第二章 地球体与地图投影1

1、 两个矛盾： 一个是曲面与平面之间的矛盾。 经纬网、坐标系、大地控制点地图 投影 一个是大与小的矛盾。比例尺 地图是表示地理空间分布有关的信息的良好载体。因此如何 描述地球，建立地球模型，表达或确定地球表面的位置，并 把这种空间曲面转换为平面的理论和方法是地图学科或技术 的共同基础。它为各种地理要素与相应的地面景物之间保持 一定对应关系提供一个统一的定位框架，从而使各种地理信 息和数据能够具有共同的地理基础。 第二章第二章 地球体与地图投影地球体与地图投影 第一节 地球体 地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。 地球的自然表面（微观

2、） 地球的自然表面（宏观） 大地水准面大地水准面 假设一个当海水处 于完全静止的平衡 状态时，从海平面 延伸到所有大陆下 部，而与地球重力 方向处处正交的一 个连续、闭合的水 准面，这就是大地 水准面。对地球形 体的一级逼近。 地球重力场地球重力场 我国曾经或正在采用的椭球体 椭椭球球体体名名称称长长半半轴轴扁扁率率使使用用年年代代 海海福福特特6 63 37 78 83 38 88 81 1: :2 29 97 7. .0 01 19 95 53 3 年年前前 克克拉拉索索夫夫斯斯基基6 63 37 78 82 24 45 51 1: :2 29 98 8. .3 31 19 95 53 3

3、 年年后后 GGR RS S7 75 56 63 37 78 81 14 40 01 1: :2 29 98 8. .2 25 57 71 19 98 80 0 年年后后 自然面、物理面、数学面关系图 二、地球坐标系统 1 球面上的地理坐标 天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度 2 平面上的直角坐标 国家坐标系、地方坐标系 3 高程 绝对高程（海拔）、相对高程、高差 天文经纬度：表示地面点在上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两 面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。

4、大地经纬度：表示地面点在上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度l l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度l ，地心纬度是指上 某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。 hAB=HB-HA

5、 4中国的大地控制网 平面控制网 : 按统一规范，由精 确测定地理坐标的地面点组成， 由三角测量或导线测量完成，依 精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布 全国各地。 高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点 组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度 不同，分为四等。 中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代黄海平均海水面 其比黄海平均海水面 上升 29毫米。 青岛观象山 水准原点 平面控制网 国家测

6、绘局 陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系西安坐标系” 大地坐标的 起算点大地原点。 高程控制网 国家测绘局 第二节第二节 地图投影的概念地图投影的概念 地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数 学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的 对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立 地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在， 已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已 经形成了一门独立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本 的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确 的辨认使用各种常用的投影。 一、地

7、图表面和地球球面的矛盾一、地图表面和地球球面的矛盾 地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时 首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直 接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是 沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。 二、地图投影的概念二、地图投影的概念 球面上任一点的位置是用地理坐标（、）表示的， 而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x,横坐标是y） 表示的，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用 一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。这这 种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学

8、方法种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法， 称为地图投影。 投影演示 球面上任意一点的位置决 定于它的经纬度，所以实际投 影时是先将一些经纬线的交点 展绘在平面上，再将相同经度 的点连成经线，相同纬度的点 连成纬线，构成经纬线网。有 了经纬线网后，就可以将球面 上的地理事物，按照其所在的 经纬度，用一定的符号画在平 面上相应位置处。由此看来， 地图投影的实质是将地球椭球 面上的经纬网按一定的数学法 则转移到平面上。经纬线网是 绘制地图的“基础”，是地图 的主要数学要素。 三、地图投影的方法三、地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面

9、上的经纬网投 影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面 除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球 心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地象这样利用光源把地 球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。 这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。 2.2.解析法解析法 随着科学生产的发展，几何透 视法远远不能满足编制各种类型地 图的需要，这样推动了地图投影的 发展，出现了解析法。所谓解析法 就是不借助于几何投影光源（而仅 仅借助于几何投影的方

10、式），按照 某些条件用数学分析法确定球面与 平面之间点与点之间一一对应的函 数关系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函数的f1f2具体形式，是由给定的 投影条件确定的。有了这种对应关 系式，就可把球面上的经纬网交点 表示到平面上了。 四 地图投影的变形 （一）、变形的概念（一）、变形的概念 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投 影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。 这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图 上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了 解投影后产生得变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部所以投影变

11、形问题是地图投影的重要组成部 分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价 值。值。 （二）、研究变形的方法（二）、研究变形的方法 研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网 与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真 实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影 后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们 分析一下地球仪上经纬网的特点： 1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相 等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤 道向两极越来越小，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬

12、线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高， 梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。 比 较 （三）、投影变形的相关概念（三）、投影变形的相关概念 1.长度比和长度变形 设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds, 如图所示。 ds ds 平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度 比。用公式表示为： =ds/ds 长度比是一个变量，它不仅随着

13、点的位置不同而变化， 还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小 线段之比。 通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而 只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最 小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影 后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。 投影后经纬线不直交，其夹角为,则经纬线长度比 m、n和 最大、最小长度比a、b之间具有如下关系： m2+n2=a2+b2 mnsin=ab 用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比 （）与1之差，用v表示长度变形则：v=-1 由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示 投影后长度增

14、加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度 变形为零，则长度无变形。 2.主比例尺和局部比例尺 平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运 用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规 定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万 倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主 比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投 影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大， 就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比大于或小于主比例尺的叫局部比 例尺。例尺。 注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。 3.主方向 由

15、于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微 小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过 o作两条垂线ac和 bd，投影后为ac和bd。即地球面上角 aob和角boc为直角，投影后分别为钝角aob和锐角boc。 a b c d a o o b c d 那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍 保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。 a b c d a o o b c d 在主方向上，具有极大和极小长度比。在主方向上，具有极大和极小长度比。例如我们看过的 一些投影，经纬线投影后均保

16、持垂直。所以投影中，经纬线 方向就是主方向。经纬线投影后为正交，经纬线方向就是为 主方向。但也有一些投影后经纬线斜交，因此，主方向与经 纬线方向并不一致。 4.变形椭圆 在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除 在接触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用 数学方法验证一下。 设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1）， M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为 x2+y2=1 o为o的投影，以主方向作为坐标轴，M（x,y）是M（x,y）的投影， 令主方向长度比为a和b，则: x/x= a, y/y= b 则:x =x/a, y =y/b (x,y)为圆上一点，将其代

17、如圆的方程，得 x2/a2+y2/b2=1 这是一个椭圆方 程，这表明该微小 圆投影后为长半径 为a短半径为b的椭 圆，这种椭圆可以 用来表示投影后的 变形，故叫做变形 椭圆。 M M 在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来 说明变形的性质和数量说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以 说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而 变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长 短半径方向之间，长度比，为ba;椭圆面积与小圆 面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的 夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。 5.面积比与面积变形 投影平面上的微小面积

18、与球面上相应微小面积之比， 称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF=ab,相应 球面上微小圆的面积dF=12为例，以P表示面积比，则: P=dF/dF=ab/12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向 就是主方向时： P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比: P=mnsin(为投影后经纬线夹角) 面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面面积变形就是面 积比与积比与1之差之差，以Vp表示。 Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无 变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负， 表示投影后面积缩小。 6.角度变形 投影面上任意

19、两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹 角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条 方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后， 往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产 生的变形一般也不一样。 公式 验证: 见教材 7.等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点 的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域 变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。 等变形线就是变形值相等的各点的连线等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根 据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如 面积等变形线。 等变形线在不同的投影图上，具

20、有不同 的形状，在方位投影中，因投影中心点无变 形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形 线成同心圆状分布。 等变形线通常是用点虚线来表示的。 第三节 地图投影的分类 地图投影的种类很多，由于分类的标志不同， 分类的方法也不同。 一、按变形性质分类一、按变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、 角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影、 等积投影和任意投影三种。 1.等角投影（正形投影） 角度变形为0，地球面上的微 小圆经过投影后仍为相似的微小 圆，其形状保持不变，只有长度 和面积变形。等角投影的条件是： w=0 sin(w/2)=(ab)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向 的长度比都相等，但在不同地点 长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、 风向图等地形图。 等积投影的条件是： Vp=p p=1 因为 p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上 进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地 图和经济地图。 2.等积投影 投影后图形保持面积 大小相等，没有面积误差。 也就是球