艺体冲刺k第10讲二项分布和正态分布学生

1、天幕数学第1页共11页天幕数学第10讲二项分布和正态分布玩前必备1.条件概率对于任何两个事件 A和B,在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率,P AB 用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)=匚匚AB(P(A)0).P A在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A) n AB .n A2.相互独立事件(1)对于事件A, B，若事件A的发生与事件 B的发生互不影响，则称事件A, B是相互独立事件.若A与B相互独立，则 P( B|A)= 迪,P(AB)= P(B|A)P(A) = P(A)P(B).若A与B相互独立，则 A与, A与B, A与B也

2、都相互独立.若P(AB)= P(A)P(B)，则A与B相互独立.3. 独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种吉果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2) 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,贝V P(X = k) = Cgpk(1 p)nk(k = 0,1.2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n, p)，并称p为成功概率.4. 两点分布与二项分布的均值、方差(1) 若随机变量X服从两点分布，则 E(X)= p, D

3、(X)= p(1 p).(2) 若 XB(n, p)，贝U E(X)= np, D(X) = np(1 p).5. 正态分布(xu)2(1) 正态曲线：函数 枷,g(x)= 丄 e 丁 , x (汽 )，其中实数和6为参数(d0,卩 R) 我们称函数 札o(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2) 正态曲线的特点天幕数学第2页共11页天幕数学 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线宜卫对称；天幕数学第3页共11页天幕数学曲线在x=卩处达到峰值曲线与x轴之间的面积为1 ； 当6定时，曲线的位置由 卩确定，曲线随着 卫的变化而沿x轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的

4、形状由6确定，6越小，曲线越瘦高”，表示总体的分布越集中;6越大曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a, b(ab)，随机变量X满足P(axw b)=穹林&x)dx,则称随机变量X服从正态分布，记作 XN(仏6).正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(厂 6X 叶 6 = 0.682 6 ;P(厂 2 6X 叶 2 6= 0.954 4;P(厂 3 ZX 叶 3 6= 0.997 4.玩转典例题型一条件概率和相互独立事件概率例1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任 取一件，则在第一次

5、取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_.(2)一个正方形被平均分成 9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设 投中最左侧3个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面3个小正方形或正中间的 1个小正 方形区域的事件记为 B，求P(AB), P(A|B).1天幕数学第4页共11页天幕数学例2某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是3，甲、丙两个41 1家庭都回答错误的概率是 12，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（i）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道

6、题的概率；求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.玩转跟踪1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放 着，现需要一只卡口灯泡， 电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第 2次取到的是卡口灯泡的概率为（）3277A吊 B.9 C.8 D92.（新课标高考）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _

7、.题型二二项分布例3 （湖南高考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸天幕数学第5页共11页天幕数学出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1) 求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2) 若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的 分布列和数学期望.例4 (广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若E(X) = 30, D(X)= 20，则p =玩转跟踪1为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，

8、交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人.(1) 在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取 2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2) 以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.题型三正态分布例5 “过大年，吃

9、水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺， 检测其某项质量指标值， 所得频率分布直方 图如下：天幕数学优良的概率是第6页共11页天幕数学（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（仏，利用该正态分布，求 Z落在（14.55,38.45内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10,30）内的包数为X，求X的分布列和均值.附：计算得所抽

10、查的这 100包速冻水饺的质量指标值的标准差为尸.142.75 11.95;右 匕N（ p,/），贝VP（ gwprFc） =0.682 6,P（卩2（李pfF 2c） =0.954 4.例6（2011湖北）已知随机变量服从正态分布 N 2, 2，且P 40.8，贝VP 02A. 0.6B. 0.4C. 0.3 D. 0.2玩转跟踪1.（ 2017新课标I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条 生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N （ , 2）.天幕数学第7页共11页天幕数学（1

11、）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3 ）之外的零件数，求 P（X 1）及X的数学期望；(2)天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii )下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9. 9510. 129. 969. 9610. 019. 929. 9810 . 0410. 269. 9110. 1310. 029. 2210. 0410 . 059 . 951 1 16 2 1 16 2 2经计算得 x 一 x

12、9.97, s (xi x) (xi 16x )16i 116 i /16：0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1, 2,，16.用样本平均数x作为 的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除議一整订 孙之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0. 01).附：若随机变量 Z服从正态分布N( , 2)，则P( 3 Z 3 )=0. 997 4,0.997460.9592, J0.0080.09.玩转练习1. (2015山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内

13、的概率为(附：若随机变量服从正态分布N( , j，则P() 68.26%,天幕数学优良的概率是第6页共11页天幕数学P( 22 )95.44%)A. 4.56% B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%2. (2014新课标2)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为A. 0. 8B. 0. 75C. 0. 6D. 0. 453. ( 2017新课标H) 批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，工表示抽到的二等品件数，则DX=_.4.(20

14、16四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数 X的均值是 _.5. (2018全国卷1)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0 p 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1 )记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值

15、.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？6.(2017天津)从甲地到乙地要经过 3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在1 1 1 各路口遇到红灯的概率分别为，.天幕数学第9页共11页天幕数学2 3 4(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望;(H)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.7. (

16、2016全国I )某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；若要求P(X 0.5，确定n的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n= 19与n

17、 = 20之中选其一，应选用哪个？8.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观天幕数学第10页共11页天幕数学众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：天幕数学第11页共11页天幕数学附：K2 =n ad bea+ b c+ d a+ e b+ d将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的 2X 2列联表，并据此资料是否可以认为 “体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽

18、样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列、均值 E(X)和方差D(X).P(K2 ko)0.100.050.01ko2.7063.8416.635天幕数学第12页共11页天幕数学附: K29. 2019 东期末某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成 合格产品的件数进行统计，统计表格如下：每月完成合格产品的 件数（单位：百件）(26,28(28,30(30,32(32,34(34, 36頻数1045354舅员工人数123191 n1 n（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为 生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的 2 2列联表，并判断是否有 95%的把握认为生产能手”称号与性别有关？“生产能手合计男员工女员工合计（2）为