2021高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第7课时 双曲线（一）练习 理

1、第7课时 双曲线（一）1双曲线1(0m0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1答案D解析因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.4(2017北京西城期末)mn0是方程1表示实轴在x轴上的双曲线的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当mn0时，分m0和m0，n0两种情况当m0时，方程1表示焦点在y轴上的双曲线；当m0，n0时，方程1表示焦点在x轴上的双曲线因此，当mn0，n0，必定有mn0.由此可得：mn0，b0)上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1PF2，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的一条渐

2、近线方程是()Ayx ByxCy2x Dy4x答案C解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|，得|PF2|2a，|PF1|4a.在RtPF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，4c216a24a2，即c25a2，则b24a2，即b2a，则双曲线1的一条渐近线方程为y2x.故选C.7(2018安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1或1D.1或1答案D解析当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线的离心率为e，渐近线方程为yxx.由题意，顶点到渐近线的距离为，解得a2，b，双曲

3、线的方程为1.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线的离心率为e，渐近线方程为yxx，由题意可知：顶点到渐近线的距离为，解得a2，b，双曲线的方程为1.综上可知，双曲线的方程为1或1.故选D.8已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1，) D(1，1)答案D解析依题意，0AF2F1，故0tanAF2F11，则1，即e2，e22e10，(e1)22，所以1e0，n0)的离心率为2，则椭圆mx2ny21的离心率为()A. B.C.

4、D.答案B解析由已知双曲线的离心率为2，得2.解得m3n.又m0，n0，mn，即.故由椭圆mx2ny21，得1.所求椭圆的离心率为e.10已知双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案B解析双曲线1的渐近线为0，焦点A(c，0)到直线bxay0的距离为c，则c2a2c2，得e2，e，故选B.11(2018成都市高三二诊)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为(

5、)A. B.C. D.答案D解析如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF1PF2，设以OF1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF2相切于点Q，则M(，0)，MQPF2，所以PF1MQ，所以，即，可得|PF1|，所以|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以(2a)24c2，即7e26e90，解得e，e(舍去)故选D.12(2018贵阳市高三检测)双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C(1，) D(，)答案B解析依题意，注意到题

6、中的双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域是不等式组所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1，因此题中的双曲线的离心率e(，)，选B.13已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_答案1解析方程1表示双曲线，(2)(1)0，解得1.14(2016北京)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_答案12解析由题意知，渐近线方程为y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知2，由c，c2a2b2，可得b2，a1.15(2015课标全国，文)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析方法一：因为双曲线过点(4，

7、)，且渐近线方程为yx，故点(4，)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以解得故双曲线方程为y21.方法二：因为双曲线的渐近线方程为yx，故可设双曲线为y2(0)，又双曲线过点(4，)，所以()2，所以1，故双曲线方程为y21.16(2018湖南长沙模拟)P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为_答案21解析设右焦点为F2，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|PQ|PF2|2|PQ|.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|PQ|最小，且最

8、小值为F2到l的距离由题意得l的方程为yx，F2(，0)，F2到l的距离d1，|PQ|PF1|的最小值为21.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，F1PF2，且PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程答案1解析设双曲线的方程为1，F1(c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0)在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|.即4c24a2|PF1|PF2|.又SPF1F22，|PF1|PF2|sin2.|PF1|PF

9、2|8.4c24a28，即b22.又e2，a2.所求双曲线方程为1.18(2018上海崇明一模)已知点F1，F2为双曲线C：x21的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F230.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求的值答案(1)x21(2)解析(1)设F2，M的坐标分别为(，0)，(，y0)(y00)，因为点M在双曲线C上，所以1b21，则y0b2，所以|MF2|b2.在RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2.由双曲线的定义可知：|MF1|MF2|b22，故双

10、曲线C的方程为x21.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l1：xy0，l2：xy0.设双曲线C上的点P(x0，y0)两条渐近线的夹角为，由题意知cos.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|，|PP2|.因为P(x0，y0)在双曲线C：x21上，所以2x02y022.所以cos.1(2015广东，理)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析因为双曲线C的右焦点为F2(5，0)，所以c5.因为离心率e，所以a4.又a2b2c2，所以b29.故双曲线C的方程为1.2若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x By

11、xCyx Dyx答案B解析由离心率为，可知ca，ba.渐近线方程为yxx，故选B.3(2015天津，文)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析双曲线的一条渐近线方程为yx，即bxay0.由题意，得解得a21，b23，从而双曲线的方程为x21.4设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D3答案B解析由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF

12、2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2.又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即940，则0，解得，则双曲线的离心率e.5(2015广东改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c3.由离心率e，知，则a2.故b2c2a2945.所以双曲线C的方程为1.6(2016天津)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面

13、积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1，选D.7(2017邯郸调研)已知F为双曲线1(a0，b0)的左焦点，c为双曲线的半焦距，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P满足|PF|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是()A(，) B(1，)C，) D(1，)答案A解析若双曲线上存在点P满足|PF|PG|，则必须满足FG的中垂线与双曲线有交点，

14、则P是线段FG中垂线与双曲线的交点，因为直线FG的方程为yxc，所以线段FG中垂线的方程为yx，又双曲线的渐近线方程为yx，则1，所以e，所以双曲线的离心率的取值范围为(，)8(2018辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M：1(2m0，b0)的左、右两个焦点若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为()A2 B2C. D.答案C解析将yx代入1，可得x.由矩形的对角线长相等，得c，2a2b2(b2a2)c2，2a2(c2a2)(c22a2)c2，2(e21)e42e2，e44e220，又e1，e22，e.故选C.10(2018河南八市重点高中模拟)已知

15、F1，F2分别是双曲线1(b0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF2120，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是()A BC D答案D解析不妨设P点在第一象限，|PF1|m，|PF2|n，则由已知得所以c29c140，解得c7或c2(舍去)，由b2c2a2得b3，则双曲线的渐近线的斜率是，故选D.11(2018天津一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析因为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，且双曲线的一个焦点在直线l上

16、，所以得所以双曲线的方程为1.12(2018兰州市高考诊断)已知F1，F2为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2y2a2相切，且|PF2|F1F2|，则双曲线C的离心率为()A. B.C. D2答案C解析设直线PF1与圆相切于点M，|PF2|F1F2|，PF1F2为等腰三角形，|F1M|PF1|，在RtF1MO(O为坐标原点)中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，|F1M|b|PF1|，又|PF1|PF2|2a2c2a，c2a2b2，故由得，e.故选C.13(2018福建漳州一中期中)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若

17、双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A1eCe D1e0，即有3b23c23a2a2，即ca，则有e.故选B.14(2016课标全国)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)答案A解析由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析e，e2.a24b2，.渐近线方程为yx.17(2018山东滕州月

18、考)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于()A. B1C2 D4答案D解析由双曲线1，知a5，由双曲线定义|MF2|MF1|2a10，得|MF1|8，|NO|MF1|4.18(2018湖南六校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由已知可得交点(3，4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r5，故c5，a2b225，又双曲线的一条渐近线yx过点(3，4)，故3b4a，可解得b4，a3，故选C.19(2018杭州学军中学模拟)过双曲线C1：1(a0，b0)的左焦点F作圆C2：x2y2a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N.若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为()A. B.C.1 D.答案A解析设双曲线C1的右焦点为F1.根据题意，得|FN|2b，|F1N|2