随机变量的独立性随机向量函数的分布

1、随机向量及其分布随机向量及其分布第三章第三章 n二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布n随机变量的独立性随机变量的独立性n随机向量函数的分布随机向量函数的分布随机变量的独立性随机变量的独立性第四节第四节 ( , )( )( )XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 ijijppp对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取的取值互不影响时，值互不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，相互独立的，进而把上述定义

2、式当公式运用进而把上述定义式当公式运用. . 在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy(1)(1)求求( (X,Y)X,Y)的边缘分布的边缘分布 （2 2）X X和和Y Y是否独立是否独立？设（设（X X，Y Y）的概率分布（律）为的概率分布（律）为例例1 1ijijppp逐个验证等式逐个验证等式 XY123121/61/91/182/91/31/9解解: :(1)(1)XP121/3 2/3YP2137/183/184/9(2)(2)1,11/61 1(1/3)(7/18)7/541,11 1P XYP XP YP XYP XP

3、YXY和 不独立(1)(1)求求( (X,Y)X,Y)的边缘分布的边缘分布 （2 2）X X和和Y Y是否独立是否独立？设（设（X X，Y Y）的概率分布（律）为的概率分布（律）为例例2 2XY31417. 06810. 013. 030. 025. 005. 0(3) 的分布律。,maxYXz (1)(1)求求X X与与Y Y的联合分布律；的联合分布律； （2 2）X X和和Y Y是否独立是否独立？已知随机变量已知随机变量X X和和Y Y的概率分布为的概率分布为例例3 3XP1YP102/12/1012/14/14/1. 10XYP且例例4 4 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度

4、为(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) (1) P0X1 P0X1 ，0Y10Y1 (2) (X,Y) (2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， （3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 (1) (1) 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1 ，0y10y1） ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx(2) (2) 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时0 x 2320( )

5、62xyxXxedye当当 时时0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(3)(3)(23 )6, (0,0)( )( )0, xyXYexyxy其它所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。例例5 5设（设（X,Y)X,Y)服从二维正态分布，其概率密度为服从二维正态分布，其概率密度为12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy ,0X Y则相互独立的充分必要条件是参数。(,)xy 1212( )(

6、)( )( )XYg xg yg Xg Y设随机变量 和 相互独立，又，是两个一元连续函数，则，也是相互独立的随机变量。22XYXY此定理表明：若 、 相互独立，则、也相互独立。例例6 6一电子仪器由两个部件构成，以一电子仪器由两个部件构成，以X X与与Y Y分别表示分别表示两个部件的寿命（单位：千小时两个部件的寿命（单位：千小时).).已知已知X X和和Y Y的的联合分布函数为：联合分布函数为：其它, 00, 0,1),()(5 . 05 . 05 . 0yxeeeyxFyxyx小时的概率？超过）求两个部件的寿命都（是否独立？与）问（10021YX练习：练习： 已知二维随机变量（已知二维随机

7、变量（X，Y）服从区域服从区域D上的均匀上的均匀分布，分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。所围成的三角形区域。判断判断X，Y是否独立。是否独立。 解解 （X,Y）的密度函数为的密度函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他当当 时，时，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Xfxf x y dy当当 或或 时时12x 0 x ( )0Xfx 当当 时，时，01

8、y012( )4yYfydx2(1)y所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx当当 或或 时时0y 1y ( )0Yfy 随机向量函数的分布随机向量函数的分布第五节第五节 离散型随机向量函数的分布离散型随机向量函数的分布连续型随机变量之和的分布连续型随机变量之和的分布其他分布举例其他分布举例二维随机向量函数的分布二维随机向量函数的分布( ) (, )ZFzP ZzP g X Yz设设(, )X Y是二维随机向量是二维随机向量, ,其联合分布函数为其联

9、合分布函数为( , ),F x y(, )Zg X Y是随机变量是随机变量,X Y的二元函数的二元函数Zn 的分布函的分布函数数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？ 离散型随机向量函数的分布离散型随机向量函数的分布设设(, )X Y是二维离散型随机向量是二维离散型随机向量, ,其联合分布律为其联合分布律为, (1,2,;1,2,)iji jP Xx Yypij(, )Zg X Y则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布律为其分布律为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg x ypij( ,)( ,1,2,)ijg x yi j 如

10、果互不相等，则( ,)( ,1,2,)ijg x yi j 如果中有相等的项，应把那些相等的项对应的概率值合并起来。例例.),( ,min,max)3( )2( ) 1 ( ).2 , 1 , 0( ,31 的分布律求令的分布律；求的分布律；求相互独立同分布，且与设随机变量VUYXVYXUXYZYXWiiXPYX12, 例例 设设X X、Y Y相互独立，且相互独立，且X X与与Y Y分别服从参数为分别服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，Z=X+YZ=X+Y，求求Z Z的分布律的分布律 连续型随机向量函数的分布连续型随机向量函数的分布设设(, )X Y是二维连续型随机向量是二维连续型随机向量,

11、,其联合概率密度为其联合概率密度为(, )Zg X Y则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元连续函数，是二元连续函数，其概率密度函数为其概率密度函数为 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布 如果如果 X与与Y 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为 f(x,y)，则则Z=X+Y的概率密度函数为的概率密度函数为 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy

12、或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx( )()( )ZXYfzfzy fy dy例例 设设X X、Y Y相互独立，且相互独立，且X X与与Y Y分别服从标准正分别服从标准正 态分布态分布N(0,1)N(0,1)，试求试求Z=X+YZ=X+Y的概率密度。的概率密度。),( ), 2 , 1)(,(12112niiniiniiiiiNXZniNX独立，则，且它们相互结论：如果记记 住住 结结 论！论！两个独立随机变量和的分布两个独立随机变量和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立)()()(2121PYXPYPX),(),(),(222121222211NYXNYNX的密度函数。求其它密度分别为相互独立，它们的概率与设YXZyyeyfxxfYXyYX 0., 0 , 0,)( , 0, 10, 1)(例