《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(3)

1、10-3 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。kFP (t)弹性力：弹性力：k y，惯性力：惯性力：,my 和荷载和荷载FP (t) 之间的平衡方程为之间的平衡方程为:( )PmykyFt2( )(10 11)PF tyymy(t) y y y my kymFP (t)单自由度体系强迫振动的微分方程单自由度体系强迫振动的微分方程 设体系在设体系在 t = 0 时静止，然后有瞬时静止，然后有瞬时冲量时冲量 S 作用。作用。2、一般动力荷载、一般动力荷载 一般动荷载作用下的动力反应一般动荷载

2、作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导。可利用瞬时冲量的动力反应来推导。瞬时冲量的动力反应：瞬时冲量的动力反应：FP (t)tFP 瞬时冲量瞬时冲量 S 引起的振动可视为由引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。初始条件引起的自由振动。 由动量定理：由动量定理：0PFtSvmm00yt tmStysin)(t tt -( )sin()Sy ttm00Pv mSFt如果体系在如果体系在 t =时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量 S ，则在以后任一时刻，则在以后任一时刻 t ( t)的位移为的位移为( )cossinvy tytt2( )(10 11)PF tyym单自由度体系强迫振动的微分方

3、程单自由度体系强迫振动的微分方程任意荷载任意荷载FP (t)的动力反应的动力反应FP (t)t( )PdSFd 整个加载过程可看作由一系列瞬时整个加载过程可看作由一系列瞬时冲量所组成。冲量所组成。 例如：在时刻例如：在时刻 t = 作用作用的荷载的荷载F P (t)，此时荷载在微分时段，此时荷载在微分时段 d内产生的微分冲量为内产生的微分冲量为 d S 。此微分冲量。此微分冲量引起如下的动力反应：对于引起如下的动力反应：对于t ( )sin()PFddytm式式 (10-15) 称为称为 Duhamel 积分积分； 这就是初始静止状态的单自由度体系在任意这就是初始静止状态的单自由度体系在任意动

4、力荷载作用下的位移公式。动力荷载作用下的位移公式。01( )( )sin()(1015)tPy tFtdm初始位移初始位移 y0 和初始速度和初始速度 v0 不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式:0001( )cossin( )sin()tPy tytvtFtdmt然后对加载过程中产生的所有微分冲量引起的动力反应进行叠加，即对上式然后对加载过程中产生的所有微分冲量引起的动力反应进行叠加，即对上式进行积分，可得总反应如下：进行积分，可得总反应如下：几种典型荷载的动力反应几种典型荷载的动力反应 突加荷载突加荷载 00,0( ),0PPtF tFtFP (t) tFP01

5、( )( )sin()tPy tFtdm001( )sin()tPy tFtdm02(1 cos)(1 cos)PstFtytmysty(t)t023质点围绕静力平衡位置质点围绕静力平衡位置作简谐振动作简谐振动2)(maxstyty002PstPFyFm( )cossin(103)vy tytt 短时荷载短时荷载 00,0( ), 00,PPtFtFtutuFP (t) tu阶段阶段( 0 t u )：无荷载，体系以无荷载，体系以 t = u 时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)()(sinsin)(c

6、os)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst或者直接由或者直接由 Duhamel 积分作积分作01( )( )sin()tPy tFtdm001( )sin()uPy tFtdm02(cos()cos)PFtutm)2(sin2sin2utuystFPyst y (t)t023T讨论体系的最大动反应：讨论体系的最大动反应： 1）当）当 u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段：)cos1 ()(tytyststyy2max 2）当）当u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段= 2)2(sin2sin2)(utuytyst2sin2ma

7、xuyyst2sin2u12sin,212,2uuTTuT当当Tu1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(与与T和和u之间的关系曲线之间的关系曲线) 线性渐增荷载线性渐增荷载 00,0( ),PrrPPrF ttttF tFtt 当 当 FP (t) tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel 积分来求解积分来求解:rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下

8、：动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trFP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1与与2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr 4T，则，则接近于接近于1，即相当于静荷载情况。，即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。例例2：试求如图（试求如图（a）所示刚架的自振频率。已知：）所示刚架的自振频率。已知：m 1 = m 2 = m。解：解：图示体系有两个质点，但只有一个自由度。图示体系有两个质点，但只有一个自由度。两个质点位移不一致，惯性力不共线。两个质点位移不一致，惯性力不共线。

9、(a)m1EIlEIllm22 AA2223132232()()()()22322232124llllAmAlmAlEImAlEI32214mlEI(c)M 图1l/21/2m2A2mA2MP图(b)3/2 mA23/2 mA2l 设：质点设：质点m 1 的位移幅值为的位移幅值为A；质点；质点m 2 的位的位移幅值则为移幅值则为2 A，方向与斜杆垂直。将惯性力，方向与斜杆垂直。将惯性力幅值加在质点上并画出相应的弯矩图（幅值加在质点上并画出相应的弯矩图（b），画），画出单位力作用的弯矩图（出单位力作用的弯矩图（c）。）。 1) 求柔度系数求柔度系数73461122222312142(21)233

10、1820(4)3320134.51010101.4810/EIEIEImN例例9-3-1 图示单自由度体系，已知图示单自由度体系，已知FP0 = 5kN， m = 800 kg，EI = 4.5107 kN cm2，= 35（1/s），），g = 9.8 m / s2。在平稳阶段，求。在平稳阶段，求C截面的最大位移和截面的最大位移和B截面截面的最大弯矩。的最大弯矩。解：解：CEIABEI4m2m0sinPFtC1C1AB12AB2m2) 求自振频率求自振频率61129.06(1/ )800 1.48 10sm3) 求动力系数求动力系数2222112.22351129.064) 求求(MB)ma

11、x及及ymax3max0()() 2(2.22 5 800 9.8 10 ) 2(11.1 7.84) 237.88.BPMFWkN m （上拉）max00363()()()18.94 101.48 1028.03 1028.03( )ststPPyyFWFWmmm 9-4 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：结

12、论也反应了结构的振动规律，如： 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。的振动规律，就要研究阻尼。阻尼的作用：阻尼的作用：忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下

13、有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。2 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而

14、耗散能量；振动波在土壤中传播而耗散能量；3 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：不同，目前主要有两种阻尼理论：* *粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：非弹性力与变形速度成正比：* *滞变阻尼理论滞变阻尼理论yctR)(关于阻尼，有两种定义或理解：关于阻尼，有两种定义或理解：1 1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；2 2）使能量耗散。）使能

15、量耗散。3 3、阻尼力的确定：、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3 3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。mS(t)I(t)P(t)y.kmP(t)P(t)(tRC平衡方程平衡方程)()(tkytS)()

16、(tymtI )(tPkyycym 0ymkymcy yctR)(4 4、阻尼对自由振动的影响、阻尼对自由振动的影响0kyycym 令mc2mk2及022yyy 设解为：tBey特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1 ),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(,122, 1i令21rtitirreBeBty)(2)(1)()(21tititrreBeBexixexixeixixsincossincos)sincos()(21tCtCetyrrt由初始条件确定由初始条件确定C1和

17、和C2；设设vyyy)0()0(得得ryvCyC21)sincos()(tyvtyetyrrrt)sincos()(tyvtyetyrrrt)sin)(tAetyrt(其中其中yvytgyvyArr122yt0AnAn+1tAerT2讨论：讨论：（a）衰减周期运动衰减周期运动rT2振幅振幅tAe（b）阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响TTttnneAeAeAAnn)(1mnnnnAAmAAln21ln211例例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm，振，振动一周动一周T=1.4s后，回摆后，回摆1.6cm，求大梁的

18、重量，求大梁的重量W及及6周后的振幅。周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,kNgkW6 .4869812200496. 024 . 12由skgWT4 . 122(2)自振频率)(714. 04 . 111HzTfsf148. 42(3)阻尼特性,0355. 06 . 12ln21212)999. 0(1r(4)6周后的振幅TTtteeeyy)(10006106)6(6000yyeeeyyTTttcmyyyy524. 0226 . 1606016(2) =1 原特征根原特征根),1(22, 1于是于是 1,2= - （重根）（重根）微分方程的解微分方程的解)()(21CtCety

19、t由初始条件确定由初始条件确定C1和和C2设设vyyy)0()0(得得yCyvC21tetvtyty)1 ()(y(t)t0yvtg临界阻尼临界阻尼Cr,2mC,2mC 因因mCr2, 1阻尼比系数阻尼比系数rCC三、有阻尼的强迫振动三、有阻尼的强迫振动单独由单独由v0 引起的自由振动：引起的自由振动：瞬时冲量瞬时冲量ds = Pdt = mv0 所所引起的振动，可视为以引起的振动，可视为以v0 = Pdt/m，y0=0 为初始条件的自为初始条件的自由振动：由振动：tveyrrtsin0tmPdteyrrtsin将荷载将荷载P(t)的加载过程的加载过程 看作看作一系列瞬时冲量：一系列瞬时冲量：

20、)(sin)()(temdPdyrtr总反应总反应dtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000P(t)tddPdS)(tEI=m例、例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为共计为m，加一水平力，加一水平力P = 9.8kN，测得侧移，测得侧移A0 = 0.5cm，然后突然卸载使结构，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移及一个周期后的侧移A1 =0.4cm。求结。求结构的阻尼比构的阻尼比和阻尼系

21、数和阻尼系数c。9.8kN解：解：0335. 04 . 05 . 0ln21ln211kkyymNAPk/10196005. 0108 . 94301189. 45 . 122sTk2mc2m22cmsNmsN/2 .332/33220189. 4101960355. 024（1）突加荷载）突加荷载P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrt低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静静力力平平衡衡位位置置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近

22、于静位移yst=P0/m2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载）简谐荷载P(t)=Fsint)34.15(sin22 tmFyyy设特解为：设特解为：y=Asin t +Bcos t代入（代入（15-34）得：）得：222222222222224)(2,4)(mFBmFAsincos21tCtCeyrrt+Asin t +Bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。振幅和周期不随时间而变化。结论结论：在简

23、谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a)2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅振幅：yp，最大静力位移最大静力位移：yst=F/k=F/m2stPyy2122222241stPyy2122222241动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/=1附近附近的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。xb21=共振时共振时当当接近接近 时，时， 增加很快，增加很快， 对对的数值影响也很大。在的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区共振区)内，阻尼大大减小了受内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，迫