2.3 函数的基本性质

1、 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义单调函数的定义 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义域如果对于定义域I内某个区内某个区间间D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1,x2,当当x1x2时时, 若若 ,则则f(x)在区间在区间D上是上是 ; 若若 ,则则f(x)在区间在区间D上是上是 .f(x1)f(x2)增函数增函数 减函数减函数 (2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是 或或 ,那那么就说函数么就说函数 f (x) 在这一区间上具有在这一区间上具有 ( 严格的严格的 ) 单调性单调性, 叫做叫做f(x)的单调区间的单调

2、区间. 2.判断函数单调性的方法 (1)定义法定义法:利用定义严格判断利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质利用函数的运算性质:如若如若f(x),g(x)为增函数为增函数,则则 f(x)+g(x)为增函数为增函数; 为减函数为减函数(f(x)0); 为增函数为增函数(f(x)0); f(x)g(x)为增函数为增函数(f(x)0,g(x)0); -f(x)为减函数为减函数.增函数增函数 减函数减函数 f(x)f(x)1f(x)f(x)区间区间D (3)利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性.法则是法则是“ ”，即两个简单函数的单调性，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的

3、复合函数为相同，则这两个函数的复合函数为 ;若两个简单若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为为 . (4)图象法图象法. (5)奇函数在关于原点对称的区间上具有奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单的单调性调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调的单调性性.同增异减同增异减 增函数增函数 减函数减函数 相同相同 相反相反 (6)导数法导数法 若若f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,当当f(x)0时时,f(x)为为 函函数数;当当f(x)1).求证：函数求证：函数f(x)在在(-1,+)上为增函数上

4、为增函数. (1) 用函数单调性的定义用函数单调性的定义. (2)用导数法用导数法.1 1x x2 2- -x x证法一证法一:任取任取x1,x2(-1,+),不妨设不妨设x10, 且且 0, , x1+10,x2+10, 于是于是f(x2)-f(x1)= 0, 故函数故函数f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数.1 1a a1 12 2x x- -x x1 1x xa a0 01 1) )- -( (a aa aa a- -a a1 12 21 11 12 2x x- -x xx xx xx x0 0, ,1 1) )1 1) )( (x x( (x x) )x x- -3 3( (x

5、 x1 1) )1 1) )( (x x( (x x1 1) )2 2) )( (x x- -( (x x- -1 1) )2 2) )( (x x- -( (x x 1 1x x2 2- -x x- -1 1x x2 2- -x x2 21 11 12 22 21 12 21 11 12 21 11 12 22 21 1x x2 2- -x x- -1 1x x2 2- -x xa a- -a a 1 11 12 22 2x xx x1 12 2证法二证法二:f(x)=ax+1- (a1),求导数得求导数得f(x)=axlna + ,a1,当当x-1时时,axlna0, 0,f(x)0在在(

6、-1,+)上恒成立上恒成立,则则f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数.证法三证法三:a1,y=ax为增函数为增函数,又又y= 在在(-1,+)上也是增函数上也是增函数.y=ax+ 在在(-1,+)上为增函数上为增函数.1 1x x3 32 21)1)(x(x3 32 21)1)(x(x3 31 1x x3 3- -1 11 1x x2 2x x1 1x x2 2x x对于给出具体解析式的函数对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在判断或证明其在某区间上的单调性问题某区间上的单调性问题,可以结合定义可以结合定义 ( 基本步骤为取基本步骤为取 点、点、作差或作商、变形、判断）求解作差或作商

7、、变形、判断）求解 . 可导函数则可以利用导可导函数则可以利用导数解之数解之.讨论函数讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性的单调性.x xa a:显然显然f(x)为奇函数为奇函数,所以先讨论函数所以先讨论函数f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,设设x1x20,则则 当当0 x21, 则则f(x1)-f(x2)0， 即即 f(x1) x2 时，时，0 0, 即即f(x1)f(x2),故故f(x)在在 ,+)上是增函数上是增函数. f(x)是奇函数，是奇函数， f(x)分别在分别在(-,- , ,+)上为增函数；上为增函数； f(x)分别在分别在- ,0),(0, 上为减函数上为减函数

8、.) ). .x xx xa a- -) )( (1 1x x- -( (x x) )x xa a( (x x- -) )x xa a( (x x2 21 12 21 12 22 21 11 1a2 21 1x xx xa aa2 21 1x xx xa aaaaaaa f(x1)-f(x2)=:由由f(x)=1- =0可得可得x= .当当x 时或时或x0,f(x)分别在分别在 ,+),(-,- 上是增函数上是增函数.同理同理0 x 或或- x0时时,f(x)0,得函数的定义域是得函数的定义域是(0,4).令令t=4x-x2,则则y= .t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的单调

9、减区间是的单调减区间是2,4),增区间是增区间是(0,2.又又y= 在在(0,+)上是减函数上是减函数,函数函数y= 的单调减区间是的单调减区间是(0,2,单调增单调增区间是区间是2,4).) )x x- -(4x(4xloglogy y2 22 21 1t tloglog2 21 1t tloglog2 21 1) )x x- -(4x(4xloglog2 22 21 1函数函数f(x)对任意的对任意的a,bR,都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并并且当且当x0时时,f(x)1.(1)求证求证:f(x)是是R上的增函数上的增函数;(2)若若f(4)=5,解不等式解不等式f(3

10、m2-m-2)3. (1)是抽象函数单调性的证明是抽象函数单调性的证明,所以要用单所以要用单调性的定义调性的定义. (2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号 “ f ” 运用单调运用单调性性“去掉去掉”，为此，为此,需将右边常数需将右边常数 3 看成某个变量的函数看成某个变量的函数值值. (1)证明证明:设设x1,x2R,且且x10, f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f(x2)f(x1). 即即f(x)是是R上的增函数上的增函数.(2)f(4)=f

11、(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,原不等式可化为原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是是R上的增函数上的增函数,3m2-m-22,解得解得-1m .故解集为故解集为 .3434, 1 (1)f(x)在定义域上在定义域上(或某一单调区间上或某一单调区间上)具有具有单调性单调性,则则f(x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函数是增函若函数是增函 数数 ,则则f(x1)f(x2) x11时，时，f(x)0， 且且f(xy)=f(x)+f(y).（1）求）求f(1);（2）证明）证明f(x)在定义域上是增函数；在定义域上是增函数；（3）如果）如果f（ ）=

12、-1，求满足不等式，求满足不等式f(x)- 2 的的x的取值范围的取值范围.31)2 2- -x x1 1f f( ( （1）令）令x=y=1，得，得f(1)=2f(1)，故，故f(1)=0.（2）证明）证明:令令y= ,得得f(1）=f(x)+f（ ）=0，故，故f（ ） =-f(x).任取任取x1,x2(0,+)，且，且x11,故故f 0，从而，从而f(x2)f(x1). f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.x1x1x111x12xx12xx)(12xx（3）由于）由于f =-1，而，而f =-f(3)，故，故f(3)=1.在在f(xy)=f(x)+f(y)中，令中，令x=y=3,

13、得得f(9)=f(3)+f(3)=2.又又-f（ ） =f(x-2)，故所给不等式可化为，故所给不等式可化为f(x)+f(x-2)f(9)，即，即fx(x-2)f(9). x0, x-20, x(x-2)9.x的取值范围是的取值范围是1+ ,+).)31()31(21x解得解得x1+ .1010判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)= ；（2）f(x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)；（4）f(x)= lg|x-2|.判断函数奇偶性应分两步判断函数奇偶性应分两步:（1）定义域是否关于原点对称）定义域是否关于原点对称;（2）判断）判断f(-x)与与f(x)的关

14、系的关系.2 22 2x x- -1 11 1- -x x12 2x x（3）f(x)=【解析】【解析】（1）x2-10且且1-x20, x=1，即，即f(x)的定义域是的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故故f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. （2）已知）已知f(x)的定义域为的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数是奇函数.1 1x xx x1 12 21 1x x2 21 1( (- -x x) )2 2 （3）当）当x0，则，则 f(-

15、x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当当x0时时,-x0，得，得x2. f(x)的定义域的定义域 x|x2 关于原点不对称，关于原点不对称， 故故 f(x) 既既不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, 一般有以下几种方法一般有以下几种方法 : (1)定义法定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数若函数的定义域的定义域 是关于是关于 原点的对称区域原点的对称区域,再再 判判 断断 f(-x) 是否等是否等于

16、于f(x)或判断或判断 f(x) f(-x) 是否等于零或判断是否等于零或判断 f(-x)0)是否等于是否等于1等等. (2)图象法图象法:奇奇(或偶或偶)函数的充要条件是它的图象关于函数的充要条件是它的图象关于原点原点(或或y轴轴)对称对称. (3)性质法性质法:偶函数的和偶函数的和 、差、积、商（分母不为零）、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数 ；奇（偶）数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数 ；一；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数个奇函数与一个偶函数的积为奇函数

17、. (注注:利用上述结论时要注意各函数的定义域利用上述结论时要注意各函数的定义域.)x x) )f f( (f f( (x x) )判断下列各函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性:(1) f(x)=(x-2) ;(2) f(x)= ; x+2 (x1).x x- -2 2x x2 2- -2 2| |2 2- -x x| |) )x x- -l lg g( (1 12 22 2(3) f(x)=(1)由由 0,得定义域为得定义域为-2,2),关于原点不对称关于原点不对称,故故f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数. 1-x20 |x2-2|-20,得定义域为得定义域为(-1,0)(0,1).这时这

18、时f(x)= f(-x)= =f(x),f(x)为偶函数为偶函数.x x- -2 2x x2 2(2)由由. .x x) )x x- -l lg g( (1 1- -2 2- -2 2) )- -( (x x- -) )x x- -l lg g( (1 12 22 22 22 22 22 22 22 2x x) )x x- -l lg g( (1 1- -( (- -x x) )( (- -x x) )- -( (1 1l lg g(3)当当x1,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).当当x1时时,f(x)=-x+2,-x-1,f(-x)=x+2=f(x).当当-1x1时时,f(x)=

19、0,-1-x1,f(-x)=0=f(x).对定义域内的每个对定义域内的每个x都有都有f(-x)=f(x).因此因此f(x)是偶函数是偶函数.设函数设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函是奇函数数.(1)求求b,c的值的值;(2)求求g(x)的单调区间与极值的单调区间与极值.求出求出f(x),利用特殊值法和定义法利用特殊值法和定义法,列恒等式列恒等式求值求值,再利用导数求单调区间再利用导数求单调区间. (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c,从而从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)

20、=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数是一个奇函数, g(0)=0得得c=0,由奇函数定义得由奇函数定义得b=3. (2)由由(1)知知g(x)=x3-6x,从而从而g(x)=3x2-6,由此可知由此可知,(-,- )和和( ,+)是函数是函数g(x)的单调递增区间的单调递增区间;(- , )是函数是函数g(x)的单调递减区间的单调递减区间; g(x)在在x=- 时时,取得极大值取得极大值,极大值为极大值为4 ; g(x) 在在x=2时时,取得极小值取得极小值,极小值为极小值为-4 .2222222若奇函数经过原点若奇函数经过原点,则必有则必有f(0)=0,这个关系这个关系式大

21、大简化了解题过程式大大简化了解题过程,要注意在解题中使用要注意在解题中使用.已知已知f(x)是是R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x（-,0）时，）时，f(x)= -xlg(2-x)，求，求f(x)的解析式的解析式.f(x)为奇函数为奇函数,f(0)=0，f(-x)=-f(x).当当x0时，时，-x0，f(-x)=xlg(2+x).即即-f(x)=xlg(2+x),f(x)=-xlg(2+x)(x0), -xlg(2-x)(x0) -xlg(2+x)(x0).f(x)=已知函数已知函数f(x),当当x,yR时时,恒有恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证求证:f(x)是奇函数是奇函数

22、;(2)如果如果xR+,f(x)0,并且并且f(1)=- ,试求试求f(x)在区间在区间-2,6上的最值上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证只需证f(x)+f(-x)=0. (2) 根据函数的单调性定义进行证明根据函数的单调性定义进行证明 ,并注意函并注意函数奇偶性的应用数奇偶性的应用.21 (1)证明证明:函数定义域为函数定义域为R,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称. f(x+y)=f(x)+f(y),令令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得得f(0)=0. f(x)+f(-x

23、)=0,得得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数为奇函数.(2)解法一解法一:设设x,yR+,f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)-f(x)=f(y).xR+,f(x)0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x,f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数.又又f(x)为奇函数为奇函数,f(0)=0,f(x)在在(-,+)上是减函数上是减函数.f(-2)为最大值为最大值,f(6)为最小值为最小值.f(1)=- ,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3.所求所求f(x)在区间在区间-2,6上的最大值为上的最大值为1,最小值为最小

24、值为-3.21解法二解法二:设设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0时时,f(x)0恒成立恒成立,f(3)= - 3.(1) 证明证明:函数函数y=f(x)是是R上的减函数上的减函数;(2) 证明证明:函数函数y=f(x)是奇函数是奇函数;(3) 试求函数试求函数y=f(x)在在m,n(m,nZ)上的值域上的值域.(1) 证明证明:设设x1,x2R,且且x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故故f(x)是是R上的减函数上的减函数.(2) 证明证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立恒成立, 可令可令a=-b=x,则有则有f(x)

25、+f(-x)=f(0), 又令又令a=b=0,则有则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而从而xR,f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x).故故y=f(x)是奇函数是奇函数. (3) 由于由于y=f(x)是是R上的单调递减函数上的单调递减函数, y=f(x)在在m,n上也是减函数上也是减函数,故故f(x)在在m,n 上的最大值上的最大值f(x)max=f(m),最小值最小值f(x)min=f(n). 由于由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1), 同理同理f(m)=mf(1). 又又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1, f(m)=-

26、m,f(n)=-n. 函数函数y=f(x)在在m,n上的值域为上的值域为-n,-m. 已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为R,且满足且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：）求证：f(x)是周期函数；是周期函数；（2）若）若f(x)为奇函数，且当为奇函数，且当0 x1时，时，f(x)= x，求，求使使f(x)=- 在在0,2 009上的所有上的所有x的个数的个数. (1)只需证明只需证明f(x+T)=f(x),则则f(x)即是以即是以T为周期的周期函数为周期的周期函数;(2)由第由第(1)问可知只需求问可知只需求 一一 个个周期中周期中f(x)=- 的的x的个数便可知在的个数便可知

27、在0,2 009 上上的的x的个数的个数.212121 (1)证明证明:f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x), f(x)是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数. (2)当当0 x1时时,f(x)= x, 设设-1x0,则则0-x1, f(-x)= (-x)=- x.f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=-f(x), -f(x)=- x,即即f(x)= x.故故f(x)= x(-1x1). 又设又设1x3,则则-1x-21,f(x-2)= (x-2).21212121212121又又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f

28、(x),-f(x)= (x-2),f(x)=- (x-2)(1x3). x (-1x1) - (x-2) (1x3),由由f(x)=- ,解得解得x=-1.f(x)是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数,故故f(x)=- 的所有的所有x=4n-1(nZ).令令04n-12 009,则则 n ,又又nZ,1n502(nZ),在在0,2 009上共有上共有502个个x使使f(x)=- .212121212121412100521f(x)= 判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数便可证明函数是周期函数,且周期为且周期为T,函数的周期性常与

29、函数的周期性常与函数的其他性质综合命题函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题是高考考查的重点问题.对函数对函数f(x)在在(-,+)上满足上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间且在闭区间0,7上上,只有只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数试判断函数y=f(x)的奇偶性的奇偶性;(2)试求方程试求方程f(x)=0在闭区间在闭区间-2 005,2 005上的根的上的根的 个数个数,并证明你的结论并证明你的结论. f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x) f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x) f(4-x)=f(14-x) f(

30、x)=f(x+10),从而知函数从而知函数y=f(x)的周期为的周期为T=10.又又f(3)=f(1)=0,而而f(7)0,故故f(-3)0.故函数故函数y=f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数.(1)由由 (2)由由(1)知知y=f(x)的周期为的周期为10. 又又f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故故f(x)在在0,10和和-10,0上均有两个解上均有两个解 , 从而可从而可知函数知函数y=f(x)在在0,2 005上有上有402个解个解,在在-2 005,0上有上有 400个解个解,所以函数所以函数y = f(x) 在在 -2 005,2 0

31、05上有上有802个解个解. 1. (1)单调性首先要求函数的定义域单调性首先要求函数的定义域,单调区间是定单调区间是定义域的子区间义域的子区间. (2)根据函数的单调性的定义根据函数的单调性的定义,证明证明(判定判定)函数函数f(x)在在其区间上的单调性其区间上的单调性,其步骤是其步骤是 设设x1,x2是该区间上的任意两个值是该区间上的任意两个值,且且x1x2; 作差作差f(x1)-f(x2),然后变形然后变形; 判定判定f(x1)-f(x2)的符号的符号; 根据定义作出结论根据定义作出结论. (3)求函数的单调区间求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义函数的增减区间都是其定义域的子集域的子集;其次掌握一次函数其次掌握一次函数 、二次函数等基本初、二次函数等基本初 等函数等函数的单调区间的单调区间.常用方法有常用方法有:根据定义根据定义,利用图象和单调函数的利用图象和单调函数的性质性质,还可以利用导数的性质还可以利用导数的性质. (4)重要性质重要性质 注意函数注意函数y=f(x)与与y=kf(x)的单调性与的单调性与k(k0)的相关的相关性性; 注意函数注意函数y= f(x)与与y= 的单调性间的关系