大学概率论与数理统计第一章随机事件

1、概率论与数理统计第第1 1章章 随机事件与概率随机事件与概率本章主要内容本章主要内容：1.概率的概念与性质概率的概念与性质2.事件的关系与运算性质事件的关系与运算性质3.古典概型概率的计算古典概型概率的计算4.加法公式、条件概率、乘法公式加法公式、条件概率、乘法公式5.事件的独立性、伯努利概型事件的独立性、伯努利概型重点：古典概型、概率的计算重点：古典概型、概率的计算难点：事件的关系和运算难点：事件的关系和运算 条件概率、伯努利概型条件概率、伯努利概型教学资源：教学资源： 1 中央电大在线平台上有分章节的文字辅导中央电大在线平台上有分章节的文字辅导材料和材料和6讲讲ip课件，学员需注册才能进入

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3、1 随机现象与随机事件 事件有多种不同的结果，在同样的条件下进行一系列重复试验，每次出现的结果都不能预先确定的事件称为随机事件。 随机现象在每次试验中的结果虽然是不确定的，但在大量重复试验下，各种不同结果出现的可能性的大小是具有规律性的。 例如，统计大量的新生儿的性别，男、女约各占50，多次抛一枚均匀的硬币，正、反面出现的次数约各占50。为研究随机现象的统计规律性而进行的试验称为随机试验。用字母来表示。 随机试验具有下面三个特点： 1.在相同条件下可以重复进行； 2.试验前不能确定出现哪种结果； 3. 能够知道可能出现的所有结果。在随机试验中出现的每一个结果，称为随机试验的基本事件。全体基本事

4、件组成的集合称为样本空间。例如，上面举过的例子中， 和样本空间的子集称为随机事件。因此，随机事件是指随机试验出现的一种结果或几种结果的总和。用a、b、c等表示。样本空间表示必然事件，空集表示不可能事件。女男,u反面正面,u1.1.2 事件的关系和运算1。事件的包含和相等 如果事件a发生必然导致事件b发生，那么称事件a包含于事件b，或称事件b包含事件a，记作例如，掷一枚骰子， 如果 ，同时 ，则称ab2。事件的和 事件a发生或事件b发生，称为事件a与事件b的和，记作ab。 事件a发生或事件b发生，换句话说，就是事件a和事件b至少有一件发生。bababa,2出现偶数点点出现baab 例如：分析下列

5、事件的关系 随机抽查一批产品的质量，记 a抽到三个不合格产品 b抽到两个以上不合格产品 抛两枚硬币，记 c不出现反面朝上 d两个都是正面朝上解：事件a发生则事件b一定发生了，所以抛两枚硬币，不出现反面朝上，即出现两个正面，显然cd。ba 以直径和长度两项指标衡量产品的质量，设a零件直径不合格，b零件长度不合格,e零件不合格, 试用事件a、b表示e。 解：事件e发生，表示或者事件a发生或者事件b发生或者事件a、b同时发生，即事件a、b至少有一件发生。故 eab再例如，从一批产品中任意取出2件，a1恰好有1件是次品，a2恰好有2件是次品，b至少有1件是次品。 至少有1件是次品的意思是说，恰好有1件

6、是次品，或者2件都是次品。因此 ba1 a23。事件的积 事件a和事件b同时发生，称为事件a与事件b的积，记作ab例如，还是测量零件，设c零件的直径合格,d零件的长度合格,f零件合格。试用事件c、d表示f解：只有零件的直径和长度都合格，零件才算合格，事件f发生时，事件c、d都要发生。也就是说，事件c、d同时发生，才表示事件f发生。所以fcd。4。事件的差 事件a发生而事件b不发生，称为事件a与事件b的差，记作ab。互不相容事件如果事件a与事件b不可能同时发生，则称事件a与事件b互不相容或互斥。显然：ab。对立事件与完备事件组 对立事件是一种特殊的互不相容事件。如果事件a与事件b不能同时发生，而

7、事件a与事件b又必发生其一。则称事件a和事件b是对立事件，即事件a是事件b的反面，称为b非，记作事件a与事件b互为对立事件是说它们满足ab，ab。 显然，ba abba且aauaaaa, 现在让我们来重新认识事件的差。 事件的差 ，而可见，事件ab和事件ba是不同的。 如果有n个事件 两两互不相容，而他们的和是必然事件，则称事件 构成一个完备事件组。1.1.3 事件间的关系和运算性质 事件与集合通常用相同的表示方法表示。事件间的关系与集合间的关系具有很大程度上的相似，具体内容见下表。babaababnaaa,21naaa,21表1 事件的运算律baabbabaaauaaaaauaauuaaaa

8、aaababaabbbaabacababcaacabcbabcacabcbacbabaababba摩根律对立律吸收律重叠律包含律分配律结合律交换律求积求和,)()()()()()(讲解例题 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设a1第一枚击中飞机，a2第二枚击中飞机试用a1，a2及它们的对立事件表示以下事件： b两弹都击中飞机，c两弹都没有击中飞机,d恰有一弹击中飞机，e至少有一弹击中飞机解：ba1a2， ,d ，ea1a2其中b与c，b与d，c与d，c与e都是互不相容事件，c与e是对立事件。21aac2121aaaa1.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1.2.1 概率的统计意义 随

9、机事件在随机试验中发生的可能性大小的数值称为概率。 在条件不变的情况下重复进行n次试验，事件a发生了m次，那么m称为a事件发生的频数，比值 称为事件a发生的频率，用fn(a)表示。 如果当n足够大时，事件a的频率fn(a)在一个常数p(0p1)附近摆动，则称事件a为随机事件，p为事件a在该条件下发生的概率，记作p(a)p 必然事件 p(a)1 不可能事件 p(a)0nm概率具有如下性质。性质1 对于任一事件a，这是因为，任一事件a的频数m0，mn。性质2 性质3 对于有限个两两互不相容的事件 即推论 如果 则1)(0,lim)(apnmapn1)(0ap0)(, 1)(pupnaaa,21nk

10、nkkkapap11)()()()()()(2121nnapapapaaapba)()(bpap)()(, 0)()()()(,bpapbapbpbapapbbaaba而1.2.2 古典概型 古典概型是指等可能事件的概率模型。 如果一次试验有n种可能的结果，且这n种结果出现的可能性都相同，而事件a包含了这n种可能中的k种可能，则事件a发生的概率为p(a)kn，这种概率称为古典概率。例1掷一枚骰子，求c4,5,6和d4,6的概率。解：掷一枚骰子出现的点数有6种可能，这6种点数的可能性是相同的，属于古典概型。其中c占了3种可能出现的情况，d占了2种可能出现的情况，故p(c)36，p(d)26。例2

11、：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概率。解：n10000，k1210100113 p(a)kn113100000.0113 在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合数的计算方法。求古典概率的一般方法 求出随机试验一共有多少种不同的结果n，如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。 求出事件发生包含了多少种不同的结果k， 则 p(a)kn例3：设5个产品中有个2一级品，3个二级品，从中任取2个产品，求 全是一级品的概率， 一个一级品，另一个是二级品的概率。解：从5个产品中任取2个产品的取法共有c2510种 全是一级品的取法有c22

12、1种，p11/100.1 一个一级品，另一个是二级品的取法有c12c136，p26100.6例4 从装有4个白球、3个黑球的袋中任取3个球，求至少有2个白球的概率。解：设a1恰好有2个白球，a23个都是白球，则a1a2。a至少有2个白球，aa1a2从袋中取球的总取法为，满足a1的取法为，满足a2的取法为 ,则希望通过这道题，能对排列组合的计算加深理解。 3532156737c18361324cc432123434c354)(,3518)(21apap35223543518)()()()(2121apapaapap推论2 当 时，有p(ba)p(b)p(a)注意，一般情况下 p(ba)p(b)p

13、(a)，应为p(ba)p(b)p(a)，例如，从19这9个数字中任取一个数，求这个数能被2整除但不能被3整除的概率。解：记a能被3整除，b能被2整除， 则ba能被2整除但不能被3整除， a=3,6,9,b=2,4,6,8,b-a=2,4,8, p(a)3/9，p(b)4/9，p(ba)3/94/93/9baab-abb-aaba1.3 随机事件概率的计算1.3.1 加法公式 狭义加法公式狭义加法公式 两个互不相容事件a，b之和的概率等于这两个事件概率之和。 p(ap(ab)b)p(a)p(a)p(b)p(b)例1 掷一枚骰子，求出现1点或6点的概率。解：设a=出现1点，b=出现6点，ab显然互

14、不相容出现1点或6点的事件就是abp(ab)p(a)p(b) 推论推论11 设a为随机事件，则如果直接计算a的概率有困难，可以通过来计算。316161)(1)(apapa例2. 某射手连续射击2枪，已知至少一枪中靶的概率为0.8，第一枪不中靶的概率为0.3，第二枪不中靶的概率为0.4，求 两枪均不中靶的概率， 第一枪中靶而第二枪不中靶的概率。解：设a1第一枪中靶，a2第二枪中靶, 则p(a1a2)0.8， 10.80.2 第二枪不中靶包括第一枪中靶而第二枪不中靶和两枪均不中靶两种情况，而且它们是不相容的4 . 0)(, 3 . 0)(21apap)(1)()(212121aapaapaap2

15、. 02 . 04 . 0)()()(21221aapapaap2003年1月试题填空题3 若 p(a)=0.8，p( )=0.5，则p(ab)3 . 0ba,)(:baabbbaa解,是互不相容的与且baab),()()()(bapabpbaabpap3 . 05 . 08 . 0)()()(bapapabp 广义加法公式广义加法公式 对于任意两个事件a，b，有 p(ap(ab)b)p(a)p(a)p(b)p(b)p(ab)p(ab)例3 甲设备故障率为0.82，乙设备故障率为0.74，两设备同时出故障的概率为0.63，求至少有一个设备出故障的概率。解：设a=甲设备出故障，b=乙设备出故障，

16、ab 两设备都出故障，ab至少有一设备出故障p(ab)p(a)p(b)p(ab) 0.820.740.630.931.3.2 条件概率和乘法公式条件概率在指在某事件b发生的条件下，事件a发生的概率。例如， 袋中有球如右表：从中取出一个球，如果已知取出的是白球，求它是玻璃球的概率。解：设b=取出白球，a=取出玻璃球由于白球中有1个木球，3个玻璃球，因此取出玻璃球的概率为3/4，而不是7/10或3/10。这就是条件概率。条件概率表示为p(a|b)例如上例：4321玻璃球木球红球白球)()()|(bpabpbap434 . 03 . 0)|(bap 乘法公式乘法公式 设p(a)0，p(b)0，则事件

17、a,b之积的概率等于其中一事件的概率乘以在此事件发生的条件下另一事件发生的条件概率。 p(ab)p(ab)p(a|b)p(b) p(a|b)p(b) 或 p(ab)p(ab)p(b|a)p(a) p(b|a)p(a) 例8 盒中有10只晶体管，其中6只正品，4只次品，从中不放回地任取两次，求两次都取到正品的概率。解：设a=第一次取到正品，b=第二次取到正品，ab两次都取到正品，第一次取到正品后盒中只有9只晶体管，其中5只正品，4只次品。p(b|a) ，p(ab)p(b|a)p(a)953110695现在我们来看一个日常生活中常遇到的问题。10个人抽签取一张奖券，第一个人抽签时有10张签，抽中的

18、概率是，第二个人抽签时只有9张签了，他抽中的概率是不是，比第一人的机会大呢？答案当然是不比第一人抽中的机会大。因为他是在第一人未抽中的条件下抽中的概率才为，而第一人未抽中的概率为，因此，他抽中的概率为：其中，b=第一人未抽中，a=第二人抽中同样，第三人抽中的概率为：可见，先抽后抽机会均等。10110991)()|()(bpbapabp101911099110110998811.3.3 全概率公式 全概率公式全概率公式 若 构成一个完备事件组，且 ，则对任意事件a，有当 已知或容易计算时可用此式求p(a)。例10 袋中有10个球，其中只有2个红球，不放回地取出2个球，求第二次取到红球的概率。解：

19、设 a=第二次取红球， b=第一次取红球， =第一次没取到红球， niiiapaapap1)()|()(naaa,21), 2 , 1( , 0)(niapi)|()(iiaapap和,92)|(,108)(,91)|(,102)(bapbpbapbpb511089210291)()|()()|()(bpbapbpbapap例12 某厂有4条流水线，产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02，从出厂产品中随意抽取1件，求取到次品的概率。解：设 a=取到次品，ak=取到第k条流水线的产品p(a1)=15，p(a2)=20，p(a3)=30

20、，p(a4)=35，p(a|a1)=0.05，p(a|a2)=0.04，p(a|a3)=0.03，p(a|a4)=0.02，于是 )|()()|()()(1141aapapaapapapiii)|()()|()()|()(443322aapapaapapaapap02. 035. 003. 03 . 004. 02 . 005. 015. 00315. 01.4 伯努利概型1.4.1 事件的独立性 如果两个事件的发生与否相互之间不产生影响，则称这两个事件相互独立。 例如，袋中有5个白球、3个红球，从中取2个球，如果第一次取球后不放回，第二次取球时，各种颜色的球数发生了变化，两次取球之间就有影响

21、(概率发生了变化)。如果第一次取球后放回，两次取球之间就没有影响了，是相互独立的。 如果事件a与b相互独立，则：p(ab)p(ab)p(a)p(b)p(a)p(b)，反之亦然。一般地说，有放回地取物都是相互独立的。例2 一个骰子掷两次，两次都出现1点的概率是多少解：设a1=第1次出现1点，a2=第2次出现1点a1,a2是相互独立的。设a=两次都出现1点，aa1a2p(a)p(ab)p(a)p(b)例3 甲乙二人考大学，甲考上的概率为0.7，乙考上的概率为0.8，两人都考上的概率是多少？至少有一人考上的概率是多少？解：设a=甲考上，b=乙考上，c=两人都考上，d=至少一人考上。则cab，dab，ab相互独立p(c)p(ab)p(a)p(b)0.70.80.56p(d)p(ab)p(a)p(b)p(ab)0.9436161612003年1月试题计算题4 机械零件的加工有甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率。解：设a1=甲工序是合格品，a2=乙工序是合格品则a1与a2相互独立，设a=产品