第一章数字逻辑基础

1、第一章数字逻辑基础1 数制和码制区别，各种数制间的转换数制和码制区别，各种数制间的转换 逻辑函数的真值关系逻辑函数的真值关系 逻辑代数基本定理逻辑代数基本定理 真值表、逻辑表达式、逻辑图的转化真值表、逻辑表达式、逻辑图的转化 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法本章基本要求：本章基本要求：第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础第一章数字逻辑基础21. 数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号电子电路中的信号电子电路中的信号模拟信号模拟信号数字信号数字信号随时间连续变化的信号随时间连续变化的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的概概 述述第一章数字逻辑基础3模拟信号：模拟信号：tu正弦波信号正

2、弦波信号t锯齿波信号锯齿波信号u第一章数字逻辑基础4 研究模拟信号时，我们注重电路研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的电子电路就是模拟电路，包括相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器交直流放大器、滤波器、信号发生器等。等。 在模拟电路中，所用器件一般工作在模拟电路中，所用器件一般工作在线性区，如三极管就处于放大区。在线性区，如三极管就处于放大区。第一章数字逻辑基础5数字信号数字信号tu特点是脉冲式的，只有两种状态：有脉冲和无脉特点是脉冲式的，只有两种状态：有脉冲和无脉冲。一般我们用高电平代表有脉冲，低电

3、平代表冲。一般我们用高电平代表有脉冲，低电平代表无脉冲。当然也可以反过来定义。无脉冲。当然也可以反过来定义。这种信号可以来自检测元件，如光电传感器。这种信号可以来自检测元件，如光电传感器。也可以来自某些特定电路和器件，如模数转换器，也可以来自某些特定电路和器件，如模数转换器，脉冲发生器等。脉冲发生器等。第一章数字逻辑基础6研究数字电路时注重电路输出、输入间研究数字电路时注重电路输出、输入间的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，时序图，逻辑电路图等。时序图，逻辑电路图等。在数字电路中，三极管工作

4、在非线性区，在数字电路中，三极管工作在非线性区，即工作在饱和状态或截止状态。起电子即工作在饱和状态或截止状态。起电子开关作用，故又称为开关电路。开关作用，故又称为开关电路。目前广泛使用的计算机，其内部处理的都是这种信目前广泛使用的计算机，其内部处理的都是这种信号。各种智能化仪器仪表及电器设备中也越来越多号。各种智能化仪器仪表及电器设备中也越来越多的采用这种信号。的采用这种信号。第一章数字逻辑基础7 主要要求：主要要求：第一节第一节 数制和码制数制和码制 掌握各种计数体制及其表示方法。掌握各种计数体制及其表示方法。 几种计数体制之间的相互转换几种计数体制之间的相互转换。 理解理解 BCD BCD

5、 码的含义，掌握码的含义，掌握 8421BCD 8421BCD 码，码， 了解其他常用了解其他常用 BCD BCD 码。码。第一章数字逻辑基础8一、数制一、数制( (一一) ) 十进制十进制 (Decimal)(Decimal)十进制有如下特点：十进制有如下特点：（1 1）它的数码）它的数码K K共有十个，为共有十个，为0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9。（2）相邻位的关系，高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制）相邻位的关系，高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制 的基数的基数R等于等于10。（3 3）任何一个十进制都可以写成以）任

6、何一个十进制都可以写成以1010为底的幂之和的形式。为底的幂之和的形式。例如： ( (11.51) )10 1101 1100 510- -1 110- -2 权 权 权 权 10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称数十个数码称数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式 (246.134)10 = 2102 + 4101 + 6100 + 110-1 + 310- -2 + 410- -310-10iiiiiiNKRK 第一章数字逻辑基础9( (二

7、二) ) 二进制二进制 ( (Binary) )（XXX）2或（XXX）B例如（例如（1011.01）2或（或（101111）B数制：数制：0 0、1 1进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二权：权：2i基数：基数：2 系数：系数：0、1例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1按权展开式表示按权展开式表示(1011)2 = 123 + 022 + 121 + 120 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。(1011.11)2 = 123 + 022 + 121 +

8、 120 + 12- -1 + 12- -2= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 11.75(1011.11)2 = (11.75)10第一章数字逻辑基础10( (三三) ) 十六进制十六进制 ( (He) )(XXX)16或或 (XXX)H 例如：（4E6）16或（4E6）H数码：数码：09、A F F进位规律：逢十六进一，借一当十六。进位规律：逢十六进一，借一当十六。权：权：16i 基数：基数：16 系数：系数：09、AF按权展开式表示按权展开式表示 （4E6）16=4162+E 161+6 160（4E6）16 = 4162+14 161+6 160 =（1254

9、）10将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。 =（1254）10（4E6）16 = （1254）10第一章数字逻辑基础11几种进制的优缺点几种进制的优缺点: 以十进制和二进制作比较以十进制和二进制作比较, ,十进制在日常生活中应十进制在日常生活中应用最多用最多, ,是人们最熟悉和习惯的计数体制是人们最熟悉和习惯的计数体制, ,但其十个数但其十个数码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电路的两个状态可用两个数码表示路的两个状态可用两个数码表示, ,故采用二进制故采用二进制. .二进二进制

10、计算规则简单制计算规则简单, ,但人们对它不习惯但人们对它不习惯, ,另外其数位较多另外其数位较多, ,不易读写不易读写. .利用二进制与十进制和十六进制的对应关利用二进制与十进制和十六进制的对应关系对十进制和十六进制以及二进制编码系对十进制和十六进制以及二进制编码, ,用起来就很用起来就很方便了。方便了。第一章数字逻辑基础12二、几种不同数制间的转换二、几种不同数制间的转换 1. 非十进制转换成十进制非十进制转换成十进制可以将非十进制写为按权展开式可以将非十进制写为按权展开式, ,得出其相加的结果得出其相加的结果, ,就是对应的十进制数就是对应的十进制数例例1(11010)2=124+123

11、+022+121+020 =24+23+21=(26)10例例2(1001.01)2=123+022+021+120+02-1+12-2=23+20+2-2=(9.25)10例例3(174)16=1162+7161+4160=256+112+4=(372)10第一章数字逻辑基础132. 十进制转换为二进制十进制转换为二进制整数和小数分别转换整数和小数分别转换 整数部分：除整数部分：除 2 取余法取余法 小数部分：乘小数部分：乘 2 取整法取整法例例1 1 将十进制数将十进制数 (26)10 转换成二进制数转换成二进制数 26 余数余数13 631 222220 读读数数顺顺序序0.87521.

12、750 121.500 12 1.000 1整数整数读读数数顺顺序序一直除到商为一直除到商为 0 为止为止(26)10= (11010)201011例例2 将（将（0.875）10转换为二进制数转换为二进制数（0.875）10=（0.111）2第一章数字逻辑基础14例例3 3 将（将（8181）1010转换为二进制、十六进制数转换为二进制、十六进制数8124012202010205201200余数余数读读数数顺顺序序可用除基取余法直接求十六进制。或利用十六进可用除基取余法直接求十六进制。或利用十六进制数码与二进制数码的对应关系，由二进制数转制数码与二进制数码的对应关系，由二进制数转化为十六进制

13、数。化为十六进制数。 每一个十六进制数码都可以用每一个十六进制数码都可以用4位二进制来表示。位二进制来表示。所以可将二制数从低位向高位每所以可将二制数从低位向高位每4位一组写出各位一组写出各组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二进制数按进制数按4位一组划分字节时最高位一组位数不够位一组划分字节时最高位一组位数不够可用可用0补齐。补齐。（81）10=（）2=（）2=（51）16小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。2121第一章数字逻辑基础15用二进

14、制码表示十进制码的编码方法称为用二进制码表示十进制码的编码方法称为二二-十进制码，即十进制码，即BCD码。码。常用的常用的BCD码几种编码方式如表所示码几种编码方式如表所示1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十十 进进 制制 数数1100101110101001100001110110010101000011余余 3 码码2421( (B) )2421( (A) ) 54

15、21 码码 8421 码码无权码无权码 有有 权权 码码1001100001110110010101000011001000010000权为权为 8、4、2、1取四位自然二进制数的前取四位自然二进制数的前 10 种组合，种组合，去掉后去掉后 6 种组合种组合 1010 1111。第一章数字逻辑基础16用用 BCD 码表示十进制数举例：码表示十进制数举例： (473)10 =（1）8421 BCD (36)10 = (00110110) 8421 BCD (4.79)10 = (0100.01111001)8421 BCD(50)10 = (01010000)8421 BCD 注意区别注意区别

16、BCD 码与数制：码与数制： (150)10 = 0)8421 BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 第一章数字逻辑基础17主要要求：主要要求： 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础1 1、理解逻辑函数和逻辑变量、理解逻辑函数和逻辑变量2 2、掌握三种基本逻辑关系及表示方法、掌握三种基本逻辑关系及表示方法第一章数字逻辑基础18一、逻辑函数和逻辑变量一、逻辑函数和逻辑变量 被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的函数关系称为逻辑函数。函数关系称为逻辑函数。 在逻辑代数中，逻辑变量也是用字母来表示的。逻辑变在逻

17、辑代数中，逻辑变量也是用字母来表示的。逻辑变量的取值只有两个：量的取值只有两个：1 1和和0 0。注意注意逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管截至为晶体管截至为 0 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 导通为导通为 1 低为低为 0 决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物的结果为逻辑的结果为逻辑因变量。因变量。第一章数字逻辑基础19 二、基本逻辑关系和运算二、基本逻辑关系和运算 基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻

18、辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y

19、= A B 或或 Y = AB 与门与门 ( (AND gate) )若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 第一章数字逻辑基础20 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。2. 或逻辑或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。或一个以上具备时，该事件就发生。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门

20、( (OR gate) ) 1 3. 非逻辑非逻辑决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 第一章数字逻辑基础21 4.复合逻辑复合逻辑主要要求：主要要求：1 1、含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为、含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为 复合逻辑函数。复合逻辑函数。2 2、掌握几种常见的复合函数例如：与非、或非、掌握几种常见的复合函数例如：与非、或非、 与或非、异或

21、、同或等。与或非、异或、同或等。第一章数字逻辑基础22与非与非逻辑逻辑( (NAND) )先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 0或非逻辑或非逻辑 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 101 110 000 1YA B01 0与或非逻辑与或非逻辑 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非10 001 1YA B11 0011可以有二个可以有二个以上的输入变量以上的输入变量第一章数字逻辑基础23异或逻辑异或逻辑 ( (Exclusive OR) )若相异出若相异出 1若相同出若相同出 0同或逻辑同或逻辑 ( (Excl

22、usive - NOR，即异或非，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意：异或和同或互为反函数，即注意：异或和同或互为反函数，即=ABY只能是只能是二个二个输入输入变量变量第一章数字逻辑基础24 三、逻辑函数的表示方法及其相互转换三、逻辑函数的表示方法及其相互转换主要要求：主要要求：2 2、已知逻辑图求逻辑函数式和真值表。、已知逻辑图求逻辑函数式和真值表。1 1、已知真值表求逻辑表达式和逻辑图。、已知真值表求逻辑表达式和逻辑图。3 3、逻辑函数式的波形图表示法。、逻辑函数式的波形图表示法。第一章

23、数字逻辑基础25根据真值表求函数表达式的方法是：根据真值表求函数表达式的方法是： 将真值表中每一组使输出函数值为将真值表中每一组使输出函数值为1 1的输入变量都写成一的输入变量都写成一个乘积项。在这些乘积项中，取值为个乘积项。在这些乘积项中，取值为1 1的变量，则该因子写成的变量，则该因子写成原变量，取值为原变量，取值为0 0的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积项相加，就得到了逻辑函数式。项相加，就得到了逻辑函数式。 A B C L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0

24、 1例：例：真值表真值表第一章数字逻辑基础26A=0 B=1 C=1A=1 B=0 C=1A=1 B=1 C=1依照取值为依照取值为1 1写成原变量，取值为写成原变量，取值为0 0写成反写成反变量因子的原则得到的函数式：变量因子的原则得到的函数式：验证是否正确可直接写出L与A、B、C的逻辑函数式：L=（A+B）CL= ABC+ABC+ABCL ABC ABC ABC ABC ABC 根据以上电路图以及真值表中查到，使函数根据以上电路图以及真值表中查到，使函数L L为为1 1的变量取值的变量取值组合是：组合是：第一章数字逻辑基础27通过简化的逻辑函数式也可以得到简化的逻辑图与前通过简化的逻辑函数

25、式也可以得到简化的逻辑图与前面的电路图对应的逻辑图如下所示：面的电路图对应的逻辑图如下所示：第一章数字逻辑基础28已知逻辑函数式求真值表和逻辑图已知逻辑函数式求真值表和逻辑图例题：已知逻辑函数式 ，求与它对应的真值表 和逻辑图。解：将输入变量解：将输入变量A A、B B、C C的各组取值代入函数式，算出函数的各组取值代入函数式，算出函数Z Z的值，的值，并对应地填入表中就是真值表。并对应地填入表中就是真值表。ABCZ000011001101010011011000100001101101110001111001CBCAZA BC AC 第一章数字逻辑基础29已知逻辑图求逻辑函数式和真值表已知逻

26、辑图求逻辑函数式和真值表例如：写出右图所示逻辑图的逻辑函数式。解：首先从输入端门电路开始，逐级给每个门标号（G1G5），然后依次写出各个门的输出端函数表达式，分别为：ACBCBACCBAACCB)(AACCBZ)(第一章数字逻辑基础30四四 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则主要内容：基本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法第一章数字逻辑基础311、逻辑代数的基本公式、逻辑代数的基本公式（1）与普通代数相似的定律）与普通代数相似的定律 交换律交换律: AB=B A A+B=B+A 结合律结合律: (A B) C=A (B C) (A

27、+B)+C=A+(B+C) 分配律分配律: A (B+C)=AB+AC 与对或的分配与对或的分配分配律分配律: A+BC=(A+B)A+C)或对与的分配或对与的分配第一章数字逻辑基础32（2）变量常量关系定律）变量常量关系定律01律律: A1=A A 0=0 A+1=1 A+0=A 注注: A代表代表1和和0 ；互互补补律律：0=AA; 1=A+A（3）逻辑代数的特殊定律）逻辑代数的特殊定律重叠律重叠律: A A=A A+A=A；反反演演律律B+A=BA:;BA=B+A否定律：否定律：A = A第一章数字逻辑基础33（4 4）吸收律）吸收律 推广公式：推广公式： 利用真值表利用真值表 逻辑等式

28、的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律总之：总之：A + AB = A （A+B）（）（A+C）=A+BCA(A+B）=A第一章数字逻辑基础34将 “B” 以（BC）代入(AB CABCABC2、关于等式的若干规则、关于等式的若干规则（1 1）代入规则）代入规则 将等式两边出现的同一变量都以一个相同的将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代入规则。入规则。A BA BABA B摩根定理的两变量形式为：摩根定理的两变量形式为：例如：例如：A B CACA B C第一章数字逻辑基础

29、35（2 2）反演规则）反演规则在使用反演规则时需要注意两点：在使用反演规则时需要注意两点：(1) 必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。(2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Z，如果把其中所有的，如果把其中所有的“ ”换成换成“+”，“+”换成换成“”，0换成换成1，1换成换成0，原变量换成反变量、，原变量换成反变量、反变量换成原变量，那么得到的函数式就是反变量换成原变量，那么得到的函数式就是 ，这个规则叫，这个规则叫做反演规则。它为求一个函数的反函数提供了方便。做反演规则。它为求一个函数的反函数提供了方便。Z第一章数字逻辑基础36例：例：（

30、1）1ZABABCCD（2）2ZAC DE 求函数求函数 和和 的反函数：的反函数：2z1Z解：按反演规则可直接写出 和 的反函数 和 ，2z1Z1Z2Z（1）1() () ()ZA BA B C C D （2）2ZA B C D E 第一章数字逻辑基础37 （3）对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式Z，如果将其中，如果将其中“”换成换成“+”、“+”换成换成“、0换成换成1，1换成换成0，则得到一个新的函数式，这个函，则得到一个新的函数式，这个函数数Z的对偶式，记作的对偶式，记作Z。 可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶

31、式也相等，这就是对偶规则。这就是对偶规则。对偶规则的应用：对偶规则的应用： 运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证要求证Z1Z1和和Z2Z2是否相等，则只需证明其对偶式是否相等，则只需证明其对偶式Z1Z1、Z2Z2 是是否相等（即如已知否相等（即如已知Z1 =Z2 Z1 =Z2 ，那么，那么Z Z1 1和和Z Z2 2必然相等）。必然相等）。 例:A（B+C）= AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC =（A+B)(A+C)成立。第一章数字逻辑基础38第三节第三节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1.1.逻辑函数的几种

32、常见的形式逻辑函数的几种常见的形式 一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻辑功能是一致的，各种表达式是可以相互转换的，例如对异或异或逻辑函数，它们有八种标准表达式，分别为：一、一、 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法第一章数字逻辑基础39Z = AB + AB=A B+A B=A BA B（与或式）（与或式） = A + BA + BABAB（与非（与非- -与非式）与非式）（或（或- -与非式）与非式）（或非（或非- -或非式）或非式）第一章数字逻辑基础40根据根据 Z = AB + ABZ = AB +

33、 AB=A B A B=A + BA + BABABABAB（与或非式）（与或非式）（与非与式）（与非与式）（或与式）（或与式）（或非（或非- -或非式）或非式）第一章数字逻辑基础412.2.常用的代数化简法常用的代数化简法 代数化简法也称公式化简法，其实质就是代数化简法也称公式化简法，其实质就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得最简式。以求得最简式。 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成

34、路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。本和提高系统可靠性。主要的意义主要的意义:第一章数字逻辑基础42并项法并项法:运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB CBACBAY )(CBACBA )()(CBCBACBBCAY 常用的公式化简方法常用的公式化简方法补充例题：补充例题：BA A 第一章数字逻辑基础43BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 吸收法：吸收法： AB )(FEABABY （1）BDDCDAABCY （2）补充例题：补充例题：A+AB=A 将多余的乘积项将多余的乘积项AB

35、吸收掉吸收掉第一章数字逻辑基础44 和AABABAB A C BC AB A C消去法消去法 ：消去乘积项中的多余因子；消去多余的项BC。补充例题：补充例题：CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA 第一章数字逻辑基础45 、A+A=A 或 1AA0 A A配项法配项法 ：DCBADCABCBAB CBAB 用该式乘某一项，可使其变为两项，再与其它项合并化简。 用该式在原式中配重复乘积或互补项，再与其它项合并化简。补充例题：补充例题：第一章数字逻辑基础46例题：例题：AB + AB = A B

36、 + A B求证：求证：证：根据摩根定理，得证：根据摩根定理，得AB + AB = AB AB=A + BA + BABABABAB即即同理同理ABABABAB第一章数字逻辑基础47ZABCABCABCABCAB CCAB CC()()ABAB( () )A BB AZ = A + ABC(B + CD + E ) + BC= A + (A + BC)(B + CD + E ) + BC= (A + BC)(A + BC)(B + CD + E )= A + BC第一章数字逻辑基础48ZBCBCABAB= BC(A + A) + BC + AB + AB(C + C )= ABC + ABC

37、+ BC + AB + ABC + ABC= ABC + ( ABC + AB) + (BC + ABC) + ABC= AC(B + B) + AB + BC= AC + AB + BC第一章数字逻辑基础49ZABCABCABCABC AB= (ABC + ABC) + ( ABC + ABC ) + ABC AB + AB AB= BC + AB + AB( ABC + AB)= BC + AB + AB( ABC + AB)= BC + AB + AB= BC + AB + AB= ABC第一章数字逻辑基础50二、二、 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法主要内容主要内容: :逻

38、辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式用卡诺图法化简逻辑函数用卡诺图法化简逻辑函数具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法第一章数字逻辑基础51一、逻辑函数的最小项及最小项表达式一、逻辑函数的最小项及最小项表达式 对于对于n变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都包含包含n个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中仅个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项，这样的与或出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项，这样的与或式称为最小项表

39、达式。式称为最小项表达式。例如：例如：A、B、C三变量的最小项有三变量的最小项有CBACBACBACBACBACABBCAABC共共8个最小项（个最小项（23个）个）n 个个变量变量共有共有 个最小项个最小项n2第一章数字逻辑基础52请大家思考：如何将一个非最小项表请大家思考：如何将一个非最小项表达式转换为最小项表达式达式转换为最小项表达式？F=AB+BC+CA1 AA根据：根据：)()()(BBCACAAABCBCCCABAB所以有：所以有：代入后展开再消去代入后展开再消去相同项即可得所要。相同项即可得所要。如给出表达式为：如给出表达式为：第一章数字逻辑基础53 例：ZABCABCABCAB

40、C的真值表为：A B CZ00000011010101101000101011011111 由函数的真值表可直接写出函数的最小项表达式，即将真由函数的真值表可直接写出函数的最小项表达式，即将真值表中所有使函数值为值表中所有使函数值为1的各组变量的取值组合以乘积项之和的各组变量的取值组合以乘积项之和的形式写出来，在乘积项中，变量取值为的形式写出来，在乘积项中，变量取值为1写原变量文字符号，写原变量文字符号，变量取值为变量取值为0写反变量文字符号。写反变量文字符号。第一章数字逻辑基础54 为了表示方便，最小项常以代号的形式写为为了表示方便，最小项常以代号的形式写为m mi i,m ,m 代表最小项

41、代表最小项，下标下标 i i为最小项的编号。为最小项的编号。i i 是是 n n 变量变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。取值组合排成二进制数所对应的十进制数。（1 1）最小项的编号）最小项的编号 一个一个n n变量函数，最小项的数目为变量函数，最小项的数目为2 2n n个，其中所有个，其中所有使函数值为使函数值为1 1的各最小项之和为函数本身，所有使函的各最小项之和为函数本身，所有使函数值为数值为0 0的各最小项之和为该函数的反函数。的各最小项之和为该函数的反函数。第一章数字逻辑基础55如何编号？如何编号？3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输

42、入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210例例: :第一章数字逻辑基础56（2 2） 最小项的性质最小项的性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质: :

43、对于任一个最小项，只有一组变量取值使它对于任一个最小项，只有一组变量取值使它为为1，其余各种变量取值均使它为，其余各种变量取值均使它为0。 在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项的乘积为项的乘积为0，且全体最小项的和为，且全体最小项的和为1 。若两个最小项之间只有一个变量不同，则称这两若两个最小项之间只有一个变量不同，则称这两个最小项逻辑相邻。两个逻辑相邻的最小项可合个最小项逻辑相邻。两个逻辑相邻的最小项可合并为一项并消去相反变量。并为一项并消去相反变量。第一章数字逻辑基础57CBACBACBACBACBACABBCAABC逻辑相邻逻辑相邻 如如CB

44、ABCA只有只有C 变量以原、反区别，具有相邻性变量以原、反区别，具有相邻性BA逻辑相邻的项逻辑相邻的项可以合并，消可以合并，消去一个因子。去一个因子。第一章数字逻辑基础58二、逻辑函数的卡诺图表示方法二、逻辑函数的卡诺图表示方法（1）卡诺图的画法规则）卡诺图的画法规则 卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。为了便于对函数进行化简，常将真值表按照特为了便于对函数进行化简，常将真值表按照特殊规则排列，做成图表，称卡诺图。在卡诺图中变殊规则排列，做成图表，称卡诺图。在卡诺图中变量组

45、合按照循环邻接的原则进行排列。量组合按照循环邻接的原则进行排列。第一章数字逻辑基础59 要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。 左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。 变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。排列。 将将 n n 变量的变量的 2 2n n 个最小项用个最小项用 2 2n n 个小方格表示，并个小方格表示，并且使

46、相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为排列得到的方格图称为 n n 变量最小项卡诺图，简称为变变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。量卡诺图。对卡诺图的三点规定对卡诺图的三点规定:第一章数字逻辑基础60卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的左方和上方。左方和上方。卡诺图与变量的最小项按一定规则对应，每一个小卡诺图与变量的最小项按一定规则对应，每一个小方格代表一个最小项。方格代表一个最小项。BABAABB

47、A0101BACBACBABCACBACABABCCBACBA0100011110ABC第一章数字逻辑基础61单元单元编号编号0010ABCD0100DCBADCBACDBADCBADBCAABCDBCDADCBADCBADCABDCAB10m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m0m8m9m11mDCBADCBACDBADCBADABCABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图只有只有一项一项不同不同第一章数字逻辑基础62（2 2） 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数具体做法：具体做法： 如果逻辑函数式为最小项表达式，就在卡诺图如果逻辑函数式为最小项

48、表达式，就在卡诺图上把式中各最小项所对应的小方格内填上把式中各最小项所对应的小方格内填1 1，其余的，其余的方格填入方格填入0 0，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图了。了。例例1：用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：ZABCD ABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD1 1）根据逻辑函数画卡诺图）根据逻辑函数画卡诺图第一章数字逻辑基础63解：因为函数解：因为函数Z Z为四变量最小项表达式，应首先确定各最小为四变量最小项表达式，应首先确定各最小项编号，并将函数写为项编号，并将函数写为 的形式，有的形式，有iZm111032151

49、354Zmmmmmmmm(2,3,4,5,10,11,13,15)m 然后画出四变量卡诺然后画出四变量卡诺图，将对应于函数式中各最图，将对应于函数式中各最小项的方格位置上填入小项的方格位置上填入1 1，其余方格位置上填入其余方格位置上填入0 0，就，就得到了如图所示的函数得到了如图所示的函数Z Z的的卡诺图。卡诺图。第一章数字逻辑基础642 2）由卡诺图求函数式）由卡诺图求函数式例：已知逻辑函数例：已知逻辑函数F的卡诺图如图所示，试写出的卡诺图如图所示，试写出 F的函数式。的函数式。解解：因为因为F等于卡诺图中填入等于卡诺图中填入1的那些最小项之和的那些最小项之和因此：因此：FABCABCAB

50、CABC第一章数字逻辑基础653 3）用与或式直接填入卡诺图）用与或式直接填入卡诺图 首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入1 1，其余的填其余的填0 0，就得到了函数的卡诺图。这种做的依，就得到了函数的卡诺图。这种做的依据是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法据是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法都可以写为最小项之和的形式，这个乘积项就是那都可以写为最小项之和的形式，这个

51、乘积项就是那些被展开的最小项的公因子。些被展开的最小项的公因子。CD 是 m3、m7、m11、m15 的公因子的公因子1 571 13C D=C D ( A +A ) ( B +B)=( A C D+A C D ) ( B +B)=A B C D+A B C D+A B C D+A B C D=m+m+m+m第一章数字逻辑基础66例例3：试将函数：试将函数 填入卡诺图。填入卡诺图。解：首先将解：首先将 Z 变换为与或式变换为与或式()()()ZA B CDA BCDA B CD CDZABCD非最小项与或非最小项与或式应该如何填式应该如何填入卡诺图？入卡诺图？第一章数字逻辑基础67 输入输入

52、输出输出 Y A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 010001111011100000ABC)7,6,5(),(mABCCABCBACBAFY第一章数字逻辑基础68三、用卡诺图法化简逻辑函数三、用卡诺图法化简逻辑函数1、基本思想：在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅、基本思想：在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅有一个因子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反有一个因子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反变量，则两项可合并为一项，消除其不同的因子，合并后变量，则两项可合并为一项，消

53、除其不同的因子，合并后的项为这两项的公因子。的项为这两项的公因子。例：某四变量函数中包含例：某四变量函数中包含m6,m7,m14,m15,则用代数法化简时则用代数法化简时写成：写成：671415()()()()()mmmmAB C DAB C DA B C DA B C DAB CDDA B CDDAB CA B CB CAAB CABAAB第一章数字逻辑基础69 而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，可以把它们圈为一个方格群，直接提取其公可以把它们圈为一个方格群，直接提取其公因子因子BC，如图所示：，如图所示：第一章数字逻辑基础702 2、用卡诺图化简逻

54、辑函数的步骤、用卡诺图化简逻辑函数的步骤1 . 1 . 首先将逻辑函数变换为与或表达式。首先将逻辑函数变换为与或表达式。2 . 2 . 画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。3 . 3 . 将将2 2n n个为个为1 1的相邻方格分别画方格群，的相邻方格分别画方格群，整理每个方格群的公因子，作为乘积项。整理每个方格群的公因子，作为乘积项。4 .4 .将整理后的乘积项加起来，就是化简后将整理后的乘积项加起来，就是化简后的与或式。的与或式。第一章数字逻辑基础71卡诺图化简实例卡诺图化简实例第一章数字逻辑基础72第一章数字逻辑基础73第一章数字逻辑基础74在画包围圈时必须注意：在画包围圈时必须

55、注意： （1）包围圈越大越好；）包围圈越大越好；（2）包围圈个数越少越好；）包围圈个数越少越好；（3）同一个）同一个“1”方块可以被圈多次（方块可以被圈多次（A+A=A）；）；（4）每个包围圈要有新成分；）每个包围圈要有新成分；（5）画包围圈时，先圈大，后圈小；）画包围圈时，先圈大，后圈小；（6）不要遗漏任何）不要遗漏任何“1”方块。方块。第一章数字逻辑基础75ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC例：例：用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数第一章数字逻辑基础7600CDAB01101110110100000000000BDDCCBA例例 )15,13,9,7,5,4,1(mY画出四变量的卡诺图画出四变量的卡诺图111 1把函数把函数 所具有的最小项为的填