向量运算、复数运算、算法、合情推理

1、向量运算、复数运算、算法向量运算、复数运算、算法 、合情推理、合情推理 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想

2、精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 热点考向热点考向1 1 向量的有关概念及运算向量的有关概念及运算 【例例1 1】(1)(2011(1)(2011北京高考北京高考) )已知向量已知向量 若若 共线，则共线，则k=_.k=_. (2)(2011(2)(

3、2011天津高考天津高考) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC,ADBC, ADC=90ADC=90，AD=2AD=2，BC=1BC=1，P P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则 的最小值为的最小值为_._. a3,1 ,b0, 1 , rr ck, 3 , r a2bc rrr 与 |PA3PB| uuruu r 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【解题指导解题指导】(1

4、)(1)首先确定首先确定 的坐标，再根据向量共线的的坐标，再根据向量共线的 条件求条件求k.k. (2)(2)建系，表示出建系，表示出 的坐标，然后根据模长公式求解的坐标，然后根据模长公式求解. . 【规范解答规范解答】(1)(1) k=1. k=1. a2b rr PAPB uuruu r 与 a2b3,3 , rr a2bc, rrr P 333k0, 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 (2)(2)

5、以点以点D D为坐标原点，为坐标原点，DADA、DCDC所在直线为所在直线为x x、y y轴建立如图所轴建立如图所 示的直角坐标系，且设示的直角坐标系，且设DC=mDC=m，P(0P(0，y)y)，则，则A(2,0)A(2,0)，B(1B(1，m),m), 当当 时，时， 有最小值有最小值5.5. 答案：答案：(1)1 (2)5(1)1 (2)5 PA2, y ,PB1,my uuruu r ， PA3PB2, y3 1,my5,3m4y uuruu r ， 2 2 PA3PB53m4y uuruu r ， 22 3 16(ym)5 , 4 3 ym 4 |PA3PB| uuruu r 考考

6、情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 关于向量的有关概念及运算要注意以下几点：关于向量的有关概念及运算要注意以下几点： (1)(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零 向量等基本概念向量等基本概念. . (2)(2)牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用. . (3)(3)有关向量模长的计算

7、有两种方法，一是转化为向量的数量有关向量模长的计算有两种方法，一是转化为向量的数量 积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 (1) (1) (2)(2) (3) (3) 不一定相等不一定相等. . a bb cac r rr rrr gg； ab,bcac ； rr rrrr PPP a b ca(b c)

8、 r r rr r r gg与 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 1.1.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，E E和和F F分别是边分别是边CDCD和和BCBC的中点，若的中点，若 其中其中，R,R,则则+=_.+=_. 【解析解析】 又又 答案：答案： ACAEAF uuu ruuruur ， ACAFFCACAEEC uuu ruuruu ruuu ruuruur ， 2ACAEAFE

9、CFC. uuu ruuruuruuruu r 1111 ECFCABADABADAC 2222 uuruu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r ， 2224 ACAEAF. 3333 uuu ruuruur ， 4 3 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 2.2.已知平面向量已知平面向量 则则 的值是的值是_._. 【解析解析】 答案：答案： | 1 | 22、 ， u r r u r

10、ru ru rr 2 u rr 2 u ru rr ， 20 u r u rr g ， 2 20 u ru r r g ， 1 2 u r r g ， 22 2 244424 10 u rru ru r rr g ， 210. u rr 10 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 热点考向热点考向2 2 复数的基本概念与运算复数的基本概念与运算 【例例2 2】(1)(2011(1)(2011安徽高考安徽高考

11、) )设设i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数为纯虚数，则实数a a为为( )( ) (A)2 (B)-2 (C) (D)(A)2 (B)-2 (C) (D) (2)(2011(2)(2011辽宁高考辽宁高考)a)a为正实数，为正实数，i i为虚数单位，为虚数单位， 则则a=( )a=( ) (A)2 (B) (C) (D)1(A)2 (B) (C) (D)1 1ai 2i 1 2 1 2 ai 2, i 32 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考

12、考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【解题指导解题指导】(1)(1)先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的 概念求概念求a a的值的值. . (2)(2)先化简，再利用复数的求模公式，列方程求解先化简，再利用复数的求模公式，列方程求解. . 【规范解答规范解答】(1)(1)选选A. A. 由由 是纯虚数，则是纯虚数，则 所以所以a=2.a=2. (2)(2)选选B.B. 又又a a0 0， 1ai2i1ai2a12a i, 2i2i2i55 1ai 2i 2a12a 0,0, 55 2 aiai 1 ai|1 ai1a2. ii ，

13、 a3. 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【变式备选变式备选】把把(1)(1)中的条件中的条件“纯虚数纯虚数”改为改为“实实 数数”，如何求解？，如何求解？ 【解析解析】选选C. C. 由由 是实数，则是实数，则 所以所以 1ai2a12a i, 2i55 1ai 2i 12a 0, 5 1 a. 2 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方

14、 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 复数的基本概念与运算问题的解题思路：复数的基本概念与运算问题的解题思路： 1.1.与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, ,一般是先一般是先 变形分离出实部和虚部变形分离出实部和虚部, ,把复数的非代数形式化为代数形式，把复数的非代数形式化为代数形式， 然后再根据条件然后再根据条件, ,列方程列方程( (组组) )求解求解. . 2.2.与复数与复数z z的模的模|z|z|和共轭复数和共轭复数 有关的问题，一般都要先设有

15、关的问题，一般都要先设 出复数出复数z z的代数形式的代数形式z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),代入条件代入条件, ,用待定系数法用待定系数法 解决解决. . z 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 在有关复数在有关复数z z的等式中，可设出的等式中，可设出z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),用待用待 定系数法求解，也可把定系数法求解，也可把z z看作自变量直接求解看作自

16、变量直接求解. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 1.1.已知复数已知复数 是是z z的共轭复数，则的共轭复数，则 ( )( ) (A) (B) (C)1 (D)2(A) (B) (C)1 (D)2 【解析解析】选选A.A. 2 3i z, 13i z z z g 1 4 1 2 2 3i 13i 3i3i z 22 3i2 13i 13i 13i 3i 4 ， 3i3i3i1 zz z. 4444

17、 gg， 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 2.2.设设x,yRx,yR，i i为虚数单位，且为虚数单位，且 则则z=x+yiz=x+yi的共轭的共轭 复数在复平面内对应的点在复数在复平面内对应的点在( )( ) (A)(A)第一象限第一象限 (B)(B)第二象限第二象限 (C)(C)第三象限第三象限 (D)(D)第四象限第四象限 【解析解析】选选A.A. 故故z=x+yiz=x+yi的共轭复数在复平面

18、内对应的点在第一象限的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限. . 34i 12i xyi ， 22 34ixyi3x4y4x3y i34i 12i xyixyixyixy ， 22 22 3x4y 11 1 x xy112112 5 zi zi 4x3y25555 2y xy5 ，解得， 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 热点考向热点考向3 3 用程序框图描述算法用程序框图描述算法 【例例3 3】(20

19、11(2011江西高考江西高考) )下图是某算法的程序框图，则程序运下图是某算法的程序框图，则程序运 行后输出的结果是行后输出的结果是_._. 【解题指导解题指导】依次运行程序，直至条件满足依次运行程序，直至条件满足. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【规范解答规范解答】运行程序：运行程序：S=0+(-1)S=0+(-1)1 1+1=0+1=09;n=2,9;n=2, S=0+(-1)S=0+(-

20、1)2 2+2=3+2=39;n=3,S=3+(-1)9;n=3,S=3+(-1)3 3+3=5+3=59;n=4,9;n=4, S=5+(-1)S=5+(-1)4 4+4=10+4=109,9,输出的结果是输出的结果是10.10. 答案：答案：1010 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 用程序框图描述算法应注意的问题：用程序框图描述算法应注意的问题： (1)(1)读懂程序框图，弄清程序框图的基本结构读

21、懂程序框图，弄清程序框图的基本结构. . (2)(2)含有循环结构的程序，要执行完整每一次循环，直至循环含有循环结构的程序，要执行完整每一次循环，直至循环 结束结束. . 解答有关循环结构的问题时，要写出每一次循环的结解答有关循环结构的问题时，要写出每一次循环的结 果，以防止运行程序不彻底，造成错误果，以防止运行程序不彻底，造成错误. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 1.1.阅读下边的程序框图，若

22、输出阅读下边的程序框图，若输出S S的值为的值为-7-7，则判断框内可填，则判断框内可填 写写( )( ) (A)i3? (B)i4? (C)i5? (D)i6?(A)i3? (B)i4? (C)i5? (D)i0),f(x)= (x0),观察：观察： 根据以上事实，由归纳推理可得根据以上事实，由归纳推理可得 当当nNnN* *且且n2n2时，时，f fn n(x)=f(f(x)=f(fn-1 n-1(x)=_. (x)=_. x x2 1 21 32 43 x fxf x x2 x fxf fx 3x4 x fxf fx 7x8 x fxf fx 15x16 考考 情情 快快 讯讯 权权 威

23、威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【解题指导解题指导】先分析分母中常数项与先分析分母中常数项与n n的关系，再分析分母的关系，再分析分母 中常数项与中常数项与x x的系数的关系的系数的关系. . 【规范解答规范解答】由已知：由已知： 猜想猜想： 答案：答案： 1 x fxf x x2 21 22 32 33 43 44 xxx fxf fx 3x44 1 x421 x2 xxx fxf fx 7x88 1 x821 x2 xxx fx

24、f fx 15x1616 1 x1621 x2 n nn x fx. 21 x2 nn x 21 x2 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 应用合情推理应注意的问题：应用合情推理应注意的问题： (1)(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适 当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论. .

25、(2)(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程， 然后类比推导类比对象的性质然后类比推导类比对象的性质. . 归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 1.1.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面

26、内有两 个边长都是个边长都是a a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方形重叠部分的面积恒为则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间，有两个类比到空间，有两个 棱长均为棱长均为a a的正方体，其中一个的某顶点在另一的正方体，其中一个的某顶点在另一 个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒 为为_._. 2 a . 4 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考

27、考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 【解析解析】两个正方体重叠部分的体积为一个常数，可考虑极两个正方体重叠部分的体积为一个常数，可考虑极 端情况，即两个正方体重叠部分恰好构成一个棱长为端情况，即两个正方体重叠部分恰好构成一个棱长为 的正的正 方体，这个小正方体的体积为方体，这个小正方体的体积为 答案：答案： 3 a . 8 3 a 8 a 2 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 2.2.从

28、从1=11=12 2，2+3+4=32+3+4=32 2，3+4+5+6+7=53+4+5+6+7=52 2中，可得到一般规律为中，可得到一般规律为 _(_(用数学表达式表示用数学表达式表示).). 【解析解析】观察所给等式知，等式右边是奇数观察所给等式知，等式右边是奇数2n-12n-1的平方，等的平方，等 式左边共有式左边共有2n-12n-1个自然数相加，且第一个加数为个自然数相加，且第一个加数为n n，故一般规，故一般规 律为律为n+(n+1)+(n+2)+n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)+(3n-2)=(2n-1)2 2. . 答案：答案：n+(n+1)+(n+2)

29、+n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)+(3n-2)=(2n-1)2 2 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效 方方 法法 渗渗 透透 专专 题题 强强 化化 测测 评评 高高 考考 必必 考考 热热 点点 解解 题题 技技 法法 突突 破破 转化与化归思想转化与化归思想求平面向量的数量积求平面向量的数量积 应用转化与化归思想时，可从以下几个方面考虑：应用转化与化归思想时，可从以下几个方面考虑： (1)(1)抽象问题与具体问题转化抽象问题与具体问题转化; ; (2) (2)一般问题与特殊问题转化一般问题与特殊问题转化; ; (3) (3)正向思维与逆向思维转化正向思维与逆向思维转化; ; (4) (4)命题与等价命题转化命题与等价命题转化. . 考考 情情 快快 讯讯 权权 威威 解解 读读 核核 心心 思思 想想 精精 炼炼 高高 效效