同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数

1、 由幂级数的讨论使得我们可以考虑选择幂级数作为由幂级数的讨论使得我们可以考虑选择幂级数作为基础函数列去表示一般函数。将函数表示为幂级数形式基础函数列去表示一般函数。将函数表示为幂级数形式也叫作函数的幂级数展开。也叫作函数的幂级数展开。 由于对函数性质的讨论总是逐点进行的，因此通常由于对函数性质的讨论总是逐点进行的，因此通常考虑选择幂函数数列考虑选择幂函数数列( x - - x 0 )n 作作为基础函数列去表示一般函数。为基础函数列去表示一般函数。于是函数幂级数展开式的一般于是函数幂级数展开式的一般形式为形式为 函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：函数展开为幂级数应解决三个方面的问题： 函数函

2、数 f( x )满足什么条件方可满足什么条件方可展开展开为幂级数为幂级数； 如何确定函数幂级数展开式的系数如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数否收敛于原先的函数 f( x ). . 先确定必要条件，再研究必要条件的充分性。先确定必要条件，再研究必要条件的充分性。 设设 f( x )可表示为可表示为 ，考察其所，考察其所满足的条件。满足的条件。 00nnnfaxxx 由幂级数的讨论知，形如由幂级数的讨论知，形如 的幂级数在的幂级数在以点以点 x 0 为中心的某个区间为中心的某个区

3、间 I = U ( x 0 , , )内收敛。内收敛。 因此，上述假设就是幂级数因此，上述假设就是幂级数 在区间在区间 I内的和函数为内的和函数为 f( x )，即，即 记记: : Rn( x )= f( x )- - S n( x )，I = U( x 0 , , )，则有，则有 f( x )= S n( x )+ Rn( x ) 00nnnaxx 00nnnaxx 000limlim .nknknnkfSxaxxIU xx , 00.nkkkaxx limlim0 . nnnnfSxRxx 由上述结果容易联想到函数的泰勒公式。由上述结果容易联想到函数的泰勒公式。 因为此因为此幂级数的部分和

4、函数幂级数的部分和函数 S n( x )是关于是关于 x - - x 0 的的n 次多项式，由泰勒公式的唯一性可作如下猜想：次多项式，由泰勒公式的唯一性可作如下猜想： 若部分和的余项若部分和的余项 R n( x )的极限为零，则该的极限为零，则该多项式就多项式就是泰勒多项式，即多项式是泰勒多项式，即多项式 S n( x )的系数的系数 a n 应具有形式应具有形式 且且对应余项形式为对应余项形式为 f( x )的的幂级数形式为幂级数形式为此时相应的幂级数又称为泰勒级数。此时相应的幂级数又称为泰勒级数。 110.!1nnnfRxxxn 000.!nnnfxxxn 0!nnfxan, , 由函数可

5、表为泰勒公式的条件又可作如下推想：由函数可表为泰勒公式的条件又可作如下推想： f( x )可展开成幂级数的充要条件是可展开成幂级数的充要条件是，f( x )在在 x 0 的的某邻域某邻域 U( x 0 , , )内具有各阶导数，且内具有各阶导数，且 limlim0 . nnnnfSxRxx 设设 f( x )为初等函数，且在点为初等函数，且在点 x 0 的邻域的邻域 x - x 0 内内 f( x )具有任意阶导数，则有具有任意阶导数，则有其中其中 R1 = min , ,R ，R 为上式泰勒级数的收敛半径。为上式泰勒级数的收敛半径。在端点在端点 x = x 0 R1 处，如果处，如果 f(

6、x )有定义且右端的级数有定义且右端的级数也收敛，则以上幂级数展开式在端点处也成立。也收敛，则以上幂级数展开式在端点处也成立。 上幂级数展开式又称为函数上幂级数展开式又称为函数 f( x )的泰勒展开式。的泰勒展开式。 0 0100 !nnnfxfxxRxxxn , , , 应用中泰勒展开式最常见的情形是马克劳林展开式应用中泰勒展开式最常见的情形是马克劳林展开式, ,即泰勒展开式中取即泰勒展开式中取 x 0 = 0 时的特殊情形，此时函数的泰时的特殊情形，此时函数的泰勒展开式化为：勒展开式化为： 1100!nnnffxxR Rxn , ., ., , 将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒

7、级将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法：数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称这种方法为直接法。这种方法为直接法。 另一种是利用已知函数的泰勒展开式另一种是利用已知函数的泰勒展开式写出给定函数的泰勒展开式，通常称这写出给定函数的泰勒展开式，通常称这种方法为间接法。种方法为间接法。例：例：将函数将函数 f( x )= sin 2x 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数。 求求 f ( n )( x ). . f( x )= sin 2 x ， f ( x )=( s

8、in 2x )= 2sin x cos x = sin 2 x ， f ( x )=( sin 2 x )= 2cos 2 x = 2sin( 2 x + / /2 )， f ( x )= 2sin( 2 x + / /2 )= 2 2 sin( 2 x + )， f ( 4 )( x )= 2 2sin( 2 x + )= 2 3 sin( 2 x + 3 / /2 )， f( x ) 由归纳法可求得由归纳法可求得 f ( 2k- - 1 )( x )= 2 2k - -2 sin 2 x +( 2k - - 2 ) / /2 = 2 2k - -2 sin 2 x +( k - - 1 )

9、 =( -1 )( k- -1 ) 2 2k - -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k - -1 sin 2 x +( 2k - - 1 ) / /2 = 2 2k - -1 sin 2 x + k - - / /2 =( -1 )( k ) 2 2k- -1( sin 2 x - - / /2 )=( -1 )( k ) 2 2k - -1( - - cos 2 x )=( -1 )( k - - 1) 2 2k- -1 cos 2 x ， 求求 f ( n )( 0 ) f( 0 )= sin 2 0 = 0， f ( 0 )= sin 20 = 0， f ( 0

10、 )= 2cos 20 = 2， f ( 0 )=( - - 1)2 2 2 sin 20 = 0， f ( 4 )( 0 )=( -1 )3 2 2cos 20 = - 2 2， ， f ( 2k - - 1 )( 0 )=( -1 )( k - - 1 ) 2 2k - - 2sin 20 = 0， f ( 2k )( 0 )=( -1 )( k - - 1 ) 2 2k - - 1cos 20 =( - 1 )( k - - 1 ) 2 2k - - 1 . 于是求得于是求得 f( x )的马克劳林级数为的马克劳林级数为 21100002!nnffxfxfxn 244221110002!

11、4!2kkfxfxfxk 321242122212!4!2kkkxxxk. 12 sin 22nnnfxx 有有由由 111 2 sin 22!1!1nnnnnnfxRxxnn 1 2.!1nnxn 由于余项形式复杂，直接考察是否有由于余项形式复杂，直接考察是否有 R( x ) 0 比比较困难，为此考虑幂级数较困难，为此考虑幂级数 的收敛性。的收敛性。 此幂级数不缺项，可按半径公式确定其收敛半径。此幂级数不缺项，可按半径公式确定其收敛半径。102!1nnnxn 11121 !limlim2lim02!22nnnnnnnanann , 于是对于是对 x ( - - , ,+ )，幂级数幂级数 收

12、敛收敛，由级数收敛的必要条件有由级数收敛的必要条件有 即对即对 x ( - - , ,+ )，f( x )的的马克劳林马克劳林级数收敛级数收敛于于 f( x ). 因此求得因此求得 f( x )= sin 2 x 的的马克劳林展开式为马克劳林展开式为 102!1nnnxn 1 20!1nnnnxRxn. . 3212242122sin.14!2kkkxxxxxk , , 直接法求函数泰勒展开式就是根据泰勒级数的系数直接法求函数泰勒展开式就是根据泰勒级数的系数形式及泰勒级数收敛的充分条件确定函数泰勒展式。形式及泰勒级数收敛的充分条件确定函数泰勒展式。 用直接法求给定函数的泰勒展式一般比较繁杂，问

13、用直接法求给定函数的泰勒展式一般比较繁杂，问题来自两个方面：题来自两个方面： 求求 f ( n )( x ), , f (n)( 0 )的计算较为繁杂的计算较为繁杂； 余项余项 R n( x )是否趋于零判别较困难是否趋于零判别较困难，因为余项极限因为余项极限 通常是通常是“ / / ”型型不定式不定式，这一不定式的计算常比较困难这一不定式的计算常比较困难。 110limlim!1nnnnnfRxxxn 用间接法求泰勒展开式就是设法利用某些已知的函用间接法求泰勒展开式就是设法利用某些已知的函数的泰勒展开式，通过相应的代数及分析运算导出求所数的泰勒展开式，通过相应的代数及分析运算导出求所求的函数

14、泰勒展开式。求的函数泰勒展开式。 常用的泰勒展开式有常用的泰勒展开式有 sin x、cos x、ln( 1+ x )、e x、( 1 + x ) 等函数的等函数的马克劳林展开式。最常用的泰勒展开马克劳林展开式。最常用的泰勒展开式是几何级数式是几何级数 用间接法求函数的泰勒展开式的优点在于不必直接用间接法求函数的泰勒展开式的优点在于不必直接计算导数和估计余项。由于已知函数的泰勒展开式已是计算导数和估计余项。由于已知函数的泰勒展开式已是收敛的，因此不需要再验证收敛性。收敛的，因此不需要再验证收敛性。 011 11nnxxx , ., 例如，对于函数例如，对于函数 f( x )= ln( 1 + x

15、 )，可按如下方法，可按如下方法转化为几何级数求其马克劳林展开式：转化为几何级数求其马克劳林展开式： 由于幂级数在其收敛区间内可逐项求导，且求导后由于幂级数在其收敛区间内可逐项求导，且求导后所得幂级数的收敛半径不变，故当所得幂级数的收敛半径不变，故当 x ( - -1 , ,1 )时有：时有： 0111 111nnfttttt ,., 0 00ln 1ddxxnnxfftttxt 1 0001d.11nxnnnnnttxn 又如，对函数又如，对函数 f( x )= arctan x 由于由于 因此因此当当 x ( - -1 , ,1 )时有时有 2 22011.1 111nnxxxx , 22

16、 0 0 0ddarctand11xxxttfxftxttt 2221 0 00001dd.121nxnxnnnnnnttttxn 21arcsin1fxxx,例：例：求求 f( x )= ln( 2 x 2 + x - - 3 )在点在点 x 0 = 3 处的处的泰勒展式泰勒展式。 给定函数与给定函数与 ln( 1+ t )形式相近，考虑利用形式相近，考虑利用 ln( 1 + t )的的展开式求其展开式求其泰勒泰勒展开式。展开式。 f( x )= ln( 2 x 2 + x - - 3 )= ln( 2 x + 3 )( x - - 1 )= ln( 2 x + 3 )+ ln( x - -

17、 1 )= ln 9 + 2( x - - 3 )+ ln 2 +( x - - 3 )f( x )323ln9ln2 1129xx323ln9lnln2ln 1129xx 323ln18lnln 1129xx, 由已知展开式由已知展开式 可求得，当可求得，当 ，即，即 x - 3 9/ /2 时有时有 当当 ，即，即 x - 3 2 时有时有 1 01ln 1 1 11nnntttn,., 2319x 1012323ln 1199nnnxxn 110213.19nnnnxn 312x 10133ln 1122nnnxxn 1101321nnnnxn , 于是当于是当 x - 3 min 9/

18、 /2, ,2= 2 时有时有 323ln18lnln 1129xxfx 1111003211ln1831921nnnnnnnnxxnn 1110121ln183.192nnnnnxn 将函数表示成幂级数形式，不仅使得各类可导函数将函数表示成幂级数形式，不仅使得各类可导函数具有了运算意义，也更深刻地揭示了函数各种性质的内具有了运算意义，也更深刻地揭示了函数各种性质的内在联系和本质。在联系和本质。 例如，三角函数例如，三角函数 sin x、cos x 来源于三角形边角关来源于三角形边角关系的讨论，指数函数系的讨论，指数函数 e x 来源于增长率问题的研究。由来源于增长率问题的研究。由于两类问题之间并没有什么关系，自于两类问题之间并没有什么关系，自然不会想到这两类函数之间有什么然不会想到这两类函数之间有什么联系，但由它