清华微积分高等数学课件第六讲导数与微分二

1、2021-7-171 作作 业业 6(3) (6) (9) (11) (14) (17). 9(4) (8) (15) (21). 10(8). 11(2). 12(2). P67 3.2 2021-7-172二、高阶导数二、高阶导数第六讲第六讲 导数与微分导数与微分( (二二) )一、导数与微分的运算法则一、导数与微分的运算法则2021-7-173一、导数与微分的运算法则一、导数与微分的运算法则1. 四则运算求导法则四则运算求导法则则则可可导导在在设设函函数数,)(),(xxvxu且且可可导导在在函函数数,)()()1(xxvxu )()( )()(xvxuxvxu 且且为为常常数数可可导导

2、在在函函数数),()()2(CxxuC)( )(xuCxuC 2021-7-174且且可可导导在在函函数数,)()()3(xxvxu )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 且且可可导导在在函函数数,)()()4(xxvxu2)()()()()()()(xvxvxuxvxuxvxu )0)( xv2021-7-175)()(xvxuy 设设)()()()(xxvxuxxvxxu vxuxxvu )()()()()()(xvxuxxvxu 证证 (3)xvxuxxvxuxy )()()()()()()()(limlim00 xvxuxvxuxvxuxxvxuxyyxx 可导必连续可导

3、必连续)()()()(xvxuxxvxxuy 2021-7-176的的导导数数求求函函数数例例2sinlncos24735 xxxxyxxxx1sin212524 解解)2(sin)(ln)(cos2)( 4)(35 xxxx)2sinlncos24(35 xxxxy2021-7-177)cossin()(tan xxxxxxxx2cos)(cossincos)(sin .seccos1cos)sin(sincoscos222xxxxxxx 的的导导数数求求函函数数例例xxftan)(8 解解xxx22cos1sec)(tan 2021-7-1782、复合函数导数公式、复合函数导数公式（1）复

4、合函数微分法（链式法则）复合函数微分法（链式法则）且且也也可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点函函数数可可导导在在点点设设函函数数,)(,)(,)(xxgfyxxguuufy dxdududydxdy 或或)()()(xgxgfdxxgdf 2021-7-179 证证 xyx 0lim xuuyxuuyxux 000limlimlimdxdududy )()(xgxgf 0,0 xx 时时当当不能保证中间变量的增量不能保证中间变量的增量)()(xgxxgu 总不等于零总不等于零上面的证法有没有问题？上面的证法有没有问题？2021-7-1710 证证 可可导导)(ufy )(uf

5、uy)0lim(0 u)(lim0ufuyu 上上式式化化为为时时当当,0 u )1()(uuufy 0)()(,0 ufuufyu 时时当当(1) 式仍然成立！式仍然成立！xuxuufxy )(2021-7-1711xuxuufxyxxxx 0000limlimlim)(lim )()(lim)(0 xgufxydxxgdfx 0limlim00 ux)()()(xgufdxxgfd 连连续续可可导导)()(xguxgu 00ux 2021-7-1712（2）微分的形式不变性）微分的形式不变性(复合函数微分法则复合函数微分法则)且且其其微微分分为为也也可可微微则则复复合合函函数数函函数数均均

6、为为可可微微和和设设函函数数,)(,)()(xgfyxguufy dxxuufduufdy)( )( )( xxgfdyx )(证证xxgxgf )()( duuf )(有有时时当当,)(xxgu xxxgdu )(xdx 2021-7-1713我我们们将将微微分分写写成成因因此此对对于于自自变变量量,xdxxfxxfxdf)()()( dxxfxdf)()( uduxxgu ,)(时时当当不能将微分写成不能将微分写成对于中间变量对于中间变量),(xuu uufxudf )()( dxxuufduufxudf)( )( )()( 的函数，微分形式不变的函数，微分形式不变还是中间变量还是中间变量

7、是自变量是自变量不论不论uxy但有但有 微分的微分的形式不变性形式不变性2021-7-1714.11123的的导导数数求求函函数数例例 xxy解解 11112321xxdxdxxdxdy221)1(21123 xxx2521)1()1(3 xx2021-7-171542,ln xvtgvuuy设设xvuxxtgvuy)42()()(ln .)42lntan(2的的导导数数求求函函数数例例 xy解解21cos112 vu21)(cos1)(142242 xxtg)sin(12 xxcos1 xsec 2021-7-1716.)1ln(32的的导导数数求求函函数数例例 xxyxxxxxxy)1(1

8、122 1111112222 xxxxxx)1(11122xxxx 解解)1(121111222xxxxx 2021-7-1717.ln4的的导导数数求求函函数数例例xy 时时当当时时当当0, )ln(0,lnlnxxxxxyxxyx1)(ln,0 时时当当 )ln(,0 xyx时时当当)0(1)(ln xxxxxx1)(1 解解.lnln同同的的导导数数公公式式有有相相与与xx)()( )(ln)(lnxfxfxfxf 2021-7-1718.,1中中间间变变量量都都便便于于求求导导应应使使每每一一个个地地选选取取中中间间变变量量恰恰当当在在于于分分析析清清楚楚函函数数关关系系关关键键：复复

9、合合函函数数求求导导数数时时注注意意.,2就就用用什什麽麽求求导导法法则则什什麽麽运运算算碰碰到到四四则则运运算算的的函函数数关关系系时时又又有有：当当遇遇到到既既有有复复合合运运算算注注意意2021-7-17193. 反函数求导法则反函数求导法则)(1 )(,)()(, 0)(,11xfyfxfyyyfxxfxfx 且且可可导导在在反反函函数数则则它它的的且且可可导导在在单单调调且且严严格格的的某某邻邻域域连连续续设设函函数数在在2021-7-1720的的导导数数求求函函数数例例xxfyarcsin)( 解解2211 yxyxxysin,)1, 1(arcsin 存存在在反反函函数数增增加加

10、且且严严格格上上连连续续在在yyxcos1)(sin1)(arcsin 2211sin11xy 由反函数由反函数求导法则求导法则2021-7-17214. 隐函数求导法隐函数求导法定义：（隐函数）定义：（隐函数）.0),()(,0),(,.,的的隐隐函函数数确确定定是是方方程程或或关关系系则则称称此此对对应应对对应应唯唯一一的的由由方方程程若若设设有有非非空空数数集集 yxFxfyfYyyxFXxRYX0)(, xfxFXx有有的的解解必必是是方方程程确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程注注意意0),()(0),( yxFxfyyxF2021-7-1722.),(0),(可可导导并并且且函函数

11、数隐隐函函数数能能够够确确定定假假定定方方程程fxfyyxF ?,)(如何求出导数如何求出导数的情况下的情况下问题：在不解出显式问题：在不解出显式xfy 隐函数求导问题的提法隐函数求导问题的提法2021-7-1723.,0)(,(),(,0),(xyxxyxFxxfyxyyxF 解解出出求求导导两两边边对对的的恒恒等等式式：关关于于于于是是方方程程可可看看成成的的函函数数：看看成成把把中中在在方方程程.,求求导导法法则则因因此此需需要要应应用用复复合合函函数数的的函函数数是是要要注注意意注注意意：左左端端求求导导时时xy 隐函数求导法隐函数求导法2021-7-1724得得求求导导方方程程两两边

12、边对对,x)2(02sincos3cos)(22223 xxxxxyxyyyexy.),(01cos 123xxyyxfyxxye 求求隐隐函函数数确确定定由由方方程程例例解解)1(0)1()cos()(23 xxeyyexyxy得得解解出出,y )1(sincos6cos2222223xyeeyxxxxyxyxy ?)0(: y问问0)0(1)0( yy2021-7-17255. 参数方程求导法参数方程求导法参参数数方方程程)1(2, 0sincos1 ttbytax椭椭圆圆：例例0,)cos1()sin(2 atayttax摆摆线线：例例aa 22021-7-17262, 0sincos333 ttaytax星星形形线线：例例a内旋轮线内旋轮线0,323232 aayx隐隐函函数数方方程程：2021-7-17270120(2) 参数方程求导法参数方程求导法?dxdy如如何何求求).()(, 0)(,)(),(1xttxttt 存存在在可可导导的的反反函函数数且且都都存存在在设设确确定定由由参参数数方方程程：设设函函数数 )()()(tytxxfy 2021-7-1728的的复复合合函函数数成成为为通通过过xty)(ty 分析函数