麦克斯韦速率分布律

1、麦克斯韦速率分布律第三讲第三讲麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律气体分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子的平均碰撞频率和平均自由程麦克斯韦速率分布律本次课内容本次课内容7-5 7-5 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律7-7 7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程分子的平均碰撞次数和平均自由程麦克斯韦速率分布律7-5 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。度的方

2、向，则叫麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律:1、速率分布率速率分布率的实验测量的实验测量2、 分布函数及其意义分布函数及其意义3、 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数4、 速率分布函数的应用速率分布函数的应用麦克斯韦速率分布律实验装置实验装置1.测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵麦克斯韦速率分布律分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数：分子总数N 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数.vvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比子数

3、占总数的百分比 .NNSvvv麦克斯韦速率分布律v)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近单位附近单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比 .v物理意义物理意义T麦克斯韦速率分布律v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数

4、vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv 麦克斯韦速率分布律ddNNf)(d)(fNNd单位速率间隔内的分子数单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比占总分子数的百分比分子速率在分子速率在附近附近间隔内的分子数占间隔内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比d分子速率在分子速率在1）f (v ) 的意义的意义讨论讨论麦克斯韦速率分布律d)(NfNd0NNdd0)(f1归一性质归一性质间隔内的分子数间隔内的分子数d分子速率在分子速率在2

5、）f (v ) 的性质的性质麦克斯韦速率分布律曲线下面积恒为曲线下面积恒为11)(0df几何意义几何意义oNNddNNf)(dod )(f麦克斯韦速率分布律vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数2.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比的规律比的规律 .vvNddNf)(v)(vfo麦克斯韦速率分布律3.三种统计速率三种统计速率pv1）最概然速率）最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT

6、41. 12pvMRT41. 1pvkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多 .pv物理意义物理意义麦克斯韦速率分布律NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率）平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvMRTmkT60.160.1vv)(vfo麦克斯韦速率分布律3）方均根速率）方均根速率2vmkT32vMRTmkT332rmsvvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvvM

7、RTmkT60. 160. 1vMRTmkT22pv麦克斯韦速率分布律pvv2v都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比TM f(v)vpvv2v2pvvv麦克斯韦速率分布律mkT2pvmkT8vmkT32v 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo麦克斯韦速率分布律讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的

8、速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv麦克斯韦速率分布律 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率根速率 .rmsvC271Hmolkg002. 0M1Omolkg032. 0M11molKJ31. 8RK300TMRT3rmsv13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子麦克斯韦速率分布律v

9、vvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd麦克斯韦速率分布律 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fmkT2pv

10、)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o麦克斯韦速率分布律 如估算如估算O2 在在 T = 300 K 时时 速率在速率在 790 - 800 m/s 区间内的区间内的 分子数占总数的百分比分子数占总数的百分比解：解：KT30010m/s790m/sdm/s395103230031823.p2395790pu麦克斯韦速率分布律* 7-6 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律一、一、 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律xvzvyvxvzvyvxdvzdvydvov分子的

11、速度分量限制在分子的速度分量限制在 ,xxxdvvv zzzdvvv ,yyydvvv 内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)()(2222232 麦克斯韦速率分布律zyxdvdvNdvdNvF )(速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）即速度概率密度（气体分子速度分布函数）)()(),(2222232zyxvvvkTmzyxekTmvvvF 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速率分布律二、玻尔兹曼分布律二、玻尔兹曼分

12、布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何推广：推广：（1）气体分子处于外力场中，分子能量）气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek（2）粒子分布不仅按速率区）粒子分布不仅按速率区vv+dv间分布，还应间分布，还应 按位置区间按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布分布dxdydzenNdkTEp 0麦克斯韦速率分布律假定体积元假定体积元dxdydz中的分子数仍含有各种速率的分子，中的分子数仍含有各种速率的分子，且遵守麦克斯

13、韦分布律且遵守麦克斯韦分布律在速率区间在速率区间vv+dv中的分子数为中的分子数为dvdxdydzve)kTm(endNkTEkTEkp223042 dxdydzenNdkTEp 0中中的的分分子子数数积积元元气气体体分分子子处处在在空空间间小小体体dxdydzNd 处处的的分分子子数数密密度度为为00 pEn0pEkTdNnn edxdydzdv)v(fNddN 麦克斯韦速率分布律等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。dvdxdydzve)kTm(ndNkT)EE

14、(pk223042 dvdxdydzve)kTm(nkTE223042 2121dNdN,EE 则则如如果果麦克斯韦速率分布律1.60molRTvM氮气分子在氮气分子在270C时的平均速率为时的平均速率为476m/s.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子气体分

15、子平均速率平均速率7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程分子的平均碰撞次数和平均自由程麦克斯韦速率分布律AB 在相同的在相同的 t时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移大小比它的路程小得多的位移大小比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间) 分子自由程分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。麦克斯韦速率分布律 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计大量分子的分子自由程与每秒

16、碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假假定定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。的弹性小球。只有某一个分子只有某一个分子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。v一、平均碰撞次数一、平均碰撞次数A dddvv麦克斯韦速率分布律A dddvv运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内:分子分子A经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2

17、圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数麦克斯韦速率分布律nvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均自由程平均自由程212vZd n与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比nkTp 当温度恒定时当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比平均自由程与气体压强成反比二、平均自由程二、平均自由程pdkT22 麦克斯韦速率分布律在标准状态下

18、，几种气体分子的平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体气体)(m )(md氢氢 氮氮 氧氧 空气空气71013. 1 710599. 0 710647. 0 8100 . 7 101030. 2 101010. 3 101090. 2 101070. 3 例例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径撞频率。取分子的有效直径d=3.5 10-10m。已知空气。已知空气的平均分子量为的平均分子量为29。解：解：已知已知mdPaatmpKT105105 . 3,10013. 10 . 1,273 麦克斯韦速率分布律pdk

19、T22 m851023109 . 61001. 1)105 . 3(14. 341. 12731038. 1 空气摩尔质量为空气摩尔质量为29 10-3kg/mols/mMRTvmol4488 198105.6109.6448 svz 空气分子在标准状态下空气分子在标准状态下的平均速率的平均速率麦克斯韦速率分布律解解pdkT22m1071. 8m10013. 1)1010. 3(22731038. 185210231m62. 6m10333. 1)1010. 3(22731038. 13210232 例例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程由程 :（1

20、）273 K、1.013 时时 ; ( 2 ) 273 K 、1.333 时时. Pa105Pa103（空气分子有效直径（空气分子有效直径 ： ）m1010. 310d麦克斯韦速率分布律1、范氏气体模型、范氏气体模型2、 真实气体的状态方程真实气体的状态方程7-9 实际气体的范德瓦耳斯方程实际气体的范德瓦耳斯方程麦克斯韦速率分布律解决问题的基本思路：解决问题的基本思路：理想气体忽略了分子本身的体积理想气体忽略了分子本身的体积 （即忽略了分子间的斥力）（即忽略了分子间的斥力） 理想气体忽略了分子间的引力理想气体忽略了分子间的引力解决真实气体从修正理气模型入手解决真实气体从修正理气模型入手 从物理上审视理想气体模型从物理上审视理想气体模型结果结果与实际比较与实际比较麦克斯韦速率分布律分子力：分子力：t = 47s = 9 15引力引力 斥力斥力力力分分子子斥斥力力引引力力rfo 分子间在距离较近时表现为斥力分子间在距离较近时表现为斥力距离较远时表现为引力距离较远时表现为引力tsrrf一、范德瓦耳斯气体模型一、范德瓦耳斯气体模型麦克斯韦速率分布律二、真实气体的状态方程二、真实气体的状态方程1mol理气状态方程理