详解数列求和的方法+典型例题

1、详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n项和公式n(a-i an)n(n 1)dSnnai2 22、等比数列的前n项和公式nai(q1)Snai(1qn) ai aq(q 1)1 q1 q3、常用几个数列的求和公式n1 /1)(1)、Snk123n-n(nk 12(2)、Snnk212 22322 n丄n(n1)(2n1)k 16(3)、Snnk313 23333 nG n(n1)2k 12第二类：乘公比错项相减(等差 等比)

2、这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例1 ：求数列nqn J ( q为常数)的前n项和。解：1、若q=0,则 Sn =0n、若q=1，则 Sn12 3n(n 1)若q丰0且q丰1,则Sn1 2q 3q2n 1nqqSn q 2q23q3nnq式一式:(1 q)Snn 1nq nqSn1(1qn nq )Snn nq )Sn1 qn(1 q)2nqn1 q综上所述：Sn0(q 0)1n(n 1)(q 21 qn(1 q)21)nnq (q1 q0且 q 1)解析：数列nqn 1是由数列n与qn对应

3、项的积构成的，此类型的才适应错位相减,（课本中的的等比数列前 n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。如:裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的通项分解（裂项）1、乘积形式，如：(1)、an1 丄 n(n 1) n(2)、an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 1(2n 1(3)、ann(n 1)( n 2)(n 1)(n 2)n ann(n 1)1 2(n1) n 1nn2 n(n 1)21(n 1)2n2、根式形式

4、，如:an则：SnSnSn1111 22 33 4=111) nn 11 111 112 233n)1n 11111 32 43 511 11 、=(-)n(n 2)2 nn 2111(1 -)(-)324(1 11(1 2n 1n 2)11例2:求数列例3:求数列解：由于:122n 4123(-nSn 1Sn1解：-n(n1，的前n项和Snn(n 1)1，的前n项和Snn(n 2)宀)4 2n 2解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候, 两项，还是像例 3 一样剩下四项。尤其要注意：究竟是像例2 一样剩下首尾第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来

5、排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an)。例4:若函数f(x)对任意x R都有f(x) f (1 x) 2。(1) anf(0) f)f(-)f(口) f(1)，数列%是等差数列吗是证n nn明你的结论；1(2) 求数列的的前n项和Tn。an a n 1解:（1）、an f(0)f(-)f(-)f(n1-）f（1）（倒序相加）nnnan f(1)f(n 1)f(n-2)f)f(0)nnn1 01 n 12 n21nnnn则，由条件:对任意 xR都有f(x)f(1x)2。2an 22222(n 1)an n 1 an 1 n 2an 1 an 1从而：数列an是a12,d1

6、的等差数列。(2)、an an 11(n 1)(n 2)TT1(n 1) (n 2)1 1 Tn =231 n2 n 2 2n 4故: Tn=2n 4解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。 在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个1例5:求数列+n 2nn(n 1)1的前n项和Sn解：令Snbj (a2 b2)(a3b3)(an bn)Sn(a1

7、a 2 a3an) (b1 b2 b3bn)1式一式:(12)Tn22232n2nTn(122 232n2n)Tn2nTn故: Sn1(TT n2n)(n1) 2n(1(n 1)2n(n1) 2例6:求数列分析：将an解：an (xnSn x221 (xn )2的前n项和Snx(xn 4t)2用完全平方和公式展开,x1 2 n 2n)=(x )2 xx1 22x再将其分为几个数列的和进行求解。x4 21nx1 4L)4x(Axx2 2n1 =x2n2n2 (丄)2nxx2n 2Sn(x2(2 22)(1)2x(-)2nxWxnx2n11111 1Sn(1)(1 2 2 3 22n 2n 1)2

8、233n n1Sn(11-)(122 3 22n 2n 1)n1令Tn1 22322n 2n 12Tn2 222323n 2n 11 1（首项x2，公比x2等比数列）（常数列）（首项（-）2，公比（丄）2等比数列）xxI、令 Tn x2x4x2n x 1 时，Tn x2 x4x2n=111 n x 1 时，Tn x2 x4x2n22n22n 22xxxxx1 x2x21n、令 M n 222 2n川、令Gnxx(-)2nxx1时，Gn(-)2xx()2n 1 11 nxx1时，Gn(丄)2x(1)4x(l)2nx(丄)2xd)2nx(丄)x211x2n 2 x222n 222n 2=xx= x

9、 x1 d)2xx21x212 x2 x2n 222xxx2z 2n x (x1)2 2n 222n 2 z 2XX x 1 x x (x 1)2n=x 1x (x 1)综上所述： x 1 时，Sn Tn M n Gn n 2n n 4n x 1 时，Sn TnMnGnx2n22n2nx 1x (x 1)这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式， 再代入公式求和。例7:求数列9, 99, 999,的前n项和Sn解:由于:an10n 1则：Sn999 99Sn(1011) (102 1)(103 1)(10n 1)Sn(101102 10310n) (11 1 1)1010n 10分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 an 10n 1可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。nSn1 10n 110 109解：由于:则：Sn=(1= 1n(n2=1 n(n224131