抽取内插及其在LTE的应用

1、抽取内插及其在抽取内插及其在LTELTE的应用的应用2抽取内插及其在抽取内插及其在LTELTE的应用的应用 3v 在时域对信号进行抽样，相当于在频域以采样频率为间隔对频谱进行周期性拓展。周期信号的周期T，决定了频谱中基波的频率 f=1/T4v 从频域理解由抽样信号恢复出模拟信号从频域理解由抽样信号恢复出模拟信号 v 将周期性拓展后的频谱中的一个周期频谱取出来56v 从时域理解由理想抽样信号恢复出模拟信号从时域理解由理想抽样信号恢复出模拟信号 78实际应用中的采样实际应用中的采样vA/Dv假定D触发器在上升沿锁存输入信号到输出端；v平顶抽样 9平顶采样和理想采样的关系平顶采样和理想采样的关系10

2、如何由平顶抽样信号恢复出模拟信号如何由平顶抽样信号恢复出模拟信号 v 如果在接收端不用频率响应为1/H(f)的滤波器对平顶抽样信号的频谱进行滤波，而是直接通过理想低通滤波器进行滤波，则恢复出来的模拟信号会出现失真，这种失真被称为“孔径失真” 。11奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理 v奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理 v要从抽样信号中无失真的恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率v对LTE 20M 30.72Mv子载波 1200 204812601*15k + 频谱泄露 = 10M13采样中的问题采样中的问题v Fs=8Hzv Cosv F1=3Hzv F2=5Hzv F3=11Hzv F4

3、=19Hzv F5=21Hz以采样频率fs对频率为k*fsf的cos信号采样，采样结果无法相互区分14频谱混叠频谱混叠v 用小于2倍最大频率的抽样频率采样，恢复出来的是假信号；v 上面余弦信号的例子同样适用于复指数信号上面余弦信号的例子同样适用于复指数信号 fs2f，以采样频率fs对复指数信号进行采样，频率为f的信号和频率为kfs+f的信号混叠；频率为-f的信号和频率为kfs-f的信号混叠。 fs0，k为任意整数。2jfte15带通信号采样带通信号采样maxmaxH22,1,2,.,1f /HLsfffmmmmmB是不大于的最大整数v无失真恢复原基带信号的充要条件是：16频频 域域 采采 样样

4、v时域采样定理告诉我们，在一定条件下，可以由时域离散采样信号恢复原来的连续信号。v那么， 能不能也由频域离散采样恢复原来的信号（或原连续频率函数）？ 其条件是什么？ 内插公式又是什么形式？ 17频域采样定理频域采样定理：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象时域混叠现象。频频 域域 采采 样样=2j2je( )( ) |( )e( ) 01kNknknNNznnX kX zx nx n WkN上式表示在区间0, 2上对x(n)的傅里叶变换X(ej)的N点等间隔采样。将将X

5、(k)看做长度为看做长度为N的有限长序列的有限长序列xN(n)的的DFT注：X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。18内插公式内插公式 内插函数内插函数10j)2()()e(NkkNkXX)21(je)2/sin()2/sin(1)(NNN频频 域域 采采 样样由频域离散采样恢复原来的信号（或原连续频率函数）19抽取和内插抽取和内插v 采样率转换通常分为抽取（Decimation）和插值（Interpolation） 抽取是降低采样率以去掉多余数据的过程； 插值则是提高采样率以增加数据的过程。 v 实现方法1： F1 - D

6、/A - 采样 - A/D - f2 麻烦， 且易使信号受到损伤v 实现方法2： 根据采样率转换理论， 对采样 后的数字信号x(n)直接进行采 样率转换。20nTsttxnx| )()(sf)(nx)(ny( )()y nx Dn1(2)/01()()DjjkDkY eX eD设设，欲使，欲使 减少减少D倍，最简单的方法是将倍，最简单的方法是将中每中每D个点中抽取一个，依次组成一个新的序列个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即，即n=-+ )(ny)(nx可以证明，可以证明， 和和 的离散傅立叶变换有如下关系：的离散傅立叶变换有如下关系：抽取抽取)(nx)(ny上式的含意是，将信号上式的含意

7、是，将信号 作作D倍的抽取后，所得信号倍的抽取后，所得信号 的频谱等于的频谱等于:)(nx)(nx原信号原信号 的频谱作的频谱作D倍的扩展，再在频谱轴上以倍的扩展，再在频谱轴上以2为间隔作延拓。为间隔作延拓。 或对原信号或对原信号 的频谱以的频谱以2 /D为间隔作延拓，再作为间隔作延拓，再作D倍扩张。倍扩张。 2021-6-1721D( )x n( )y n信号抽取示意图，D=3, 横坐标为抽样点数22抽取的问题抽取的问题 时域抽取引起的频谱混叠现象23抗混叠滤波抗混叠滤波抗混叠滤波， 就是在抽取之前先对信号进行低通滤波， 把信号的频带限制在sa2/2以下。这种办法虽然把高频部分损失掉了， 但

8、保留了低频部分， 可以恢复出低频部分。图中h(n1T1)为抗混叠滤波器带有抗混叠滤波器的抽取24所以， 在理想情况下， 抗混叠低通滤波器h(n1T1)的频率响应H(ej)由下式给出: sa11112TTDT DDj1,(e)0,DHD 抗混叠滤波抗混叠滤波抗混叠滤波器的阻带截止频率为sa1/(2D)， 对应的数字阻带截止频率为抗混叠滤波抗混叠滤波25抗混叠滤波抽取前后信号的时域和频域示意图26整数I倍内插是在已知的相邻两个原采样点之间插入I1个新采样值的点。 由于这I1个采样值并非已知的值， 所以关键问题是如何求出这关键问题是如何求出这I-1个采样值个采样值。实现方法1：采样序列x(n1T1)

9、 - D/A - 采样 - A/D - y(n2T2)麻烦，不经济, 且易使信号受到损伤T1=IT2 I为大于1的整数， 称为内插因子内插因子。实现方法2： 相邻两个样点之间等间隔插入I1个0值点， 然后进行低通滤波内插内插27内插过程时域波形内插概念示意图 28整数倍内插的频域解释整数倍内插的频域解释上述的零值内插方案中， x(n1T1)、 v(n2T2)及y(n2T2)的频谱关系是怎样的？回答这一问题的过程, 就是解释为什么v(n2T2)经低通滤波就能得出采样率升高I倍的y(n2T2)的原理。 为了回答上面的问题， 设x(n1T1)为模拟信号xa(t)的采样序列， 并假定xa(t)及其傅里

10、叶变换Xa(j)如图所示。 内插内插29(I=3)按照内插的概念， y(n2T2)应为以采样间隔T2对xa(t)的采样序列， 且满足T2=T1/I。 和均为周期函数， 若二者都用模拟频率表示， 则周期sa2=2/T2=2/(T1/I)=Isa1。1jeX2j(e)Y整数倍内插的频域解释整数倍内插的频域解释二者频谱相同30v(n2T2)的傅里叶变换为 ，其它，当0,2, 0)(21222IInITnxTnv22 22 2221 21 121111jjj2222j/j2111/jj(e)()e()ee()e(e)(e)nT nnnT nIT nnInnTVv n Tv n TnxTx nTIXX

11、上式表明：二者频谱相同 实质上， v(n2T2)的信息与x(n1T1)完全相同， 所以二者应具有相同的频谱。 整数倍内插的频域解释整数倍内插的频域解释31零值内插前后的时域信号及其频谱零值内插前后的时域信号及其频谱 镜像频谱镜像频谱，想恢复原信号，就必须滤除这些镜像频谱32实际工作中sa12c， 所以允许有一定的过渡带， 可用线性相位FIR滤波器实现。 根据其功能， 将h(n2T2)称为镜像滤波器。 )e(2jH镜像滤波器的理想幅频特性镜像滤波器镜像滤波器将理想镜像滤波器的阻带截止频率换算成数字频率为所以， 理想情况下， 镜像滤波器h(n2T2)的频率响应特性为=sa11212TTT II22

12、j2, 0(e)0, CIHI 式中， C为定标系数。可以推导出定标系数C=I。33内插器时域输入、 输出关系111221 1221 11 1221 11 1212()()()()nnny n Tx n T h n Tn Tx n T h n Tn Tx n T h nn I T)e()e(12jjXV2221222jjjjjjj(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)IYVHXHXH内插器频域输入、 输出关系通过前面的推导，已知所以内插器输入输出关系内插器输入输出关系34按有理数因子按有理数因子I/D的采样率转换的采样率转换j, 0min,D(e)0, min,DyyyIDIHI 等效滤波

13、器h(l)的频率响应为注意：先内插后抽取, 才能最大限度地保留输入序列的频谱成分。h(l)等效带宽应当是hI(l)和hD(l)中最小的带宽35SC-FDMA的单载波特性的单载波特性v单载波峰均比低，对功放要求低vOFDM 36为什么说多载波信号的峰均比高呢为什么说多载波信号的峰均比高呢? v 叠加信号的峰值和均值比例比较大v 叠加的载波数目越多，峰均比越大四个载波叠加起来的结果37SC-FDMA的单载波特性的单载波特性v单载波峰均比就比较低，但QPSK，16QAM之类的即使是单载波，其峰均比不是1，还是有一定的峰均比的v例如：单载波QPSK信号 要依次发送信号(1+0*i), (-1+0*i)

14、 , (0+1*i), (0+-1*i) ， 该信号不是恒包络的 2021-6-1738BSC-FDMA的单载波特性的单载波特性v A和B的包络是一样的。A点是单载波， B点也有单载波特性。v 其实如果仔细看DFT特性的话也可以理解，在DFT中，加零可以得到插值的效果。A100点 - 2048点2021-6-1739SC-FDMA的单载波特性的单载波特性v 子载波映射的过程频域内插零的过程ABdft(A)fft(B)40SC-FDMA的单载波特性的单载波特性v 可见，A和B的包络是一样的。v A点是单载波，B点也有单载波特性。v 频域在序列头和序列尾的插零，它的作用仅仅是对时域波形的插值Aab

15、s(B)B41Distributed方式下，信号保持单载波特性方式下，信号保持单载波特性LTE上行早期提到两种子载波映射方式，为了保持单载波的特性，在Distributed的情况下，要求目前在LTE中，上行不再支持Distributed的传输模式，而采用帧内（时隙间）或者帧间的跳频来获得频率分集的增益。12.nLLL=。42Distributed方式下，信号保持单载波特性方式下，信号保持单载波特性v 这里我们运用插值原理来分析为什么Distributed方式下，信号能够保持单载波特性。v 假设Li = 3v 由上面插值原理可以知道，时域插零，频域会出现周期重复时域插零，频域会出现周期重复。 由

16、信号与系统的基本知识可以知道，时域和频域是对偶的时域和频域是对偶的。 也就是说，如果信号在频域插零，时域会出现周期重复频域插零，时域会出现周期重复，所以，下图中右边的时域波形是左边时域波形的周期性重复。43Distributed方式下，信号保持单载波特性方式下，信号保持单载波特性显然，右边波形保持了左边波形拥有的单载波特性，拥有较小的峰均比。44Distributed方式下，信号保持单载波特性方式下，信号保持单载波特性可以用matlab简单试验一下 a=1:7,6:-1:1;b = fft(a);c = zeros(13*4,1); for m = 1:13 c(4*m-3) = b(m);e

17、ndd = ifft(c);vd*4 =a d = 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 1.5000 1.2500 1.0000 0.7500 0.5000 0.2500aabs(b)abs(c)d45抽取和插值在抽取和插值在PRACH的应用的应用v 子载波间隔1.25kHzv 占6个RB（144*6=864）v 839点ZC序列46抽取和插值在抽取和插值在PRACH的应用的应用v PUCCH和PUSCH的子载波间隔为15KHz，LTE 20MHz带宽，时域一个symbol有2048个点（不考虑CP）。显然，对于1.25KHz的PR

18、ACH信号，对应的时域点数为2048*12=24576。47抽取和插值在抽取和插值在PRACH的应用的应用v所以，首先想到的PRACH接收端算法是：1.接收2048*12=24576个样点，做2048*12=24576点的DFT2.通过子载波解映射把839点的preamble频域信号取出来，3.再做839点的IDFT得出839点Preamble 时域信号，4.跟本地Preamble做相关，根据相关峰判断是否有手机接入。v显然，这个方法运算量很大。首先有一个尺寸巨大的DFT。48抽取和插值在抽取和插值在PRACH的应用的应用v 信号通过30.72MHz采样后的频谱如下，首先我们把PRACH通过NCO数字下变频到零频。经过NCO之后的频谱 49抽取和插值在抽取和插值在P