MNEMMACABECNBCNBCDCADBCADABCD, 2, 8, 4,/08.3 A.6 B.8 C.4 D.10BMNADCE2yaxbxc(0 3)A ，(10)B ，(5 0)C ，APQ ABC中，中，C=90，AC=3cm，CB=4cm， 两个动点两个动点P、Q 分别从分别从A 、C两点同时按顺时针方向沿两点同时按顺时针方向沿ABC的的边运动，当点边运动，当点Q运动到点运动到点A时，时，P 、Q两点运动即停止，点两点运动

5、即停止，点 P、Q的运动速的运动速度分别为度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点。设点P运动时间为运动时间为t(s)、 ABCcm、 当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm；解：（1）CQPCSPCQ212, 121tttt2321解得 23tt2221cmSsstPCQ时，或为当时间(1)当时间当时间t为何值时，以为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm；APQ解：（解：（2）、 ABCcm当2t3时当0t2时当3t4.5时4923322ttts20

6、39495465185422tts41529535425275322ttts解：（解：（3）有）有APQ在在2t3时时在在0t2时时在在3t4.5时时49,231sst有最大值当51232sst有最大值，当415293sst有最大值，当、 所以 S有最大值是 415 技巧点拨技巧点拨: :由几何条件确定函数关系式，关由几何条件确定函数关系式，关键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。直接确定其

7、思维过程为：直接确定其思维过程为： x最大能最大能“逼近逼近”哪个点（数）？最小能哪个点（数）？最小能“逼近逼近”哪个点（数）？哪个点（数）？ 能否等于这个数？能否等于这个数？ 在变化过程中有无特殊点（数）在变化过程中有无特殊点（数）综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后发展的命题趋势。今后发展的命题趋势。 (1)用含用含t的代数式分别表示的代数式分别表示CE和和QE的长；的长；(2)求求APQ的面积的面积S与与t的函数关系式；的函数关系式； (3)当当QE恰好平分

8、恰好平分APQ的面积时，的面积时，QE的长是的长是多少厘米？多少厘米？类似的试题有：类似的试题有：(06吉林省中考题吉林省中考题)A、B是直线是直线l上的两点，上的两点，AB=4厘厘米。过米。过l外一点外一点C作作CDl，射线，射线BC与与l所成的锐角所成的锐角1=60，线段，线段BC=2厘米。动点厘米。动点P、Q分别从分别从B、C同时出发，同时出发，P以每秒以每秒1厘米的速度沿由厘米的速度沿由B向向C的方向的方向运动。设运动。设P、Q运动的时间为运动的时间为t(秒秒)，当，当t2时，时，PA交交CD于于E。 OABCAB，(4 0) (4 3)， ， ，MN，OB，MOAANBCCNNPBC

9、ACPMPt如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点为矩形，点的坐标分别为的坐标分别为，动点，动点分别从点分别从点同时出发，以每秒同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点个单位的速度运动，其中点沿沿向终点向终点运动，点运动，点沿沿向终点向终点运动，运动，作作，交，交于点于点 ，连结，连结，当两动点，当两动点秒时秒时过点过点运动了运动了Pt（1）点的坐标为（点的坐标为（，）（用含）（用含 的代数式表示）的代数式表示）MPASSt(04)t （2）记）记的面积为的面积为 ，求 与 的函数关系式的函数关系式t S（3）当）当秒时秒时，有最大值，最大值是有最大值，最

10、大值是QySQANAQ（4）若点）若点 在在轴上，当轴上，当 有最大值且有最大值且为等腰三角形时，求直线为等腰三角形时，求直线的解析式的解析式OMxyCNP动点与坐标几何题相结合动点与坐标几何题相结合ABEF 解：（1）344tt ， MPA4MAtMA34t13(4)24MPASStt233(04)82Sttt （2）在中，边上的高为即 OMxyCNP(4 3)B，(4 0)A ，（3）322， EF (4 3)B，(4 0)A ， S2t NBC(0)Qy，222224AQOAOQyyCOMNxQ222222(3)QNCNCQy2222232ANABBNQAN解：由（3）知，当有最大值时，

11、此时（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式的中点处，如下图,设则，.为等腰三角形，AQAN2222432y若，则，此时方程无解AQQN222242(3)yy12y 若，即，解得QNAN22222(3)32y1206yy，11(0)2Q，-2(0 0)Q，3(0 6)Q，若，即，解得，在 Q1(0)2，AQ12ykx(4 0)A ，114028kk，当为时，设直线的解析式为，将代入得AQ1182yx直线的解析式为 Q(0 0)，(4 0)A ，(0 0)Q ，xAQ0y x当 为时，均在轴上，直线的解析式为（或直线为 轴）(0 6)，QNA， ，ANQAQ1

12、182yx0y 在同一直线上，不存在，舍去 故直线的解析式为，或当为Q时，AA1.如图如图3， A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA与与O点重合点重合，假设硬币的直径为假设硬币的直径为1个单位长度，个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点恰好与数轴上点 重合，则点重合，则点 对应的实数是对应的实数是类似的试题有：类似的试题有：例例4.（06衡阳市中考题）已知，如图，在直角坐衡阳市中考题）已知，如图，在直角坐标系中，矩形的对角线所在直线解析式为：标系中，矩形的对角线所在直线解析式为：x （1）在）在

13、x轴上存在这样的点轴上存在这样的点M，使，使MAB为等腰三为等腰三角形，求出所有符合要求的点角形，求出所有符合要求的点 M 的坐标；的坐标； （2）动点）动点P从点从点C开始在线段开始在线段CO上以每秒上以每秒 个单位长个单位长度的速度向点度的速度向点O移动，同时，动点移动，同时，动点Q从点从点O开始在线段上开始在线段上OA以每秒以每秒1个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点A移动设移动设P,Q 移动的移动的时间为时间为t秒秒 是否存在这样的时刻是否存在这样的时刻t，使，使OPQ 与与BCP相似，相似，并说明理由；并说明理由； 设设BPQ 的面积为的面积为s，求，求s与与t间的函数关系式，并

14、求出间的函数关系式，并求出t为何值时，为何值时，s有最小值有最小值yCAxBO313yx 动点与分类讨论相结合动点与分类讨论相结合3M1M2M3M5M4（1）易知 (01)A ，( 3 0)C，( 31)B，AB为底边，则 13(0)2M， AB为腰且 MAAB时，由题意可知 2232AMABOM， AB为腰且 MBAB时，由题意可知4432OMOCCM 4( 320)M，由对称性知5( 30)M+ 2， yCAxBOtOPQBCP（2）假设存在这样的时刻假设存在这样的时刻 ，使，使与与相似相似333CPt OQ t OPt，OQOPBCCPOQOPCPBC由由或或得得3313ttt3313t

15、tt或或21 0tt 32t 152t 23t 01t 152t 23t OPQBCP即即或或解得解得或或又又，当当或或时，时，与与相似相似 yCAxBOPQ（2）、）、是否存在这样的时刻是否存在这样的时刻t，使，使OPQ 与与BCP相相似，并说明理由；似，并说明理由；ABQOPQBCPOABCS SSSS矩形3113(1)( 33)3222tttt 223313 3(1)()2228ttt 12t S338当当时，面积时，面积有最小值，有最小值， 最小值是最小值是yCAxBOPQ（2）、 设设BPQ 的面积为的面积为s，求，求s与与t间的函数关系式，并求出间的函数关系式，并求出t为何值时，为

16、何值时，s有有最小值最小值1 1、如图，已知正三角形、如图，已知正三角形ABCABC的高为的高为9 9厘米，厘米，OO的的半径为半径为r r厘米，当圆心厘米，当圆心O O从点从点A A出发，沿线路出发，沿线路ABABBCCABCCA运动，回到点运动，回到点A A时，时，OO随着点随着点O O的运动而停的运动而停止止. .（1 1）当）当r=9r=9厘米时，厘米时，OO在移动过程中与在移动过程中与ABCABC三三边有几个切点？边有几个切点？当当r=9r=9厘米时，厘米时，OO在移动过程在移动过程中与中与ABCABC三边有三个切点三边有三个切点. .ABC类似的题有：类似的题有：（2 2）当）当r

17、=2r=2厘米时，厘米时，OO在移动过程中与在移动过程中与ABCABC三边有几个切点？三边有几个切点？ 当当r=2r=2厘米时，厘米时，OO在移动过程在移动过程中与中与ABCABC三边有六个切点三边有六个切点. .ABC当当r9r9厘米时厘米时, ,没有切点没有切点; ;当当r=9r=9厘米时厘米时, ,有有3 3个切点个切点; ;当当0r90r9厘米时厘米时, ,有有6 6个切点个切点. .（3 3）猜想不同情况下）猜想不同情况下,r,r的取的取值范围及相应的切点个数值范围及相应的切点个数; ;2cm/s90POA90POA90POA1434s t14122412t3t P34解得当点运动的

18、路程为周长的时，122432t解得9t P3s9s当时，点运动的时间为或 P连接OP、PA 当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为 2sBPBAPO（2）如图，当点运动的时间为时，直线与相切理由如下：4 cm cmo24的周长为圆61周长的的长为圆OAP060POA，是等边三角形OAPOAOP,060,OAPAPOAOPABAPOAAB,030BAPBBAPBOAP090APBOPAOPB相切。与圆直线OBPBPOP ， 这类试题的分类讨论有固定的模这类试题的分类讨论有固定的模式，它要求学生通过观察、比较、式，它要求学生通过观察、比较、分析图形的变化，揭示图形之间的分析图形的变化，揭示图形

19、之间的内在联系，要能够根据条件作出或内在联系，要能够根据条件作出或画出图形，从而进行分类画出图形，从而进行分类。 ， 1、线平移型、线平移型2、线旋转型、线旋转型二、动线型二、动线型 ， 1.线平移型线平移型.,1,600 , 407的上方）在点（点的两边分别交于点与菱形的速度运动，设直线个单位长度轴正方向以每秒轴出发，沿从轴的直线垂直于，的坐标为为菱形，点系中，四边形如图，在平面直角坐标中考题锦州市NMNMOABClxylxAOCCOABCNMOCAyxB（1）求 A、B两点的坐标。（2）设 OMN的面积为S，直线l运动的时间为t秒（0t4），试求S与t的函数表达式。FL ， OBMyxAN

20、C ,60, 4,1AOCOCOAAOCRtExBEDxAD中，则在轴于轴于如图，作解： .32 , 6,32 , 2, 32, 2. 32, 2BABECEADOD同理， .23321.3,60,2022tttStMNMONtONOCOAlt两边相交，与时，直线当.33221. 32,42ttSMNtONDCABlt两边相交，如右图与时，直线当 ， 类似的试题有：类似的试题有：（江苏省（江苏省07中考题）如图，平面上一点从点出发，沿射中考题）如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边

21、长；过点且垂直于射线过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动速度运动（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由说明理由（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）数式表示）xyOlBPMA ， 2.线旋转型线旋转型（黑龙江佳木斯市（黑龙江佳木斯市07中考题）已知四边形中考题）已知

22、四边形ABCD中，中， ， ， ， ， ， 绕点绕点B旋转，它的两边分别交旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们（或它们的延长线）于的延长线）于E,F（1）当）当 绕点绕点B旋转到旋转到 时（如图时（如图1），），求证：求证： （2）当）当 绕点绕点B旋转到旋转到 时，在图时，在图2和和图图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF，又有怎样的，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明数量关系？请写出你的猜想，不需证明ABADBCCDABBC120ABC 60MBN MBNMBNAE

23、CFAECFEFMBNAECFBAABCCDDEEFFMM图2图3ABCDEFM图1NNEDEN ， 三、动图型三、动图型1、图形平移型、图形平移型2、图形旋转型、图形旋转型3、图形翻折型、图形翻折型 ，1.图形平移型图形平移型ABCEFG图图2DABCDEFG图图3ABCFG图图1（河北07中考题）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； ， （2）当三角尺沿

24、AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）ABCEFGHDABCDEFG图图3图图2 ， 类似的试题有：类似的试题有：1.（梅州市06中考题）如图，直线的解析式为 与x轴，y轴分别交于点A,B（1）求原点O到直线 的距离；（2）有一个半径为1的 C从坐标原点出发，以

25、每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）当 C与直线 相切时，求t的值443yxl ，llBOCAlxy ， 2.（江西南昌06中考题）已知抛物线 经过点A(0,5)和点B(3,2)（1）求抛物线的解析式；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的圆，问当 P在运动过程中，是否存在 P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若 Q的半径为r，点Q在抛物线上，当 Q与两坐标轴都相切时，求半径r的值2yxbxc ， 2.图形旋转型图形旋转型（湖北武汉07中考题）填空或解答：点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=

26、ED， ，直线AE,BD交于点F（1）如图1，若 ，则 _； 如图2，若 ，则 _；DECBFDECBF图图1图图2DCBAF图图3DECBA F图图4DECBAF图图5BACCED60BAC AFB 90BAC AFB AAE ， （2）如图3，若 ，则 _（用含 的式子表示）；（3）将图3中的 绕点C旋转（点F不与点A,B重合），得图4或图5在图4中， 与 的数量关系是_；在图5中， 与 的数量关系是_请你任选其中一个结论证明EDECBAFDECBAF图图1图图2DCBAF图图3DECBAF图图4DECBAF图图5BACAFB ABCAFBAFBF ， 评析：本题利用图形不变性，探索了等腰

27、三评析：本题利用图形不变性，探索了等腰三角形在旋转过程中的相关角度的关系。问题源于角形在旋转过程中的相关角度的关系。问题源于课本，高于课本，条件由等边三角形弱化为等腰课本，高于课本，条件由等边三角形弱化为等腰三角形，灵活考查了同学们相似三角形的判定与三角形，灵活考查了同学们相似三角形的判定与性质的灵活应用，而且问题设置成从简单到复杂性质的灵活应用，而且问题设置成从简单到复杂渐次展开的形式，使同学们在解决问题的过程中渐次展开的形式，使同学们在解决问题的过程中逐渐认识了问题的本质。逐渐认识了问题的本质。60AFB45AFB1902AFB1902AFB1902AFB +解：（1）（2）（3）图4中：

28、图5中： ， （太原市（太原市07中考题）如图（中考题）如图（1），在平面直角坐标系中，），在平面直角坐标系中，ABCO的顶点的顶点O在原点，点在原点，点A的坐标为的坐标为(-2,0)，点，点B的坐标为的坐标为(0,2)，点，点C在第一象限在第一象限（1）直接写出点）直接写出点C的坐标；的坐标；（2）将）将ABCO绕点绕点O逆时针旋转，使逆时针旋转，使OC落在落在Y轴的正半轴轴的正半轴上，如图（上，如图（2），得），得DEFG（点（点D与点与点O重合）重合）FG与边与边AB，x轴分别交于点轴分别交于点Q，点，点P设此时旋转前后两个平行四边形重叠设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为部分的

29、面积为 ，求，求 的值；的值；（3）若将（）若将（2）中得到的）中得到的DEFG沿沿x轴正方向平移，在移动轴正方向平移，在移动的过程中，设动点的过程中，设动点D的坐标为的坐标为(t,0)，DEFG与与ABCO重叠重叠部分的面积为部分的面积为s，写出，写出s与与t（0t2）的函数关系式（直接）的函数关系式（直接写出结果）写出结果）0S0SxyAC（D）OGPAQFEBxyBCOA图（图（1）图（图（2） ， 三图形翻折型三图形翻折型（山东烟台07中考题）生活中，有人喜欢把传送的便条折成如下图的形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：BMAAAAMMMBBBP如果由信纸折成的长方形纸条（

30、图如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为）长为26cm，宽为，宽为xcm，分，分别回答下列问题：别回答下列问题：（1）为了保证能折成图）为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点的形状（即纸条两端均超出点p），试求），试求x的取值范围的取值范围（2）如果不但要折成图）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点超出点p的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点时起点M与点与点A的距离（用的距离（用x表示）表示） ， 0526x解：（解：（1）由折纸过程知）由折纸过程知 ， 2605x （2）图）图为对称图形，为对称图形，