奥本海姆 信号与系统 中山大学 第4章

1、第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)若满足绝对可

2、积条件，则其傅里叶变换一定存在。例如，e-t(t)(0)就是这种信号。若f(t)不满足绝对可积条件， 则其傅里叶变换不一定存在。例如，信号(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在， 而信号et(t)(0)的傅里叶变换不存在。若给信号et(t)乘以信号e-t()，得到信号e-(-)t(t)。信号e-(-)t(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。 第4章 连续系统的复频域分析 设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有 dtetfdteetfjFtjtjt)()()

3、()(根据傅里叶逆变换的定义，则 dejFetftjt)(21)(第4章 连续系统的复频域分析 上式两边乘以et，得 第4章 连续系统的复频域分析 4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域 任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-t的傅里叶变换，因此，若f(t)e-t绝对可积，即 dtetft)(第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1 - 1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，0。 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1 - 2 求因果信号f2(t)=e-t(t)(0)的双边拉

4、氏变换及其收敛域。 解解 设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s), 则 dtetesFstat)()(2第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-t(-t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域 ojo(a)j(b)jo(c)第4章 连续系统的复频域分析 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。 实际中的信号都是有起始时刻的(

5、tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。 第4章 连续系统的复频域分析 4.1.3 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为 第4章 连续系统的复频域分析 与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足 dtetft0)(则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。因为f(t)的单边拉普

6、拉斯变换等于f(t)(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，可表示为 0Res第4章 连续系统的复频域分析 4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 1. 线性线性 第4章 连续系统的复频域分析 2. 时移性时移性 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 3. 复频

7、移复频移 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-4 .)(.),()cos()(0的象函数求为实数tfattetft第4章 连续系统的复频域分析 4. 尺度变换尺度变换 ,Re),()(0ssFtf若则asFaatf1)(式中， 为常数，a0a证证000Re,Re,Re)(asasasFssF即为收敛域应为的所以的收敛域为由于第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-5 已知 ),()()(),()(1batbatftfsFtf, 0

8、, 0ba求f1(t)的象函数。 解解 因为 第4章 连续系统的复频域分析 5. 时域卷积时域卷积 第4章 连续系统的复频域分析 证证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-6 已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号f(t)的关系为f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的单边拉氏变换。 图 4.2-1 例 4.2-6 图(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形 tof (t)2(a)tof(t)1(b)第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 6.

9、时域微分时域微分 式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。 第4章 连续系统的复频域分析 证证 先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义， 则有 第4章 连续系统的复频域分析 反复应用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Res0。若F(s)在s=0处有一阶极点，则sF(s)中的这种极点被消去，f(1)

10、(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。 若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此时，时域微分性质表示为 )()()(sFstfLnnn=1, 2, ；Res0 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。 ),()(21tedtdtft),()(22tedtdtft解解 (1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于 )(2)()()(221tettedtdtftt故根据线性得 2221)()(11ssstfLsF若应用时域微分性质求解，则有 22)()()(0221

11、stetesLsFttt第4章 连续系统的复频域分析 (2) 求f2(t)的单边拉氏变换。由于 )(2)()(222tetedtdtftt因此得 22)()(22stfLsF第4章 连续系统的复频域分析 7. 时域积分时域积分 若f(t) F(s)，Res0, 则有： ssFdftft)()()(0)1(, 2 , 1)()()(nssFtfnn若f(-n)(t)表示从-到t对f(t)的n重积分，则有 nnmmmnntssFfstfssFsFdftf)()0(1)()()0()()(1)(1)()1()1(4.2-12)(4.2-13)第4章 连续系统的复频域分析 证明式(4.2-12)： 因

12、为 )()()()()()()(0tttfdtfdft根据时域卷积性质，则 ssFtttfLdfLt)()()()()(0因为dftft0)1()2()()(2)1(0)1()2()()()()(ssFstfLdfLtfLt第4章 连续系统的复频域分析 证明式(4.2-13): 因为 dffdfdfdftfttt0)1(00)1()()0()()()()(sftfLfL)0()()0()0()1()1()1(单边拉普拉斯变换为ssFstfLdft)()()(0ssFsfdftft)()0()()()1()1(根据线性得第4章 连续系统的复频域分析 若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)

13、的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为 nnssFtfLsF)()()( 若f(t)为非因果信号，则Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，若f(t)(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。 )()(ttfdtdnn第4章 连续系统的复频域分析 非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13)求解。 若f(t)在t=-的值f(-)=0，f (1)(t)是f(t)

14、的一阶导数，则 dftft)()()1(t- 若f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换为 ssFsftfLsF)()0()()(1若f(-)0，则 )()()()1(fdftftt- 第4章 连续系统的复频域分析 对于t0-，有 dfffdfdftf)()0()()()()(0)1(0)1(0)1(则f(t)的单边拉普拉斯变换为 ssFsftfLsF)()0()()(1nnssFsftfLsF)()0()()(第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-8 求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。 解解 f(t)的二阶导数为 ) 3(2

15、)2(2) 1(2)(2)2(ttttf由于(t) 1, 由时移和线性性质得 ssseeetfLsF32)2(22222)()(232222)1 (2)()()(seeessFtfLsFsss由时域积分性质 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.2-2 例 4.2-8 图(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形 t022(a)13t0f (t)22(b)13t0f (t)(2)2(c)321(2)(2)(2)f (t)第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-9 求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。 解解 方法一方法一 由于由于 ) 1

16、()()()(ttttf根据单边拉氏变换的定义， 得 settfLtfLsFs)1 ()()()()(第4章 连续系统的复频域分析 图 4.2-3 例 4.2-9 图 f (t)t01(a)11t01(b)1f (t)(t)t0(2)(c)1(1)f (t)第4章 连续系统的复频域分析 方法二方法二 f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为 ) 1()(2)1(tttff(1)(t)的单边拉氏变换为 setfLsF2)()()1(1Res- sesesssFsftfLsFss121)()0()()(1Res0 第4章 连续系统的复频域分析 8. 复频域微分复频域微分 若f(t) F(s), Re

17、s0， 则有 nnndssFdtftdssdFtft)()()()()()(Res0 n=1, 2, ; Res0 证证 根据单边拉普拉斯变换的定义 0)()(dtetfsFstRes0 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的单边拉氏变换。 解解 由于 ,1)(st Res0，根据式(4.2 - 21)，得 211)()(ssdsdttLRes0于是得 21)(sttLRes0由于t2(t)=(-t)(-t)(t)， 32221)(ssdsdttLRes0 重复应用以上方法可以得到 1!)(nnsnttLRes0 第4章 连续系统的复频域分析 9. 复频域积

18、分复频域积分 若f(t) F(s)，Res0，则有 dFttfs)()(式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共部分。 ttft)(lim0ttf)(第4章 连续系统的复频域分析 证证 根据单边拉普拉斯变换的定义 0)()(dtetfsFstRes0 对上式两边从s到积分，并交换积分次序得 00)()()(dtdetfddtetfdFsttss因为t0, 所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得 dest00)()()()(ttfLdtettfdttetfdFststs第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-11 ),(sin)(ttttf求f(t)的单

19、边拉氏变换。 解解 由于 ,11)(sin2stt根据复频域积分性质，得 sdtttLsFss1arctanarctan11)(sin)(2第4章 连续系统的复频域分析 10. 初值和终值定理初值和终值定理 (1) 初值定理若信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数， 并且 )()(sFtfRes0 则信号f(t)的初值为 )(lim)(lim)0(0ssFtffst第4章 连续系统的复频域分析 (2) 终值定理若f(t)在t时极限f()存在，并且f(t) F(s) Res0; -00则f(t)的终值为 )(lim)(lim)(ssFtffst第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-1

20、2 )()0(),(cos)(ffttetft和求解解 由于cos t(t) ，根据复频移性质， 则有 12ss1) 1(1)()(2sstfLsF1Res由初值定理得11) 1() 1(lim)(lim)0(2sssssFfss由终值定理得01) 1() 1(lim)(lim)(200sssssFfss第4章 连续系统的复频域分析 表表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 第4章 连续系统的复频域分析 表表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 第4章 连续系统的复频域分析 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 4.3.1 查表法查表法 例例

21、4.3-1 已知 ，求F(s)的原函数f(t)。解解 F(s)可以表示为 441)(2ssssF22)2(1441)(ssssssF第4章 连续系统的复频域分析 由附录F查得编号为15的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号15的变换对为 )()()(110201tebtabbasbsbat与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1, b0=1，=2，代入变换对得 )()1 ()()(21tetsFFtft第4章 连续系统的复频域分析 4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法 若F(s)为s的有理分式，则可表示为 01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsFnnnmmmm式

22、中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均为实数。若mn, 则 为假分式。若mn，则 为真分式。 )()(sAsB)()(sAsB第4章 连续系统的复频域分析 式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如， )()(sAsD 若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即 nmnnmnscsccsNsAsDsNsAsDscsccsF110110)()()()()()()(第4章 连续系统的复频

23、域分析 1211)21 ()2)(1(43)21 (2361072)(223sssssssssssssF则 )()2(2)()()(21teettsFLtftt）（第4章 连续系统的复频域分析 若 为有理真分式， 可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, , n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点极点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。 )()()(sAsBsF第4章 连续系统的复频域分析 1. F(s)仅

24、有单极点仅有单极点 若A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, , n)，则根据附录A中式(A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为 niiinssKsssssssBsAsBsF121)()()()()()(式中，各部分分式项的系数Ki为 issiisFssK)()(第4章 连续系统的复频域分析 itssstei1)(故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为 由于 )()()(11teKsFFtfnitsii第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-2 已知已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。 655)(2ssssF 解解 F(s)的分母多项式A(s)=0的

25、两个根分别为s1=-2, s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开式为 32) 3)(2(5)(21sKsKssssF3) 3)(2(5)2(21sssssK第4章 连续系统的复频域分析 2) 3)(2(5) 3(32sssssK所以 3223)(sssF于是得 )()23()()(321teesFLtftt第4章 连续系统的复频域分析 2. F(s)有重极点有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，则由附录A中式(A-8)和(A-11)可得 nrjjnrjjiriiinrrssKsFssKssKsssssssBsF1

26、11111111)()()()()()()(式中： 1)()()!(1)()(111111ssrriririiisFssidsdirKssKsF第4章 连续系统的复频域分析 先求F1(s)的逆变换，因为 iistti1)()!1(11由复频移性质，可得 iitsssttei)(1)()!1(1111)()()!1(11111sFtetiKritsiiF(s)的单边拉普拉斯逆变换为 )()()!1()()(111111teKtetiKsFLtftsnrjjritsiij第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-3 已知求 F(s)的单边拉氏逆变换。 ,) 3() 1(53)(2ssssF解解

27、F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为 31) 1()(311212sKsKsKsF1) 3() 1(53) 1(12212sssssK1) 3() 1(53) 1(12211sssssdsdK第4章 连续系统的复频域分析 1) 3() 1(53) 3(323sssssK于是得 3111) 1(1)(2ssssF)()()()(31teetesFLtfttt第4章 连续系统的复频域分析 3. F(s)有复极点有复极点 如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，则F(s)可展开为 jsKjsKjsKjsKjsjssBsF*1121)()()(式中，K2=K*1。 令K1

28、=|K1|ej, 则有 jseKjseKsFjj11)(第4章 连续系统的复频域分析 由复频移和线性性质得F(s)的原函数为 )()cos(2)()()(1)()(1)(1)(11tteKeeeKteeKeeKsFLtfttjtjttjjtjj 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。 第4章 连续系统的复频域分析 如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其

29、F(s)可展开为 )()()()()()()()()()()()()()()()(12121121211212*112*1211212212221121222jseKjseKjseKjseKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsjssBsFjjjj第4章 连续系统的复频域分析 式中： 212112*122211*112112121111jjjjeKKKeKKKeKKeKK根据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为 )()cos(2)()cos(2)()()()(212111)()(12)()(1112211ttteKtteKteeeetKteeeeKsFLtftttjjtjjt

30、jjtjj第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-4 已知 ,8482)(2ssssF求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。 解解 F(s)可以表示为 )22)(22(824)2(82)(2jsjsssssFF(s)有一对共轭单极点s1,2=-2j2, 可展开为 )22()22()(21jsKjsKsF第4章 连续系统的复频域分析 于是得 4222422121)()22(21)()22(jjsjjsejsFjsKejsFjsK222222)(44jsejsesFjj2, 2,4,21K于是得 )(42cos22)()(2ttesFLtft第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-5 已知

31、，求F(s)的单边拉氏逆变换。 )2()4()(2ssessFs解解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为 sesFsF21)()(式中，F1（s）212)2(4)(1ssssssF由线性和常用变换对得到)()2()()(2111tesFLtft由时移性质得)2(2)()()()2(22111teesFLsFLtftt第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-6 已知单边拉氏变换 22) 1(2)(sssF求F(s)的原函数f(t)。 解解 F(s)为有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(s)又可表示为 11)(2sdsdsF因为 11)(sin2stt， 根据复频域微分性质，则F

32、(s)的原函数为)(sin)(sin)()()(1ttttttsFLtf第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-7 已知 ,11)(2sesF求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可以表示为 ssssseeeeesF4222211111)( 对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为 ),(0nTtnsTnenTtL11 )(00Res第4章 连续系统的复频域分析 由于settL21)2()(Res因此，根据时域卷积性质得ssneettnt42011)2()()4(于是得)42(4)2()(4)()(001ntntttntsFLtf

33、nn）（）（第4章 连续系统的复频域分析 例4.3-7 中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设f(t)为从t=0-起始的周期信号，周期为T，f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。 f(t)和f1(t)如图4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示为 0101)()()()(nnnTttfnTtftf令f1(t) F1(s), f(t) F(s), 则有 sTesFsF1)()(1Res0 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.3-1 因果周期信号 to(a)f1(t)to(b)T2Tf (t)第4章 连续系统的复频域分析 * 4.3.3 反演积分法

34、反演积分法 单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求逆变换，这种方法称反演积分法反演积分法。 单边拉普拉斯逆变换的定义为 jjstdsesFjtf)(210)(00tt第4章 连续系统的复频域分析 留数定理的内容为：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲线L的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即 LLssGsjdssGi内奇点)(Re2)(第4章 连续系统的复频域分析 图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径 ojABCD12a第4章 连续系统的复频域分析 若给积分路径AB补充一半圆C，如图 4.3 -

35、2 所示，则构成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部是极点，根据留数定理， 则有 内极点LstsstLCstjjstesFsdsesFjdsesFjdsesFji)(Re)(21)(21)(21第4章 连续系统的复频域分析 根据留数定理和约当引理，则F(s)的单边拉普拉斯逆变换为 左侧极点)(Re0)(stisesFsatft0 t0 根据复变函数理论，若F(s)为有理真分式，并且F(s)est的极点s=si为一阶极点，则该极点的留数为 issstistesFssesFs)()()(Re若F(s)est的极点s=si为r重极点，则该极点的留数为 iiss

36、strirrstsesFssdsdresFs)()()!1(1)(Re11(4.3 - 15)第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-8 已知 ,)2)(3(1)(2sssFRes-2。求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 选a-2，则F(s)est在a左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。 ttsstststsststseteesFsdsdesFseesFsesFs222233)()2()(Re)() 3()(Re21第4章 连续系统的复频域分析 于是，根据式(4.3 - 15)，得 )(Re)(Re0)(21stsstsesFsesFstft0 t0 )() 1(023

37、223teteeteettttt第4章 连续系统的复频域分析 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 4.4.1 连续信号的复频域分解连续信号的复频域分解 根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)， 则信号f(t)可以表示为 dsesFjtfjjst)(21)(0t第4章 连续系统的复频域分析 4.4.2 基本信号基本信号est激励下的零状态响应激励下的零状态响应 若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为yf(t)，冲激响应为h(t)，由连续系统的时域分析可知: )()()(thtftyf若系统的输入为基本信号，即f(t)=est

38、,则dehedehthetyssttsstf)()()()()(若h(t)为因果函数，则有)()()(0sHedehtyststf第4章 连续系统的复频域分析 式中：)()()()(00thLdtethdehsHsts即，H（s）是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性边续系统的系统函数系统函数，est称为系统的特征函数特征函数。第4章 连续系统的复频域分析 4.4.3 一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 对于-j到+j区间上的任一s，信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为 ststesHe)(根据线性系统的齐次性，对于-j到

39、+j区间上的任一s， 为一复数，因此，信号产生的零状态响应可以表示为 dssFj)(21stedssFj)(21ststesdsHsFjedssFj)()(21)(21第4章 连续系统的复频域分析 根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f(t)可以分解为-j到+j区间上不同s的指数信号 的和(积分)，因此，系统对f(t)的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为 stedssFj)(21jjstjjstdsesHsFjdsesFjtf)()(21)(21)(即f(t)产生的零状态响应Yf(t)dsesHsFjtyjjstf)()(21)(第4章 连续系统的复频域分析 因为

40、f(t)、h(t)是因果信号，所以yf(t)也是因果信号。 另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，则yf(t)的单边拉普拉斯变换为 )()()()(sFsHtyLsYffjjstfdsesYjtyf)(210)(00tt)()()(sFsYfsH第4章 连续系统的复频域分析 式(4.4-6)和式(4.4-7)表明， 系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s);(2) 求系统函数H(s);(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)； 第4

41、章 连续系统的复频域分析 例例 4.4-1 已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-t(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。若输入为f2(t)=t(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。 )2)(1(12111)()(11)()(1111sssstYLsYstfLsFff21)()()(11ssFsYsHf第4章 连续系统的复频域分析 f2(t)的单边拉氏变换为 2221)()(stfLsFyf2(t)的单边拉氏变换为 ssssssFsHtyLsYff1)2(1241)2(1)()()()(22222于是得)() 12(41)()(2212tetsYLtytff第4章

42、连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解 设二阶连续系统的微分方程为设二阶连续系统的微分方程为 )()( )()()( )(01201tfbtfbtfbtyatyaty式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对式(4.5-1)两端取单边拉普拉斯变换， 根据时域微分性质，得第4章 连续系统的复频域分析 )()()()()0()()0( )0()(0122012sFbssFbsFsbsYayssYaysysYs)()()0( )0()()()(0

43、1221012sFbsbsbyyassYasas分别令)0( )0()()()()(10122012yyassMbsbsbsBasassA第4章 连续系统的复频域分析 )()()()()()(sFsAsBsAsMsY 对式(4.5-4)取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即 )()()()()()()()()()()()()(111sFsAsBLtysAsMLtysFsAsBsAsMLtyfx第4章 连续系统的复频域分析 由于Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为0120122)()()(asasbsbsbsAsBs

44、H设n阶边续系统的微分方程为mjjiniiitfbtya0)(0)()()(n阶系统的微分方程为01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsHnnnmmmm第4章 连续系统的复频域分析 关于响应的初始值需注意以下问题： )()()()()()(tytytyifixi1, 2 , 1 , 0ni于是得)0()0()0()()()(ifixiyyy)0()0()0()()()(ifixiyyy（1）对于n阶线性连续系统，由于yx(t)+yf(t), 因此有第4章 连续系统的复频域分析 )0()0()()(iixyy)0()0()0()()()(ifiixyyy （2）对于n阶线

45、性连续因果系统，若在t0时yx(t)满足的微分方程相同，则)0()0()()(ixixyy1, 2 , 1 , 0ni 对于因果系统，若输入f(t)为因果信号，则 一般不等于零，因此得)0(, 0)0()()(ififyy而第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.5-1 已知线性系统的微分方程为 )()( 3)(6)( 5)(tftftytyty求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。 2)0( , 1)0(),()(yytetft第4章 连续系统的复频域分析 f(t)的单边拉氏变换为 11)()(steLsFt 解解 方法方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质

46、，对系统微分方程取单边拉氏变换，得 )()(3)(6)0()( 5)0( )0()(2sFssFsYyssYysysYs第4章 连续系统的复频域分析 求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得 )()45()(45)(810)(323232teeetyeetyeeetytttfttxttt00tt第4章 连续系统的复频域分析 方法方法 2 分别根据yx(t)和yf(t)满足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)满足的微分方程为 )()( 3)(6)(5)(tftftytytyffx由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。 yf(t)满足的

47、微分方程为 0)(6)(5)(tytytyxxxyx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-)。第4章 连续系统的复频域分析 4.6 RLC系统的复频域分析系统的复频域分析4.6.1 KCL、KVL的复频域形式的复频域形式 KCL和KVL的时域形式分别为 0)(0)(tuti 设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对式(4.6 - 1)取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到 0)(0)(sUsI第4章 连续系统的复频域分析 4.6.2 系统元件的复频域模型系统元件的复频域模型 1. 电阻元件电阻元件(R)

48、设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为 )()(tRitu电阻R的时域模型如图 4.6-1(a)所示。设u(t)和i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对式(4.6-3)取单边拉普拉斯变换， 得 )()(sRIsU第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-1 R的时域和S域模型(a) 时域模型； (b) S域模型 (a)i(t)Ru(t)(b)I(s)RU(s)第4章 连续系统的复频域分析 2. 电感元件电感元件(L) 设线性时不变电感L上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电感元件VAR的时域形式为 0)(1)

49、0()()()(0tduLitidttdiLtut(4.6-5) 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-2 电感L的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 (a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)第4章 连续系统的复频域分析 电感L的时域模型如图4.6-2(a)所示。设i(t)的初始值i(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质， 得 )()(ssLIsU 若电感L的电流i(t)的初始值i(0-)不等于零，对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，可得 s

50、isUsLsILissLIsU)0()(1)()0()()(第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-3 电感元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型 (a)I(s)U(s)sLLi(0)(b)I(s)U(s)sLiL(0-)s第4章 连续系统的复频域分析 3. 电容元件电容元件(C) 设线性时不变电容元件C上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电容元件VAR的时域形式为 dttduCtitdiCutut)()(0)(1)0()(0第4章 连续系统的复频域分析 电容元件的时域模型如图 4.6-4(a)所示。若u(t)的初始值u(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t

51、)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-9)取单边拉普拉斯变换，得 )(1)(sIsCsU 若电容元件C上电压u(t)的初始值u(0-)不等于零，对式(4.6-9)取单边拉普拉斯变换， 得 )0()()()0()(1)(CussCUsIsusIsCsU第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-4 电容元件的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 (b)I(s)U(s)(a)i(t)Cu(t)sC1第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-5 电容元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型 (b)I(s)U(s)C uC(0)(a)I

52、(s)U(s)sC1u(0)ssC1第4章 连续系统的复频域分析 4.6.3 RLC系统的复频域模型及分析方法系统的复频域模型及分析方法 例例4.6-1 图 4.6-6(a)所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。 解解 (1) 求完全响应iL(t)： VtuRRRuARRtuisCsL1)()0(1)()0(1212211第4章 连续系统的复频域分析 图 4.6-6 例 4.6-1 图 (b)R2R1IL(s

53、)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)第4章 连续系统的复频域分析 则S域的网孔方程为 )0()0()(1)(1)0()()(1)(12212211LCCSLisusIsLRsCsIsCsusUsIsCsIsCR式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得 stuLsUss/4)()(22第4章 连续系统的复频域分析 1) 1()

54、2()22(42)()(22222sssssssssIsIL求IL(s)的单边拉氏逆变换，得 )(43cos22)()(1AtesILtitLL0t第4章 连续系统的复频域分析 (2) 求零输入响应iLx(t)：设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s)，如图 4.6 - 6(c)所示。列网孔方程，得 )0()0(1)(1)0()(1)(121211LCxCxxLisusLRsCsIsCsusIsCsIsCR把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程， 1) 1(2)()(22sssIsIxLx)(43cos2)()(1

55、AtesILtitLxLx0t第4章 连续系统的复频域分析 (3) 求零状态响应iLf(t)： 对图 4.6 - 1(b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型，如图 4.6 -6(d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统函数H(s)，然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，则有 sLRsCsCsLRRsZ22111)()(第4章 连续系统的复频域分析 于是得

56、)()()(21sZsUsIsf)()(11)(11)(2212sZsUsLRsCsCsIsLRsCsCsIsfLf把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为 221)()(1)()()(22121212ssRRsLCRRLCsRsUsIsHsLf第4章 连续系统的复频域分析 因此得 1) 1(4)()()(22sssUsHsIsLf求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得 )(43cos222)(AttetitLf第4章 连续系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟连续系统的表示和模拟 4.7.1 连续系统的方框图表示连续系统的方框图表示 图 4.7-1 系统的方框图表示 f (t)y (t

57、)第4章 连续系统的复频域分析 一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示，如图 4.7-1 所示。 方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分， 是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统子系统。系统的组合连接方式有串联串联、并联并联及这两种方式的混混合连接合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元(子系统)连接起来表示。这些基本单元有加法器加法器、数乘器(放大器)、 积分器积分器等。 第4章 连续系统的复频域分析 1. 连续系

58、统的串联连续系统的串联 图 4.7-2 连续系统的串联(a) 时域形式； (b) 复频域形式 hn(t)Y(s)Hn(s)f (t)h1(t)F(s)H1(s)h2(t)(a)H2(s)(b)y (t)第4章 连续系统的复频域分析 设复合系统的冲激响应为h(t)，根据线性连续系统时域分析的结论， h(t)与hi(t)的关系为 )(*)(*)()(21ththththn若h(t)和hi(t)为因果函数，h(t)的单边拉普拉斯变换即系统函系统函数数为H(s)，根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质，H(s)与Hi(s)的关系为 )()()()(21sHsHsHsHn第4章 连续系统的复频域分析 2.

59、连续系统的并联连续系统的并联 图 4.7-3 连续系统的并联(a) 时域形式； (b) 复频域形式 h1(t)h2(t)hn(t)(a)F(s)Y(s)H1(s)H2(s)Hn(s)(b)f (t)y (t)第4章 连续系统的复频域分析 复合系统的冲激响应h(t)与子系统冲激响应hi(t)之间的关系为 niinththththth121)()()()()(niinsHsHsHsHsH121)()()()()(h(t)的单边拉普拉斯变换，即系统函数H(s)与hi(t)的单边拉普拉斯变换Hi(s)之间的关系为 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.7-1 某线性连续系统如图 4.7-4 所示。

60、其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。 (1) 试求系统的冲激响应h(t); (2) 若f(t)=(t)， 试求系统的零状态响应yf(t)。解解 (1) 求系统冲激响应h(t): 图示复合系统是由子系统h1(t)与子系统h2(t)串联后再与子系统h3(t)并联组成的。设由子系统h1(t)和h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得 第4章 连续系统的复频域分析 sethLthLthLsHtttththth)()()()() 1() 1()()()()(2144214复合系统的冲激响应和系统函数分别为 ssee