《流体力学》2011.12.01

1、2021-6-162021-6-16 ANSWERS英文关键词，对不明白的术语，可点击相关链接与论文；GOOGLE采用高级搜索，格式为PDF、PPT和DOC。Fluid Mechanics 流体力学是研究流体运动规律及其应用的科学，是力学的一个重要分支。流体力学研究的对象液体和气体。固体有一定的体积和一定的形状；液体有一定的体积而无一定的形状；气体既无一定的体积也无一定的形状。固体、液体和气体的宏观表象差异： 都江堰位于四川省都江堰市城西，是中国古代建设并使用至今的大型水利工程，被誉为“世界水利文化的鼻祖” 。通常认为，都江堰水利工程于公元前256年左右修建的，是全世界迄今为止，年代最久、唯一

2、使用至今、以无坝引水为特征的宏大水利工程。 秦帝国修建了三条渠：郑国渠、都江堰、灵渠 对于水利工程除了地质要求外，还有三个重要自然因数需要解决。汛期的防洪；枯水期的正常使用；泥沙淤积问题。都江堰流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科 理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充刚体：有形状、有体积液体：无形状、有体积气体：既无形状、也无体积 假设流体是由一个接一个、连续充满空间的具有确定质量的流体微团（或流体质点）组成的。微团之间无孔洞，在运动过程中相邻微团之间不能超越也不能落后，微团变形过程中相邻微团永远连接在一起。（连续性）其目的是在流体力学研究中，利用连续函数的

3、概念和场论的方法。连续介质流体微元具有流体宏观特性的最小体积的流体团理想流体不考虑粘性的流体不可压缩性=c0limmmm Ff根据作用方式的不同，可将力分为质量力和表面力。1.3.1质量力：如：重力、惯性力、电磁力单位质量力000limlimlimxxmyymzzmfmfmfmFFF注意：单位质量力具有加速度量纲力作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比mxyzffffijk式中 ：流体微元体的质量； ：作用在该微元体上的质量力；mmF()mmxyzddmdmfffFfijk单位质量流体所受的质量力称为单位质量力，记作重力zGg V 00 xyzfffg 00 xyzGGGg V 单位质量重力

4、xzyVng VOnPPPVaAP表面力惯性力aFa V xxyyzzfafafa xxyyzzFVaFVaFVa 单位质量惯性力0limAPA 1.3.2.表面力：应力切线方向：切向应力剪切力内法线方向：法向应力压强0limnAPpA 0limAPA PAPnPt剪切力：流体相对运动时，因粘性而产生的内摩擦力表面力具有传递性外界对所研究流体表面的作用力。与所作用的表面积大小成正比zyxVng VOnPPPVaA小结：流体表面所受的力有两类：质量力；表面力。1.3.3.应力场：图1-2 一点处的应力PAnPPMA PB n 图1-3 一点处的应力关系（四面体）O nnnp dAxxp dAyy

5、p dAzzp dAzxyA B C MxpO zy-xxpxpC B 正面正面负面负面M（b）（a）对于图1-2，在外法线为n的面上的点M的的应力为：0limnnAPpA 该应力可分解为如图1-3所示的分力：xpypzp正面：xpypzp负面：指外法线为n的面上见下页，过点M的法向应力和切向应力均为作用面法向单位向量n的函数。这是表面应力的一个重要特征。yypp xxpp zzpp 根据牛顿第三定律：x、y、z方向上的面积投影关系：cos,cos,cos,xnxnynynznzndAdAn xn dAdAdAn yn dAdAdAn zn dA（1-7）则最终作用在四面体四个微元面积上的总外

6、表面力分别为：yyp dAxxp dAzzp dAnnp dA作用在四面体上的外力还有质量力（包括惯性力）根据达朗伯原理：0nxyznxyzfdmp dAp dAp dAp dA 其中13ndmdAh 四面体ABC面的高（1-9）当四面体趋向于点M时，0h ，则（1-9）式可变为xyznxyzpn pn pn p （1-11）nxxxxyyxzzxnyyxyyyyzzynzxxzyyzzzzpn pn pn ppn pn pn ppn pn pn p应力在三个方向上的投影形式为（1-12）应力所在平面法线法向应力的方向 xxxyxzyxyyyzzxzyzzppppppppp xxxyxzyxy

7、yyzzxzyzzppp将（1-12）改为矩阵形式（1-13）（1-14）切向应力 0 00 00 0 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）静止流体不显示粘性，理想流体模型无粘性。根据静止流体和理想流体的性质可知， =xxyyzzpppp 流体静力学中的压强本小节总结：本小节总结：要求掌握：单位质量力的概念及其表示方法。单位重力，单位惯性力注意：单位质量力与加速度具有相同的量纲。表面力的概念及公式（1-14）（1-15）注意：静止流体不显示粘性和理性流体忽略粘性1.4.1易流动性 任何微小的剪切力都可以使流体连续变形的性质称为流体的易流动性。静止流体不能抵抗剪切力，即不显示粘性。与固体

8、相比，流体微团的易流动性，使其不能用位移和变形量本身来量度，而必须用速度和变形速度来量度。1.4.2 惯性连续介质范围分子效应范围mVmV振荡范围OVVMVm微元体图1-4 一点处密度的定义limVVmV 0limVmV 点密度对于均质流体mV对于可压缩流体，当压强、速度或空间发生变化时，应采用上式。（1-17）（1-18）（1-19）1.4.3重力特征GmgVV均质流体的重度，又称均质流体容重非均质流体任意一点的重度00limlimVVGmgVV mVg（1-23）（1-20）（1-21）fluid elementxydyxFux静止板恒定速度ux xvyy 二板的面积均为A图1-5 Pla

9、nar Couette（库爱特粘度计）（库爱特粘度计）流体具有抵抗其微团之间相对运动（剪切变形）的性质称为粘性。This ratio is used to define the shear viscosity, （eit ）. The shear viscosity may depend on temperature, pressure, and shear rate. xy vvelocity gradient or shear rateshear stressshear rateFAv1687年， Isaac Newton 首先提出了流体粘度的模型。尽管Newton 定义的粘度是理想的。

10、但对于诸如低分子液体、稀薄的气体，在许多条件下仍然适用；然而对于诸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和胶体悬浮液不能用Newton定律进行描述。这样的流体被称为 non-Newtonian.1.4.5 粘性系数对于二维平面 Couette流, Newton 定义的粘度可以由下式给出xyxddyv（1-27）Eq. (1-27), where is the shear stress, and , a function of temperature and pressure, is the coefficient of viscosity or simply the viscosity. absol

11、ute viscosity 因此对于Newtonian fluid = 。注意：是 Newtonian-model 参数, 其与温度和压力有关； 而是一个更一般的材料特性，可以随剪切率做非线性变化。h与m概念不相同xxddtvdyxdtvxddtd1.4.6 速度梯度的物理意义xddy角变形速度（剪切变形速度）xddtdtgddyxdddydt流体与固体在摩擦规律上完全不同固体： 与正压力成正比，与速度无关流体：与xddy成正比Oxddy0塑性流体胀塑性流体牛顿流体假塑性流体图1-7 牛顿流体与非牛顿流体The absolute viscosity of a fluid divided by

12、its density. Also known as coefficient of kinematic viscosity（运动粘度，相对粘度）. 1.4.7 kinematic viscosity 运动粘度（1-32）与温度有关单位与温度和压力有关；单位2msPa s 例1-1：汽缸直径D=120mm，活塞直径d=119.6mm，活塞长度L=140mm，活塞往复运动的速度为1m/s，工作时的润滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。解：xdFAdy20.11960.140.053Ad Lm30.0530.1 5 1026.5FN 3-1-01-05 10(-)/ 2(0.12-0.1

13、196)/ 2xxdsdyD dsDldxdFAdy因属于牛顿流体注意面积、速度梯度的取法26.5 126.5xNFW 消耗功率假设间隙是均匀的例1-2：旋转圆筒粘度计，外筒固定，内筒转速n=10r/min。内外筒间充入实验液体。内筒r1=19.3mm，外筒 r2=20mm，内筒高h=70mm，间隙d=0.2mm，转轴上扭距M=0.0045Nm。求该实验液体的粘度。解：260n且111121rMFrArrrxdFAdy因属于牛顿流体1）对于外圆表面，有12Arh21rrr粘度计孔轴旋转hnr1r2d间隙23111112121260215nrnhrMrhrrrrr231100.070.01930

14、.00473 150.0007MN m2）对于端面（圆盘旋转）OBdzydr uu r uu z圆盘缝隙中的回转运动durdzdurdz 2dAdr22rdFdAdr431221022drMr dr总力矩12MMM20.00124M计算得0.00450.004730.001240.00450.753770.004370.00124Pa s1.4.8压缩（膨胀）性 不可压缩流体模型压缩系数在一定温度下，密度的变化率与压强的变化成正比pddp流体的压缩性和热胀性0dmdVVddV因质量守恒ddV V pddV Vdpdp Hookes law（1-47）（1-46）体积弹性模量1pdpdpEVdd

15、V E 的单位2N m当压强一定，温度发生变化时TddV VdTdT 热膨胀系数不可压缩流体模型 在一般温度和压强情况下，流体的可压缩性很小，我们一般认为不可压缩。例如：20C水，在100MPa压强作用下，其体积减少约5%，压缩系数为5x10-10m2/N，各种矿物液压油的平均压缩系数为6x10-10m2/N，所以，在液压系统设计中，往往认为液压油不可压缩。 注意：若对液压系统进行动力学仿真时，往往需要考虑。1.4.9 理想气体状态方程pRTR气体常数空气R=8.31/0.029=287J/kgK 等温过程：压缩系数 等压过程：膨胀系数 绝热过程：压缩系数 低速（标准状态，v 68m/s）气流

16、可按不可压缩流体处理1Tddp pdpdpp 1pdV VdT TdTdTT1ddppdpdpp Sucking air（吸入的空气）with the pump happens， but is by proper installation（装置） avoidable.The oil is quickly into solution during the increasing pressure.Air bubbles （气泡）come to oil mostly so that with decreasing pressure the air “goes out of solution”. -

17、dissolving （溶解） coefficient at normal pressureAt normal pressure Va=Vf .At high pressure, the volume of the dissolved air is much more than the volume of the liquid.21afpVVpSudden, jerky movements（停停动动）, oscillation, noiseLate switchingReduced heat conduction（降低了热传导）Accelerated aging （老化）of the liqu

18、id, disintegration（分解） of oil moleculesCavitation erosion（气蚀）00201famixturelflaVVKKVpKVpKl: liquid compressibilityVf: volume of liquidVa0: volume of gas in normal statep0: normal pressurep: under investigation（研究）本小节总结：本小节总结：要求掌握：粘性的概念及其特性（与温度、压强的关系）；牛顿内摩擦定律及其计算；了解可压缩性与热膨胀性；不可压缩流体注意：运动粘度反映流体的流动性，动力粘

19、度反映运动的剪切应力。运动要素：表征流体运动状态的物理量 场的概念：如果在全部空间或部分空间的每一点、都对应某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场，如果这个物理量是数量，就称这个场为数量场。若是矢量，就称这个场为矢量场。场的描述方法： Lagrange法和Euler法场又可分为： 稳定场 时变场（不稳定场）1.5.1 Lagrange法（随体法或跟踪法）基本思想：跟踪每个流体微团的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，时刻，微团坐标为（a，b，c）；则t 时刻位移流体质点

20、的位置坐标变为：物理概念清晰，但处理问题十分困难0t（1-53）()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，1.流体质点的位置坐标：2.速度：()()()()()()x abctuu abctty abctvv abcttz abctww abctt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，3.流体质点的加速度222222()()()()()()()()()xxyyyyu abctx abctaaabctttv abcty abctaaabctttw abctz abctaaabcttt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

21、， ， ，流体质点的运动方程Euler 描述法 ： 在流体所占据的空间中，对每一个固定点，研究流体质点经过该点时其力学量的变化情况，整个流体的运动可认为是空间各点流动参量变化情况的综合。 用空间点位置坐标 ( x, y, z )来表示某一确定点，称(x, y, z)为 Euler 坐标或空间坐标。通常称f ( x, y, z, t )为Euler 变量。 若以f 表示流体的某一个物理量，其Euler 描述的数学表达式是： (),fF xyztFtr， ， ，（1-56） 在任意 t 时刻，空间任意一点 ( x, y, z ) 的V、 p、T、将是 （x, y, z, t ）的函数，即 ()()

22、()()VV xyztpp xyztTT xyztxyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，（1-57）若x、y、z为常量，上式表示在空间某一特定点上， V、 p、 T、随时间 的变化情况；若 t 恒定，则上式表示空间各个点在某一个特定时刻有关力学量的 数值分布。V, , p, , 等有关力学量都是空间点x、y、z 坐标的函数 速度场、压力场、密度场等 流体运动的问题转化为研究有关矢量场和数量场问题 按场内函数空间位置 x、 y、 z是否变化， 分为 均匀场和非均匀场 。按场内函数与 t 的关系，分为定常场（稳定场）和非定常场（不稳定场）。1.5.3 Lagrange法与法与Euler法的关系

23、设表达式 f =（a、b、c、d、t）表示流体质点在 t 时刻的物理量。如果设想流体某一质点（a、b、c、d ）恰好在 t 时刻运动到空间点 （x, y, z）上，则应有()()()xx abcdtyy abcdtzz abcdt， ， ， ， ， ， ， ， ， ，()()()()aa xyztbb xyztcc xyztdd xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，()fabctfa xyztb xyztc xyzttF xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，LagrangeEuler为了与教材一致(),fF xyztFtr， ， ，设Euler表达式：()xyzt， ， ，

24、及()()()xyzx abctutdy abctfudttz abctutr， ， ， ， ， ， ，常微分方程的解为：123123123()()()xx ccctyy ccctyy ccct， ， ， ， ， ， ，当0tt时，abcr， ，110220330()()()cc abctccabctccabct， ， ， ， ， ， ，()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，将此式代入 f =F (x，y，z，t )，即得到 Lagrange 描述。 例1-3 已知Lagrange描述： ttxaeybe，求速度与加速度的Euler描述。解：速度与加速

25、度的Lagrange描述为：ttxyyttxxydxdyuaeubedtdtduduaaeabedtdt ，因已知ttxaeybe，可得ttaxebye，并，将此式代入上式，得Euler描述xyxyuxuyaxay ，例1-4 已知Euler描述： xyuxuy ，初始条件为，0txayb时，求速度与加速度的Lagrange 描述。解：12xyttdxdyuxuydtdtxc eyc e ，0txayb又因时，得-ttttxyyttxxyxaeybeuxaeuybeduduaaeabedtdt，Lagrange 描述1.5.4 加速度场AOrr+drdrBMAMxzyOM（x，y，z）u（x，

26、y，z，t）MM（x+dx，y+dy，z+dz）u（x+dx，y+dy，z+dz，t+dt）dt图1-16 Lagrange法与Euler法图1-17 流场内空间点()xyztuu， ， ，速度场中某点M位置()xdxydyzdztdtxyztddtdtuuua， ， ，以u为中心，将u 按Taylor级数展开()xdxydyzdztdtxyztdxdydzdtxyztuuuuuu， ， ，Taylor级数展开请参阅高等数学有关章节由上，则有xyzduuudtdttxyzuuuuuuu()xdxydyzdztdtxyztdtdxdydzdtx dty dtz dtt dtuuuuuu， ， ，

27、a在直角坐标上的投影：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyz讨论：在欧拉描述中，着眼点是空间点（不是质点），物理量被表示为空间点的函数；因此，要描述质点物理量随时间的变化，没有Lagrange直接。要求一质点物理量随时间的变化，必须跟着质点看物理量变化，这时作为质点空间位置的坐标（x,y,z）也就是时间t的函数了（注意，在欧拉描述中，x,y,z本是自变量，但讨论到质点运动，作为质点空间位置的x,y,z时，它就变为时间t的函数）。这样，求欧拉的物理量F跟随质点的时间变化率随体导数（有时称质点导数）

28、时，就有： xyzdx ty tz ttdtdxdydztxdtydtzdtuuutxyztFFFFFFFFFFuF，由上式看出，随体导数是两项之和，第一项，是物理量F场的时间变化率（x, y, z不变），称局部导数，第二项，是物理量F随质点位置变化引起的（u u方向上F的变化），称对流导数（或位变导数）。 xyz ijkW. R. HamiltonNabla nbl例1-5：已知速度场解：22423xyxyxyxyzuu，试问 （1）点（1，1，2）的加速度是多少 ；（；（2）流动是几元流 ? （3）流动是恒定流还是非恒定流 ? （4）是均匀）是均匀流还是非均匀流动。流还是非均匀流动。xxx

29、xxxxyzyyyyyyxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxxxxxyyyyyxyduuuauudtxyduuuauudtxy22222222424242333423xyxyxyxyxyaxyxyxyzxyxyzxyzaxyxyxyzxy22224283242332xyaxyxyxxyxyzxaxyxyxyzy代入点（1，1，2）得421813122175421 3312213xyaa 三元流；不随时间变化，稳定流（恒定流）；随空间变化，非均匀流。例1- 6：流场的速度分布为：22z65375xyxyxtyxyzt uuu，求流体在点（2，1，4 ）和时间t

30、 =3 时的速度、加速度。 解：代入点 （2，1，4） 和时间t =3，得速度值为 2222z656 2 1 5 2 34233 13757 2 15 4 346xyxyxtyxyzt uuuxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz因 2222223 5x6xy5xt6y5t3y6x7xy5zt0 5x18xy60 xyt25xt 065036750 =18xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzxduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxyxtyyxyzty

31、duuaudtt 2222 5657314755 525zzzyzuuuuuxyzzxyxtyyxyxyzttzzt 代入点（2、1、4）与t=3的值，得加速度的值856 18880 xxyyzzduadtduadtduadt1.6.1迹线 ：迹线：流体质点在不同时刻的运动位置的联线。迹线的概念直接与 Lagrange 描述联系。对于 Euler描述求迹线较为复杂。 ()()()xyzdxx abctudttddyy abctfudtdttdzz abctudttr， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdtuabctdydtuabctdzdtuz abct， ， ， ， ， ， ，(

32、)()()xyzdxdydzuabctuabctuz abdtct， ， ， ， ， ， ，流线方程Euler描述是某一确定时间，某物理特性的分布。1.6.2 流线 ：流线：描述流场中各点流动方向的曲线，线上任一点的切线方向与 该点在该时刻的速度矢量方向一致。0d ru000()()()xyzdxdydzuabctuabctuabct， ， ， ， ， ， ，流线的性质 ：（1）过一点只能有一条流线；（2）流线不能转折。注意 ：1 . 流线是指某一时刻的，而迹线是某一流体质点的；2 . 定常流（稳定流）中流线与迹线完全重合；3. 非定常流（非稳定流，随时间变化）中一般不重合。注意啊！The l

33、ine traced by a liquid or gas as it moves. Streamlines are most commonly used in describing the flow of a liquid or gas around a solid object.streamline流线 (a) In the steady flow of a liquid, a colored dye reveals（显示） the streamlines. (b) A smoke streamer reveals a streamline pattern for the air flow

34、ing around this pursuit cyclist, as he tests his bike for wind resistance in a wind tunnel.Wind Tunnel Curve Ball Wind Tunnel 1.6.3 流面、流管与流束C对于场中的任意一条曲线C（非矢量线），在其上的每一个点处，也皆有且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线C的曲面，称之为矢量面。当C为一封闭曲线时，通过C的矢量面，就构成了一个管形曲面，称之为矢量管。对于流体分别称之为流面和流管。C流面流管流束 ：流管内的流线组成一束。 流体朝一个方向流动即流道的轴

35、线方向流动，这样可以 把空间近似看成一个流管。在数学上变成一维问题，用断面上平均物理量来代替断面上的物理量的实际分布。流管的两个重要特性：（1）流体不能穿越流管 ；（2）当封闭曲线的面积A很小时，流管断面可认为物理量均匀分布。管状流动： 流道上与流线族成正交的面。其面积用 A 来表示，则断面上的平均速度定义为过流断面：AudAA其中，AQudA流量端面上一点的速度平均速度例1-7 已知：xuxt，yuyt 0zu ，。 求t=0时，经过点M（-1，-1）的流线和迹线。dxdyxtyt解：流线微分方程为：xtytc当t=0时，x=-1，y=-11c 经过点M（-1，-1）的流线为1xy dxx

36、tdt 求迹线dyy tdt ，1211ttxcetyc et 当t=0 时，x=-1，y=-1120cc11xtyt 消去t2xy例1-8已知流体质点运动轨迹是 x=at +1, y = bt1，求流线族。 解：11xatybt，a、b 表达式，为11xyabtt，流体质点的运动速度xydxdyua ubdtdt，11xyxyuaubtt，将a、b代入上式由流线方程，可得11dxdyxy流线族11xc y 1.7 速度分解定理速度分解定理刚体运动：平移运动旋转运动流体微团：平移运动旋转运动变形运动角变形运动线变形运动ududy平移绕定轴旋转变形（线性变形与转角变形）剪切流动：图1-28 方形

37、流体微团ADCBMxuyudydx22xxyyudxuxudxux22xxyyudyuyudyuy22xxyyudyuyudyuy22xxyyudxuxudxux具有速度梯度流体微团的平移运动 平移运动速度 xyzuuu， ，流体微团的线变形运动 A、C点之间在x方向上的速度差：xCxAxuuudxx线变形速度:xxxudx dtuxdx dtxADCBMxuyudydx22xxyyu dxuxudxux22xxyyu dyuyudyuy22xxyyu dyuyudyuy22xxyyu dxuxudxuxdt时间内拉伸长度单位长度、单位时间线性变形速度xxyyzzuxuyuzyxzuuudiv

38、xyzu单位体积膨胀率：同理可得：流体随空间的变化0div u表示无源或不可压缩流体0div u表示被压缩，或有泄漏、蓄能器蓄能等0div u表示被拉伸、膨胀；流体有补充，即有泵、蓄能器释放能量等流体微团的线变形运动contd. 流体微团的旋转运动 B、C点速度22xBxxyCyyudyuuyudxuuxB、C点相对于M点的旋转角速度： 22xxudyuydyyB点C点22yyudxuxdxxdy/2规定：逆时针旋转为正 MBFCBFCyxdx/2速度增量与x轴相反速度增量与y轴相同 MF 相对于 M点的旋转角速度为BM和CM 这两条边旋转角速度的平均值 12yxzuuxy同理可推至空间坐标121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy1122xyzxyzuuu ijkuxyzijk或右手定则若0有势无旋涡线方程：xyzdxdydz涡量（即旋度）：等于2倍的。其值越大，涡旋强度越大。其值越大，涡旋强