几何中的调和分割及应用

1、几何中的调和分割及应用 郑皎月 安康学院数学系 陕西 安康 725000 ) 摘 要: “ 调和分割” 又称“ 调和 共轭 ”, 它是交比 研究 中的 一个 重要特 例， 也是 贯穿大学高等几何课程的一个重要概念，应用它解决初等几何中有关平分角、 平分 线段以及高等几何中有关对合的性质、 完全四点型的调和分割、 完全四线型调和分割以 及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义。 关键字： 调和分割 高等几何 应用 性质 若 C点分割线段 AB的比值和 D 点分割 AB的比值只差一个符号(因而一个是内分 点，另一个是外分点) ，这时我们说 C、D两点调和分割 AB,或 C与 D对于线段 AB成调 和

2、共轭点偶，用符号 (AB,CD) 1表示。在调和分割中，两对点的关系是完全对等的， 这意思是说，当 C 与 D 调和分 AB 时， A 与 B 也调和分割 CD,因而我们已知道，若 (AB,CD) 1,便也有 (CD , AB ) 1. 一、几何中的调和分割 1. 关于平分角中的调和分割 三角形中一个角的内角和外角的平分线， 将对边分成两线段的比值， 都和两邻边成 比例，可见，两条平分角线和对边的交点，调和分割对边。 图1 证明：由三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都 和两临边成比例 有 AE AC , DA AE EB CB , DB EB 即 AC DA CB D

3、B AC DB 1 DA CB 则 AC BD 1 AD BC 因此 (AB,CD ) 1 2、关于线段的调和分割 一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割 ,即证明： ( AB ,CP ) 1 A P C 图2 B 证： ( AB, CP ) AC BP AC BP AP BC BC AP 因为 AC CB 所以 AC 1 BC 即 AC BP 1 AP BC 则 ( AB, CP ) 1 3、关于对合的调和分割 对合有两个二重元素， 这两个元素是不重合的， 可能是共轭复元素， 并且这两个二 重元素调和分割任意一对对应元素。 证明：由于对合的表达式是 2 auu b(u u ) d 0

4、,(ad b2 0), 所以决定二重元素的方程 2 as2 2bs d 0 不能有等根， 所以两根 s1和 s2或者是不等式实根 (双曲型对合)，或者是共轭复根 (椭圆型对合) . 由于对合是射影变换， 因此保留交比， 即(s1s2,uu) (s1s2,uu ) ,利用交比性质， 此 式可写作 (s1s2,uu) 1 从而 (s1s2,uu) 1或(s1s2,uu) 1，但(s1s2,uu) 1 将导致 u与 (s1s2, uu ) u 重合，这与对合不是恒同变换的假设抵触，从而 (s1s2 ,uu) 1 4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割 A r b P PR 图3 D A C B 完

5、全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两 边和对角三角形的两边。 完全四线型 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这直线上的两个顶 点和对角三角形的两个顶点。 S 证明： 设AB,SQ,RT是完全四边形的三条对角线， SQ,RT交 AB于C、D,则 S ABCD RTED (E RT SQ) Q BACD. 所以 1 (AB,CD) (BA,CD) , (AB,CD) 从而 (AB,CD)=1，或( AB,CD)=-1 (AB,CD)2 1, 因 (AB,CD) 1 将导致四点 A、B、C、D 中有某两点重合，因这与现在的情况不合，所 以 (AB,CD)

6、1 现在回转来证明完全四点形的调和性质。 我们取对角点 A 为例，只需把图 2 上点 Q、 R、S、T 理解为完全四点形的顶点，那么三角形 ABE 是它的对角三角形，要证明的是 A(RT,BE) 1, A(RT,BE)=A(RT,DE) =(RT,DE) =(AB,DC) S (因为 RTDE ABDC ) 1 证毕. 5、关于拉盖尔定理的推论 两条直线垂直的充要条件是它们和 l 的交点关于 I(1,i,0)和,J(1，-i ,0)两点成调和 共轭，亦即该两条直线被通过它们的交点的迷向直线调和分割 证明：设两条直线的交角是 ,这两条直线上的无穷远点与 I,J两点所成的交比是 D,那么， 对数函

7、数的主值范围内，由拉盖尔定理公式 1D= 22 D= i e i D e i cos( ) isin( ) 1 所以 D 1. 因此，这两条直线上的无穷远点与 I,J 两点所成的交比为 -1，即垂直的两条直线 被通过它们交点的两条迷向直线调和分割。 二、调和分割的应用 例 1 ABCD是梯形，E是两腰所在直线的交点， 过两对角线的交点 G 引底边的平行 线相交于 F,则 (AD,EF) 1. 图5 证明：联结 EG,分别与梯形上、下两底交于点 H 和 I,观察到 EDGH是一个完全四线形， EI是它的对角线，有完全四线形的调和性质，得到 又， CD / BA/ GF ,故 S IHEG ADEF (S BA CD ,平行投影是特殊的射影 ). 这样，(AD,EF) (IH ,EG) 1.证毕 例 2 给定一条二次曲线，证明在不是切线的每一直线上有无穷多的共轭点偶，它 们组成一个对合对应 图6 证明：设直线 l 交二次曲线 于点 M、N,过 M、N作 的二切线交于点 S，在 l上任取一 点P，过P作 的两条切线，连两切点的直线 p和l交于P，p为点 P关于 的 极线且过点 S(图 4)，则有 (MN,PP) 1,所以，在直线 l 上有无穷多的共轭点 偶，它们组成以 M 、N为二重元素的对合对